p siu
asj i — e'^ 20 C0SC3 -h "iae
a . , sin / \ à (ail) - sin / -h ^ 1 -^^^ — - — a cos
as! I — ^'
— +«sin/-^J
cos
.d{ai1)-\ ^ dr J
a sin / " J Or J
ae sin
Oi' on a
d'où
dr ae sin /"
ôv (^2^1 g2 aecos f ^ i + e cos/
àg- r^i — e^ {i — e'-y
dr ,.
-T- ■=- — a cos /, de •'
ùv a si 11 /' sin/
de r I — '
d{aQ.) ^ 1 /aecos/ r + e cos /\ , ae sin/ (j(afi')
d{a^) ^ /g sin/ ^ sin/ \ (M^^) .^(«^)^ et ensuite
d{a^) I e /«cos/ cos/ + e W (ai^) 4-^ïesin/ (?(ai2)
Il en résulte enfin que l'expression de To peut s'écrire
3^^^! /.pcos9^3 \ à g e\ a )
2 p sin 9 d{a^)
143. La dérivée ^ qui figure dans se calculera bien aisément en partant des formules (42) et (43), puisque g figure explicitement; il en est de même de car on a
âv ~ ôod
Pour obtenir les coefficients de la fonction
e [ dg ^T^^ àv J '
on voit que, dans les formules (42) et (4^), il faudra d'abord changer les cos en sin, et ensuite employer les multiplicateurs
— - pouraî^i et a ,
\- — )) a£^2> <^^3 6t «tî^s,
esj i —
— - H ~ » ai^6) <^^8 Gl- <^^^io'
1 , » aii^elai^g.
e eslx — e'-
La dérivée-^ se formera immédiatement, puisque les fonctions P''\ Q''\
A<'\ B''^ sont données sous la forme de séries procédant suivant les puissances de e.
Si l'on pose maintenant
'- -h 6e — 2j cosy + 2J1 C0S2y -h . . . ,
OÙ l'on a
2psiii9 - . ^ .
— — 2S^' siny + 2 sin2y
as/i — e'^
cJ' = i — - e'' -\ e* e«
les coefficients # et seront, comme on le verra bientôt, les seuls que l'on ait besoin de connaître. On a maintenant tout ce qu'il faut pour procéder au développement périodique de To-
Hansen représente parT,,..., T,o les diverses parties de To qui correspondent à Q,,..., 12,0, et il obtient sans peine les développements correspondants. Ainsi, par exemple, on a
— (a^cosy +. . .) i «^{Sj^fPtOKf'') sm{i^- -h i's') + (2-f'siny + . . . ) 2 KC') cos(.v + i'^')
^-1 r / p(o /9P(«) "I + »î p. 2 | - ^ + ^' ^ J sin (y + ig + )
On trouve ainsi
T, = 3ul f^i^iP^i^ K^i') sin(i> + i'g')
+ ul^,^P^^,'K('') sin(± y + ig -t- ^V), T2 = 3«;|3,2 /Qf )G('-'^ sin(/^ + 20) - 2co')
+ « 1 (32 ^ Q±'.'G(''^ sin ( ± y + ig + + 2 co - 2 co' ) ,
T3 = 3 M? 2 i Q ^'^ K( n si n ( + +20))
+ m2|3^2p±'''G(-'') sin(ii=y + +
Tg = 3?<2(3.2iQ(t)G(-'')sin(i^ + jV+2w4-2w')
+ «MSs^ 0"^'''^^"''' sin(± y -h ig-h aco + 2&>'),
+ AjuiM^Pe 2 A±i''"C('"') sin(± y + i> + « - ^>').
