Détermination de v. — On a
dr , . dr dz - dv dï=^"^'^di^dï^'dl
En vertu des relations (10) et (i 1), il vient
3lO CHAPITRE XVTT,
d'où
ch 1 dr , . dr [ y r r
dt y dt dzXji^gi a'I II t
En ayant égard aux formules
dr . . , dr . —
-jj = hesiïij, —=/i^e^sin/,
I A-(i + ecos/) I i + <?ocos/
l'expression précédente de ^ devient
dv hes'mf hee^'iinj^f — f) he^ sin/ y (i | y) ^'^
Mais, si l'on différentie (i4) par rapport à ^, qui n'entre que dans r et vient
^ - e sin (/ -H /^o.r^ 4- ttq — x) /ipag y/i —
2 /iCq sin /
~ a^{ï — el)
, . - 1 + e cos / , . I H- eo cos/
+ 2 A en sin / — ; ^ — 2Ae sin / — ^
ao{i — el) r<o(J — e^)
En rapprochant les expressions précédentes de ^ et de il vient
dv I r , , dr^
On a d'ailleurs
n^dz dy ôy^ 2 ây^ ^ "
il en résulte donc
2 V L ày Oy^ 2 c)y3 V 0 / -
llnd
OÙ c est une constante d'intégration.
On a d'ailleurs
THÉORIE DE LA LUNE DE ilANSEN.
3ii
r„ est calculé, par les formules du mouvement elliptique, avec les éléments a^, et e^, et l'anomalie moyenne g.
137. Introduction de nouvelles variables au lieu de et — On a, d'après len°134,
On pose, pour tenir compte immédiatement des déplacements séculaires des nœuds,
(2g^ ( 2N =Tto + tt'o — © — — 2«oa^,
OÙ a et Y] désignent des constantes que l'on déterminera de façon que N et K ne contiennent aucuns termes proportionnels à ^, ... . On a d'ailleurs
(29) { et de même
Grâce aux relations (28) et (29), l'expression précédente de devient
2/v'siu^-C0s| /+/ + /i,(jH-y -)- 2a)^ -h2N].
Soient w Gn, oj'= GII' les distances du nœud commun des orbites aux deux périgées; on aura aussi
Il en résulte, en négligeant les petites quantités / /-/',
6j — oy= «o(j'— j'— 2yi)^ + 2K, + H- 2a)^+ 2N;
donc, abstraction faite de petits termes, 2N et iK représentent la somme et la différence des quantités w et w'.
Soit posé, dans la fig. 11 de la page 807,
(TrzzXA; AG =<t>; ^A = Ô; M\f =i; c^ = XG; a'=X'A'; A'G = W; jcA'=9'; M'A'vr^T; 4^=X'G;
on aura
(f> = <i>-i-a; ^ = W-i-a'; d(7 = cosidd; da' = cos, i' dd' , et, en différentiant les formules (28),
d^ — —n^adt— ^ (d^ + dW + da + d<j'), dK = + nafidt — ^ (<:/<!> — dW da — da').
Mais les analogies différentielles appliquées au triangle AGA' donnent
di — CQ^^di — cosWf/<' -t- sin<ï» siniWÔ — %\nW ?,mi' dO' ;
d^ = — cotJ s'm(tdi + (colJcosO sini — cost) dO -I- cosécJ sinW di' — cosécJ cosW sïn i' dd' ;
dW = — coséc J sinOfif + cosécJ cosO sin
H- cotJ sin'F^/i'— (cotJ cos^^ sin i' -f- cos i')dd'.
En portant dans les expressions précédentes, et remplaçant et d^' par
ct-^,> il vient cos«'
dj =cos<^ di 4- siiiO lang/i/a — cosWdi' — siii^ tangi'c/o-',
<iN — Hoadl-h^ col^ (sint&É/f — cos$ tangiV/a — ahiWdi' -+- cosW iang i' da' ) ,
dK— Hd-ndt — ^ lang^ (sinO<ii — cos€>tang/(/(T + s'mWdi' — cos^Hmgi' du' ) . On pose maintenant
P = 2sin - sin(N -No),
Q = 2sin^ cos(N — No).
THÉORIE DE LA LUNE DE HAISSEiN.
No désignant la valeur initiale de N. On en tire
dP — cos - sin (N — No ) t/J + 2 sin ~ cos (N — No ) ^/N , t/Q = cos- cos(N-No)^/J-2sin- sin(N - Na) «?N.
Nous avons déjà fait, page 3oi,
Nous aurons
sini sin a = p , soit de même
sin i cos a = g' ;
s\nc' sin a' sin/' cos a'
sin (T
cos i
COS(T , snicT ,
r dp ; ; dO ;
sin i
ces (7 ,
: dq,
cos l
coso-
cost
ds'— -. — TT dp' — sm l'
sino-
sm i
1 dq' ;
et il viendra pour les expressions précédentes de dP, dO et dK, en introduisant p, q, p', q', au lieu de <j, i, cr' et i' , et réduisant,
dP=^ — /iQaQdt — cos - J
dQ= /«(,aPo?^ + COS -
cos
cos(^ 4- N - No) - sin(9 -^ N - N^) ^. cos(^4-N-No)^,-sin( + + N-No)^^;,
sin ( 9 + N - No ) + cos ( cp + N - No ) sin + N - No) + cos(^ + N - No) '^'^
COSi
cosr
dK n^ndl + ~ lang ^ |^coscp — sino
dp
dq
