io p S sin(/ — 9) s/i — el L
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THÉORIE DE LA LUNE DE HANSEN. 3o']
134. Hansen introduit, au lieu des composantes © et S, les dérivées partielles de la fonction perturbatrice par rapport à ret t^.
Fie;, n.
Soit Ù la fonction perturbatrice divisée par le facteur x(i + m). On aura
„ m' fi xx' + yf zz'\
or on a constamment
x = r, y = o, zz=zo;
nous poserons de plus, en désignant par M et M' les positions de la Lune et du Soleil à l'époque quelconque t,
Nous aurons ainsi
On en lire
cosMM'=: =H.
âi2 m'
dr I + m
dr 1 H- /n
ou, d'après le n° 130, On a ensuite
âr
m' frr' /• \
dv I + m V A^ /''V ^'
Or, si l'on désigne par X et X' les origines des longitudes dans les deux plans mobiles, et que l'on fasse
Xrx = o, X'G = ^, XM = r, X'M'=('' XGX'=J,
>^o8 CHAPITRE XVII.
le triangle sphérique MGM' donnera
H = cos((' — o) cos(r'— ^j;) + sin(t' — 9) sin (r' — tj;) cosJ,
d'où
— rr: — sin((' — 9) cos(c — t|) + cos(^' — 9) sin((/— 4>) cosJ =: cosM'N, en définissant le point N par la condition MN = 90°. Mais on a
=cosM'N.
Il en résulte donc
âL2 m'
dv i -h m
ou, d'après le n" 130,
La formule (20) pourra donc s'écrire
-^=.A„p5^.cos(/-9)-i+— ^__[cos(/-9)-i]j- (21) 1 +2/^„^sitl(7-9).^
135. Quand on aura effectué le développement du second membre et l'intégration relative à t, il suffira de changera en t pour avoir W, après quoi on pourra calculer^ par la formule (12).
On peut introduire une simplification en faisant
«0 5 = «0 ^ + Cq + «0 àz,
d'où
«0 Çrrz AîoT + Co 4- «0 <5C;
et sont de Tordre de la fonction perturbatrice. Soit posé
y = «oT + Co — £„ — <?o sin £„,
po sin 9o = «0 ' — ^0 £9,
p„COS9o = rto(COS£o— Cq),
et soit Wo ce que devient W quand on y remplace p et cp par po et cpo'
Wo:
h I + e c.os(9o 4- n^yt + tiq — yj
On aura, par la série de Taylor, en attribuant à l'anomalie moyenne y l'accroissement KC,
w = w„+^^.oâc+^^(/^oôcr+...,
et, après avoir changé t en t.
y-^ «0 èz M r-j^ «0 (5s )- + .
on les dérivées ayant été prises par rapport à y, la barre indique que l'on doit changer t en t, ce qui changera y en
On aura, en vertu de la formule (21),
dt
;,|^£. eos(7- [cos(7- I f H-2/io^sin(7-(po)^-
La formule (i3) donnera, en tenant compte de (22),
(24) nç^z — nç^L + c^+Hç^
Wo -f — i— «0 àz-\ 7-^ «„<5:
I — et \"o
Remarque. — On aura, comme pour W,
, =r^ + ^noô. + ^^(.oâ^)^ + ....
dg