T7 = 3 A |ut « ? (3, 2 Bf' D ( si n ( + ? + 3 w — 3 )
Tg^ 3?^fx?/2(3g2«A"''Cf-''^sin(ï^+ïV + w + w')
+ l[Lul^,^ A±^'"C(-''^ sin ( ± y + + + « + (o' ) ,
T9= 3)^f/?<2|3^2 ^-TB^OCC-') sin(«^H-iV + 3w — 0)')
+ XfjL«?Pç,^B±'-'C(''^sin(±y+i^ + «V+3o)-w'),
Tio= 3).]uia2(3io2 iA^'^D^'') sin(i^ + i'g' + o) — 3o)')
où l'on a posé
A-'-' = ( 1 : 1 rf 'A'' ±
e e v/ r — / de
Hansen donne ensuite explicitement les séries procédant suivant les puissances de e qui représentent
Le calcul simple de To est ainsi pleinement assuré.
Hansen donne aussi le calcul approché de la portion Tl\ qui correspond à (2^^'; mais je ne crois pas nécessaire de le reproduire ici. Hansen introduit, à côté de To, une fonction auxiliaire
qui constitue seulement une partie de To, de sorte que l'on a
rp p , I r cos( f — (()) — i'] daQ,
On a, comme on le voit aisément, en désignant par G,, Ga, ... les diverses parties de Go correspondant à ù,, lîj, . .
ce qui tient à ce que, dans ces deux cas, on a
Dans tous les autres cas, G et T sont différents. Hansen apprend à former les développements de Go, ...,G<o: mais ce que nous avons expliqué pour T nous paraît suffisant. Les développements sont de la même forme ; seuls, les coefficients diffèrent.
144. On a considéré dans To les développements périodiques des deux fonctions
apcos© „ apsin©
^ 4- 3 e et —
et l'on n'a formé que les termes en cosy et siny. On a pu opérer ainsi en vertu du théorème suivant :
Soient G et H des fonctions de t seul, l'expression
'pcos© 3 \ psincp
peut être développée sous la forme
cos
^ sin '
où X désigne un nombre entier, mais ^ et peuvent avoir les valeurs les plus variées. Il s'agit de calculer a'^^', a^^^^, . . ., connaissant a^^) et a^-^^. Hansen introduit le développement de
£ =:n — 6^4-27 R^''' cosxy.
Or on a (t. 1, p. 219, 220, 226 et 226)
p coscp 3 y ^Jx(xe) cosxy
e2 42Jx(xe)^
oP- 2
On en conclut
p cos 9
2 Jx(xe)
p sin cp y/i — e
^ xR(^) sinxy,
La valeur x = o est exclue, ou plutôt le terme non périodique de F est nul Supposons maintenant
iG==2V cos(ai + P),
^y/i — ^;sW sin(a^ + (3).
Il viendra
2 2à y-^cJT ^WRwj cos(xy + + (3)
2 2à y~dr ~ ""^^""n cos(- xy + + (3).
Or, en changeant x en - x, le premier ternie de T s'échange avec le second; on peut donc écrire
en faisfint
r = ^ aC''-^C0S(x}/ 4- +
a(x),^V-^J hxWRf'^).
de
Rappelons que a'**^ ^ o.
On a, en mettant — x et ± i au lieu de x,
a(i) = V^4-WRC), (iRC)
a(-»;zz-.v^-WR(^',
On en tire d'abord
ad) + a(-») 2 dii^')~ de
puis, en portant dans les expressions de a'^^ et de ol-^'^-K (48)
où l'on a fait, pour abréger.
dW^^ de RC)
c/RW
de
Dans ces formules, on ne doit pas attribuer à x de valeurs négatives. Les relations (48) constituent le théorème annoncé; on pourra s'en servir pour calculer a(2\ cl(^\ a.^-^\ . . . connaissant a^'^ et 7S~'\ On a, par exemple,
Rt2) = -
on en conclut
yj(2)
yi(3)
Il suffira donc d'effectuer tous les développements, en ne prenant que les termes où y est multiplié par d= i; on en déduira ensuite, tout à la fin, avec la plus grande facilité, les coefficients des termes dans lesquels y est multiplié par ±2, ±3, — On n'aura pas besoin d'aller bien loin, car e est petit, et Y]^''^ est de l'ordre x — i, 6'"''^ de l'ordre x h- i.
