COS^ - ^ -1- 7 P
]-\ r/''sinJcos - sin(p' — t]^) sin ((-• — 'f — N +No),
(4 't}\ /T'sinJcos - sin((^'-'l^)cos((^-cp-N + No),
4 ' dP \ dQ " 1 + m VA' / Dès lors, les formules (34) deviennent
4 /v' sin- - sin((' — ;s)sin ((^'—
dt
dQ
dt
dK dt
:-noaQ-/.(cos--^-^+^I ^
cost' V dt dt
cos i \ dt dt
4 cos - ces?
Ce sont les formules cherchées.
L'équation (35) montre que, si l'on néglige N -No, 6 est égal et de signe contraire "-a^^^ X'G, longitude du nœud ascendant de la Lune sur l'écliptique. En combinant la relation (35) avec
on trouve
2 K — 2 N = — 2 Tî;, -h 2 4/ + 2 «0 ( « "0 ) ^, Ô = /?o ( a -h ) ^ -1- No — K — < .
On déterminera a et y] de façon que P et K ne contiennent pas de termes proportionnels au temps.
139. Peut-être ne sera-t-il pas inutile de donner l'expression explicite de û en fonction de P, Q et de K. Il suffira évidemment de faire la chose pour H. On a les formules
H — cos^'^ cos((' — ('' — © + (];) + sin^- cos((^ + v' — cp —
2 sin^ sin(N - N»), Q — 2 sin - cos(N — No),
2 N TTo + îl'o
— in^at.
2K = TTo — n'o — © + + "^n^-oL,
qui permettent de résoudre la question. On a d'abord
sin2-=: cos^-=i 7 —
N = No H- arc tang
d'où
COS2N =r.
sin 2 N 3=
( Q2 p2 ) COS2N0 — 2PQ sin2 No PM^Q^
(Q2 p2) sin2No + 2PQ COS2N0 P'- + Q- '
9 — 4/ — TTo — t'o — 2K + 2«oY) t, Cp + Oi ==: TTo + TT^o — 2 N — 2 «0 a ^.
On en déduit aisément
El-±^^ C0S((' — C' + 2K — TTo + 7r'„ — 2«oYîO
(Q2 P2) COS((' + C' + 2N0 — TTo — < + 2/10 «01
No — TTo — ît'o + 2^0 aO J
— 2 PQ sin((' H- c' + 2 et la question proposée se trouve résolue. On en tire
p COS ( p — c' — 9 H- ^ ) + P COS ( (' + — cp — - Q sin ( (' + - cp — 4^)V
(4o) ) 2^ =Qcos(('-r'-9 + ^) + Qcos(r + (.-'-9"-^)+Psin((^+p'-cp-^), ^__C,E!JlQ!^sin(^-^'cp + ^).
On voit très nettement comment la fonction perturbatrice dépend des quantités r, ç, P, Q et K, qui ont donné lieu aux dérivées partielles
d^l dO^ di' d^' oV' dQ dK'
considérées plus haut.
Remarque. - On sait que l'attraction des planètes sur la Terre produit un faible déplacement séculaire de l'écliptique ; on peut, avec une approximation suffisante, admettre qu'en vertu de ce déplacement on a
et considérer h et c comme constants. Cherclions les perturbations correspondantes de P, Q et K; nous aurons à remplacer, dans les équations (39), et
dq' '
par leurs valeurs précédentes. Le terme introduit dans ^ sera négligeable, parce qu'il contient l'un des facteurs P ou Q. Nous pourrons nous borner à
= b co^Q + csmd, —~ = bs\n9 — ccos9, 9 = «0 ( a H- -0 ) ^ + No — K - tt'o .
On en tirera
àP = — ~ smO cos9,
àQ = cos9 s\n9.
/lo ( a + -n ) /?o ( a + -0 )
P etQ n'ont donc pas d'inégalité séculaire en correspondance avec le déplacement progressif de l'écliptique; il n'y a que des inégalités périodiques dont la période est celle des nœuds de la Lune.
140. Développement de la fonction perturbatrice. - En développant suivant les puissances de on a
-H^- - hV
avec cette valeur de H (p. 3i 1)
H = cos^i cos(v^ (.'—© H- J;) sin^^cos((' + v' — o — H= cos^^cos[7-/+«o«0'-j'-2y]) + 2KI + sin-^cos [/+ /•' -4- «„^(jH- r'+ g^,) + 2N].
Pour commencer, on emploiera les valeurs elliptiques de r, ,J tCf ; on prendra aussi
N— const.^Nn, K = consl.— K„.