145. Occupons-nous maintenant du développement des fonctions dont dépend le calcul de la latitude. Nous remarquons que, en vertu de la définition même de P et de Q, on pourra prendre, en faisant N = Nq, ces valeurs approchées
(5o) P = o, Q=:2sin-% K;=Ko.
Nous écrirons d'abord comme il suit les équations (39) l J
I cos- , , -i- = - «0 a Q + «0 B H- ^ ^ cos [ Ti; - No + K - «0 ( « + in ) ^ ]
Clt COSl CIL
2 da'
sin[7r; — No+K — /^o(a-^•^)^],
cosi
cos- ,
^= «oaP^^/îoC ^^sin[7r'o-No+K- n,{a + n)q
- -^^'cos[7i;-No+K-«o(a + ^)0, cosf dt
f ^„.D+ ^ (q!|'h-P^|:)cosK-N.+ K^..(.+ -«)0
4 cos - COSi'
4 COS - COSi
où l'on a posé
«„B^--A^cos^-^+^P^j
(52) ^^noC= âP ~4^^j^
Avec les valeurs approchées (5o), il vient
^ T ,J da^ I . J daQ. Bo = — =cos'- -jTT-, Do= — sin- -TT^-
Si l'on fait abstraction des termes dépendant de et de on aura
:r COS-
«0 dt y/i ^2 2
r = — , sin rp—:
no«^ 2y/i e2 2
sin -
ÔK3= ^ÔP.
2 cos^ -
Cette relation est encore très approchée dans les approximations suivantes.
Soit A le terme constant du développement de on aura, en écrivant que P et K ne contiennent pas de terme en t, ou que les seconds membres de la première et la dernière des équations (5i) ne contiennent pas de parties constantes, on aura, disons-nous,
— 2 n. oc sin 7= A cos- -—o,
n,n + — ==Asin- r=o,
d'où, en éliminant A,
Y) — a t ang^ - ;
cette relation subit une correction sensible dans les approximations ultérieures.
146. Occupons-nous du développement des quantités B et C, définies par les équations (52). On a
d'où
2 sin - sin (N - No) = P, 2 sin ^ cos (N - No) = Q,
sin^-= 7 (P^+Q-^),
sin*-r^ 4(P'^2P2Q2+Q*),
sin^^ sin2(N--No) = -PQ,
sin--cos2(N -No) = 7(Q'- P''), 2 4
sin* - sin2 (N - No) = ^ (P^Q + PQ^),
sin* ^ C0S2 (N - No) = -j^ (Q*- P*),
sin* - sin4(N - N») = 7 (PQ^^ - QP^),
sin* ^ cos4(N - No) ^ (P^- 6P2Q'- + Q*).
Il est facile, à l'aide des relations précédentes, d'introduire P, Q et K dans les expressions (42) et (43) de 12, , 12^, • O.o- H faut encore cependant se rappeler
les formules de la page 3i i,
a) = No+K + «o(7 H- a — r;)^+ (N — No), co'=No-K + no(/+ a 4--/])^ + (N - No).
Prenons, par exemple,
2^^"'2 ~ 2 ^''^'2) ^é'-H-t'é^-' + 2No+2K
+ nQ{iy + 25< — 2Y])^ + 2(N — No)].
Nous trouverons, en posant
X — ig + 0'+ 2N0+ 2K + «0(2/ + 2a — 2Y])/, a%= u\ 2 Q"'K('') [ I Q— ^P^) coscil. - ? PQ sin.1,
- ^(Q'*-P') COS.^ + A(p3Q + pQ3)sin.l>j;
il n'y a plus qu'à réunir les termes en cosji. et sino.1,.
C'est ainsi que Hansen a obtenu les expressions de O,, . . (p. i55). Il est facile de former les dérivées -'^ll^'M^' ^P^'^s quoi, les
formules (02) donneront les expressions des diverses parties
Bi, Bio de B; C,, C2, de G
elles montent au cinquième degré, relativement à P et Q. Pour la première approximation, il suffira de faire
P = o, Q=:2sin^î^.
On trouvera ainsi les expressions de la page i58; je me bornerai à en reproduire seulement quelques-unes
- 9sin^i + 2 2
- 3 siii^ - +
2 CO — 2 (i)'),
On voit qu'on passe bien aisément du développement de - ^ à ceux de B ,
B2, . . ., G,o» en multipliant les coefficients par des facteurs convenables dépendant de J, et changeant au besoin les cosinus en sinus.
Hansen dit que la méthode des coefficients indéterminés n'est pas d'un usage facile, parce que les inconnues sont loin d'entrer seulement au premier degré. Il préfère arriver au résultat par la méthode des approximations successives ; il insiste sur la nécessité d'éviter les opérations qui diminuent la convergence des séries, comme par exemple le développementdes diviseurs suivant les puissances de m.
147. Dispositions pour le calcul des termes d'ordres supérieurs. —
Reprenons l'expression de T, en l'écrivant comme il suit
cos(/- cpo) ^ + sin(/- j
ou bien, mettant a à la place de a^,
— ■ TtLcos(/~cpo)-iJ-. h
da^l Po ■ /-^ \ àaQ, -3 h !- sin( /— <x>o)r —, —
Po
[cos(/- 9o)-']
On doit y remplacer r par r(i 4- v). Posons
' "nf sin( ^ r
daïî
sji — el à(.)
dr
Po
«0(1 — el'.
fin âa^
[cos(/~ cpo) - i]
il désignant ce que devient ù quand on y remplace r par r. Nous ferons
(54) T:.^(Th-ÏÏ
Pour obtenir T lui-même, il faudra, au lieu de r, mettre r(i -+- v). Or, ù se compose de deux parties 12''^ et Q^^^ contenant respectivement et en facteurs ;
-j^ comprendra les facteurs r et r^, et il en sera de même de - — • Soient T''^
336 CHAPITRE XVIT.
et T'^^ les deux portions de T qui répondent à O^^' et Ù^^K On aura
ou, plus simplement,
T(2) ^ X(2) ^ (Ji2)(2v + V^) + ÏJ(2) j^l^ (14- v)=' - ij + (3v + Sv^-H v^).
Les quantités O'^^ et il''' dépendent de /, nz.,P,Q et K.
On peut opérer de même pour les fonctions B et C. En se reportant aux formules (52), on posera
B = COS^ - -TTT- + 7 P
I / , J àa^î I ^ daiî
C = -, . cos^ - -vf^ — jQ
et, si l'on divise B et G en deux parties qui correspondent à ù^'^ et (2''', on trouvera
!- - r h ~\ - - r 'h 1 B(2) — K(2)^B'2) lii+^Yj^ M'
et des formules analogues pour C'^' et C'^'.
On voit qu'on a préparé les formules de façon à pouvoir tenir compte des
valeurs troublées de v et — i .
Hansen pose
et il introduit partout et â au lieu de v et de On a d'abord
il est facile ainsi de développer les coefficients des formules (55) et (56) sui-
vant les puissances des petites quantités w eil-^- La formule
dt dp
donne
d'où
( è - n, f\l^'' -hl^'^ (2v ^ v')\ dl { - Ho f [l(^) + ï'^' (3v + 3 + v')\ dt.
C'est ainsi que l'on calculera S
On peut aussi calculer autrement sans intégration, lorsque nBz, v et j sont supposés connus. La formule (i3') donne, en effet,
h ^ ' dt sJT^^, «5
On en déduit, en faisant n^z = n,t c^-]- n, h, et supprimant l'indice zéro,
l ha ^ho dèz 2 / , -N '^^^
+ ■ 4- -3— « oz H ^ . . . (2V -h .
Les fonctions
sur lesquelles repose maintenant le calcul des perturbations, sont des fonctions des quatre variables
nz, P, Q et K.