THÉORIE DE LA LUNE DE HAJiSEN.
Les valeurs déjà introduites de co et w' donneront
(^j) ( co=;«o^(7 + a — ■/i) + No + Ko,
I w'= «o^(j'4- a + rj) + No — Ko ;
oj est la distance moyenne du périgée lunaire au nœud ascendant de la Lune, co' est la distance moyenne du périgée solaire au même nœud.
On écrira, pour abréger, / et / au lieu de Jet Y' - 0" a d'où On pose
il vient
ce / \ r' / \ 2 2
On a
ll=(^i~- siir- ^ j cos (/ /' + (0 - co' ) + siti^ ^ cos (/+/'+ w + co' ) ,
d'où l'on déduit
puis
+ [34COS(2/'+ 2C0') + P5COS(2/-+- 2 /'+ 2 CO 4- 'iw')];
avec ces valeurs de 3, fj^
Les arguments 'if—if^ 2w — 2co', ... sont des combinaisons très simples
des deux arguments
— w' et /+/'+co + co'.
On voit qu'on aura à développer maintenant, suivant les cosinus des multiples des anomalies moyennes g et g' , les quantités
oP- a-
Soit posé
^sm2/ = 2lQ'' !S sm2/' = 2^''^^"'''«^''
où les sommes s'étendent à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives de i et i' ; on a d'ailleurs
Si l'on a égard aux formules
2 El/' cos X 2 Ff sin ^ ' é^' = Fy'' sin ( i^- + i'' ) ,
+ 00 -1-00 4-»= -l-oo
OÙ E et F sont des quantités quelconques, assujetties seulement à vérifier les conditions
E[/' = E^'', E,''=-Er'', Fi^) FIT'', F^'' - Fr'',
il vient immédiatement
puis
{jl) (?) 3r.) - 2 0)')
= [(«) ^°^^-^(?) ''^^^^■^"'^ (^) ^^"2/(7) sin2/'Jcos(2w-203') + [(^) cos2/(^pj sin2/'-(^^^ sin2/(^^^ cos2/'j sin(2w - 2ro')
— cos(2co - 2 0)') |^2Qc''cos«^2^^''cos«'^'4-2q>'' sini^^Gf'sin/'é'' j + si n ( 2 0) — 2 0)' ) Qc ' cos 2 G!,/'' sin ï' ^■' — ^ Q^/' si n <^ ^ G[,'"' cos i'g'^
— cos ( 2 0) — 2 0)' ) V 2 [ Q</) Gjf' — Qy' G.l/"' ] cos ( ig- + «' ^' )
+ sin (2 co - 20)')22 1^^''" ~ --^'^ ^'^'-1 ( + ''^'^ = l^^iQc' - Qi'-' Gf' - QS,'-' g;'') + Ql/' G'/'] cos (/^- + /'é>-' + 2 o) - 2 o)')
+ ^ 22 tQ^" - Q-^" ^î''"' + - Q-^''' c^^^^'^'' + ' - 2 0) + 2 0)') ;
les parties du second membre sont égales, car, en changeant dans la première t'en — i, on trouve la seconde. Il reste simplement
on trouve de même
-^y(j^' C0S(2/+2«) =^22 [Q!.'' + Qr]K('')cOS(4- + .-'^'+20)),
(p)'cOS(2/' + 20)')=22^"^^^'^'''"^ ^"^^"^ C0S(^^+ «V+2 0)'),
'â) COS(2/+2/'+20) + 2to')
On pourra écrire finalement
I 9J') = £l^-^-Çi, + ils + a, + ^„
en faisant
a9.,= i(\^,^Q('^ cos(«^ + «V'+2w — 20^), «£23=-- «if33 2]Q"'' cos(iV+ «V+ 2 6)), r/i2i = //^Pi^P"'' ^'"'"^ cos(«^+ 2 0)'),
On a écrit, pour abréger, un seul ^ ^" deux, et l'on a mis Q''^ et G^''^
respectivement au lieu de Q^" -+- Qi" et — G^p. On trouve
p(o) — -e% PO-'-e+^e^ 1 g". + . . . .
Ces séries sont très convergentes; on voit qu'elles contiennent seulement e, ou e'.
141. La fonction 0^-^ contient H% et se compose de sept parties différentes, quant aux multiples de co et to'; deux d'entre elles sont insensibles, et Hansen prend
D'après ce que l'on a vu, page i85 de ce Volume, on doit, pour tenir compte de l'attraction de la Lune sur la Terre, multiplier les cinq parties précédentes de la fonction perturbatrice par
I + jn
Si l'on fait en outre