Il faut trouver, par la série de Taylor, les accroissements des fonctions T. ~ IlL ^2
T, . . ., développées suivant les puissances de Ss, SP, et SK. On fait
nz = g n àz,
OÙ g est l'anomalie elliptique moyenne de la Lune. On aura
2 dQ^ 2 ôv^- ogaV (Ig'àQ âg oK
+ J^Li^' àzy-dP + - -^"^ {n dzydQ -r- - {n âzy- dK
2 dg^ oP 2 dg' oQ ' 2 dg^
2 dP^ 2 dg oQ^ 2 dé'- dK^
rP T d^ T d3 T
' ndz §P ÔQ ^- , ' âP ÔK T-^VrHiz « 0-
d^-dP^^Q ^ d^dPdK ' di' dQdK
On va simplifier un peu cette formule en y supposant, comme on l'a fait à la page 332,
ÔK =3 - F dP,
ou
sin -
On trouve que l'on peut écrire
T To + n èz + R ap - u Y 4 - ^ ( « dz y+'^ndz dP - h n dz àO dg 2 dg'- ^ ' ôg dg ^
+ - SÔP^+VÔPaQ-h -ZÔQ^+ '^(^nàzy-\- - Ç^(,iô^)2ÔP 2 2 6 dg^ 2 d^'^
+ - ?T('ï^-2)'âQ + -^nàzàP^-\ 'E^ndzèPàQ 4- - '^nàzdi)\ 2 d^2 ^ ' ^ 2 d^ d^ 2 d^
OÙ l'on a fait
^^-^"^dK' dô'
dP' dPdK^' dK^'
V ^^Tq d^To d^To
dPdQ dQdK' dQ^
Hansen condense ainsi cette expression (58) T = To+^%.a.-i^(«^.r+^^°(«5.)^+HÔP-^NaQ. en faisant
H = R + « as -f- - 4^ ( /i as )^ 4- - L âp + M ao , N = Y^-^«as-^ - ^(«as)^ + -oao,
dg '2 dg^ 2
L = S 4- ^ as,
dg
M = V + ^ n as, âg
âg
148. Calcul du développement des quantités R, Y, S, V, Z. — Je vais prendre pour exemple les développements de
' ~ (?P âK " dP , J (?K '
On a
On aura
T, 3 «2 (3^ 2 « Q"'' G^'"' sin ( ig -t- f'^' -h 2 « - 2 w' )
-4- (3, ^ Q±''^'G<''^ sin (± y + ig + 2w — 2w'),
S, — sin^ - + 7 sin* - = V cos*- ?
cos^^J- sin(N - No)dP + cos(N — N») t/Q, w — w' = «0 ( y — /' — 2 Y) ) ^ + 2 K .
(?(oj--o)') ^ — w') (j(co — go') ^
et, à l'époque zéro,
JP ""^ dQ 1 '
cos -
34o CHAPITRE XVII.
Il en résulte
R2=: Sul^.^iQ''^ G^''^ C0S(î>4-i'^' + 2C0— 2 0)')
ul^-2^Q-'''G^''^ cos{± y + ig-+'i' g' + 2 (ù — 2 (^') \ \ cos^ ^
Ys— Sul 2 ^'Q^''^^'"' s\n{ig -f- i'g'-\-2M — 2co')
+ 2 Q±i,zQ(n sin(±y + ig-i-i'g' — 200')
or
d^, dj 3 . j ,j 2 .
-TT -T?-^ — sin - cos^ - = î" P2.
cos^ -
Donc, pour avoir le développement de Yg, il suffira de multiplier celui de Tg par J
; pour obtenir le développement de Rg, il faudra employer le même
2 sin
cos^ -
— 2 sin -
multiplicateur et changer en outre les sinus en cosinus. On verra tout
cos^
aussi facilement ce qu'il y a à faire pour trouver le développement de
Ri, R?» Rio? Yi, Y3, Y]o;
Les développements de S,-, Y,- et Z,-, pour i = 6, 10, ne contiennent rien de sensible.
On peut maintenant faire pour B et C ce que l'on a fait pour T; c'est-à-dire, trouver les développements de ces quantités par la série de Taylor, quand on y augmente z, P, Q et K de ^z, SP, oQ et SK. On aura, comme à la page 338,
B r= Bo + ^ n dz -\- R aP + Y aQ + . . . ,
og
Comme les expressions de nB^ et nCo ont été données de façon qu'on puisse lire immédiatement leurs développements sur celui de - on fera de même pour les développements des fonctions R, Y, S, V et Z, qui correspondent àB
etc. On donnera, pour -.^i^^, • • • , ..> les facteurs par lesquels il fautmul-
tiplier chaque terme pour avoir le terme correspondant des R, Y, On dira
en même temps s'il faut changer ou non les cosinus en sinus.
On a dit plus haut que la relation oK = -FoP est rigoureuse seulement pour la première puissance de la force perturbatrice. On va voir quelle déviation elle présente quand il s'agit des puissances plus élevées.
Remarquons que, si l'on n'a pas égard aux termes en / et q\ la dernière des équations (Sq) est
ce qui peut s'écrire, en vertu des relations (52),
dY. CP-BQ
° 4 cos^ -
Les formules
P = 2 sin i sin(N - - No), Q ~- 2 sin - cos(N — No ) 2 2
donnent
par suite
p =Po + âP, Q =Qo+^Q,
Por= 2 sin ^ sin(No- No), Qo=^ 2 sin ^ cos(No- No),
P = ÔP, Q=2sin^+aQ, sin^J = ^(P^4-Q^), cos^ i I (P^ + ) = I - ^ (4 sin^ ^ + 4 sin aO + ÔQ^ + ^P^) ,
d'où, en négligeant les cubes de SP et §Q,
sin^ i + 3sin^^«
I = -L^ + V + — ^P"^ ^ âQ^ + . . . ;
cos^^ cos^-° cos^'^ 4cos*7 4cos^-r
on aura ensuite, avec la même précision,
^=,^iB ^ + — 1— -CÔP-B ^ÔQ
n,dt 2 ^^^,Jo 4cos^J o ^^^,,Jo
sin^ sin^^ . 3 + sin^î^
VcâpaQ V^^'^P'-si"- T^BaQ^
4cos^'^ 8cos^'^ ' 8cos«'^
342 CHAPITRE XVTI.
On a d'ailleurs, par les formules (39),
— — — ocQ 4- «0 H,
d'où
B = -, — h a 2 sin —
11 en résulte, en portant cette valeur de B dans le second terme de l'expression
de — r'
«0 clt
^7-vi-F^--atang^J5 + ^---aP-f ^^B + aF |
fhdt n^cit ^ 2 ^ ,J„ \ , ,Jo
4 cos- \ 4 cos^ ^
sin^^ sin^ S + sin'-^
^ BÔP^H C ÔP - sin ^ r^B^QS
Scos'^::^ 4cos'^^ ^ 8cos«^
où l'on a posé, comme antérieurement,
Si donc on fait
. Jo
sin —
2 cos'- —
^ ÔP
[/ — ^ + 2fA b h- ^fI ao
sin^^ 3 + sin^^^ ^ BaP^-, VcâP^Q-sin::^ r^BÔQ'S
8cos*^ 4cos^^ ^ 8cos«'-^
on aura
(6.) ^=^.,ang,^ + X.
Telle est la formule qui permettra de calculer IjL. Hansen dit que X n'exerce guère d'influence que sur les mouvements du périgée et du nœud. Les perturbations §P, SQ qui dépendent de dp\ dq' (p. 3i8), et qui sont ici négligées par
3 ^ dàV
Hansen, ajouteraient au second membre de (6t) le terme 4- -0
149. Substitution des valeurs numériques dans celles des expressions précédentes qui sont entièrement connues, — Hansen donne les valeurs nu-
mériques adoptées pour /Zq, e^, J^, n', é , ny' , m, m! . Il en conclut les valeurs de
n — —, -- = 1},=.^/ — ■ ,11-, kzzz — ■ ,
puis de
[3i, [3,, ^,0, A('>, B('\ D<'\ PC), Q('), K"-'), G'^,
et le développement des dix parties (42) et (43) de la fonction perturbatrice, ou du moins de + O'^^] ; il donne les logarithmes des coefficients des
divers cosinus. Puis vient le développement de la fonction To et des fonctions correspondantes R, Y, S, V et Z suivant les sinus des multiples de y, g, g , w et w', le coefficient de y étant toujours o, ou ±1. La même chose est faite ensuite pour la fonction Gq et les quantités R, Y, S, V, Z correspondantes, puis
pour Ho, R, . . , Bo, R, . . . , Cq, R,
Hansen dit que, pour déterminer les inconnues, il n'a pas employé la méthode des coefficients indéterminés, mais celle des approximations successives. On intègre d'abord en ayant égard à la première puissance de la force perturbatrice. Les développements précédents de Tq, Bo et Cq sont portés dans les équations différentielles qui doivent déterminer nz, v, P et Q. On effectue les intégrations qui se réduisent à des quadratures.
On calcule aussi §^ à l'aide de la formule (57) bornée à
On substitue les valeurs trouvées pour les inconnues dans les équations différentielles; mais on doit faire intervenir cette fois les diverses fonctions
R, Y, S, V et Z, et aussi v, et S On continue ainsi jusqu'à ce que deux
approximations successives donnent les mêmes résultats.
Les approximations sont beaucoup plus lentes pour certains coefficients que pour d'autres; elles le sont surtout pour les coefficients affectés de petits diviseurs. Il y a divers artifices que suggère la marche des nombres, et qui permettent d'abréger un peu les calculs.
Hansen dit que, pour obtenir les expressions finales employées dans ses Tables de la Lune, il a dû faire douze ou treize approximations qui lui ont demandé environ trois années de travail. Il s'est proposé, dans la Darlegung, de vérifier que ses formules numériques satisfont aux équations différentielles, à de petites fractions de seconde près.
Pour y arriver, il procède à une nouvelle approximation fondée sur les expressions employées dans les Tables, laquelle ne devra rien modifier. Cette longue vérification est exposée en dét&il.
Hansen donne d'abord les développements numériques qui lui servent de point de départ pour n^z, q^, P et Q. Il en conclut ceux de ^(nSzy,
( n ^zY , , 2w^ et /iw\
Il aurait pu se borner au terme en (n^zy-, s'il introduit {n Sz)% c'est plutôt pour montrer que ce terme peut être négligé. Les plus grands termes de -^nlz,
2 'dg^^^'^^y^ 6 ~d^^^^^y respectivement pour valeurs 226", 3" et o",io. Puis viennent les développements des quantités
V, 2v + y% 3v + 3v^+v% qui se déduisent des précédents.
On calcule les divers termes de par la formule (57), et la constante d'in-
On peut, après tous ces préliminaires, procéder au développement de T. On le fait par la formule (58), après avoir calculé les développements auxiliaires de
S, V, Z, ^/iS^^S^, ^/^Ss==V,, ^/iSs=.Z,, S + S, =:L, V + V, = M, Z + Z, = 0,R + g«& = R„,;^(«S.)»=R„Y+g«S.=Y„^|ï(«S.)'=Y„
-LSP, MSQ, h, -OoQ,N.
Hansen ne s'occupe, dans le Tome I, que de celles des perturbations qui contiennent w et co' de la façon suivante :
ow + ow', 20l» — 20', t\(xi — /io)', 6w — ôw'.
Pour les autres termes, qui sont moins importants, on les trouve dans le Tome II, et Hansen a simplifié leur calcul à l'aide d'un principe particulier. Un même Tableau réunit les développements de
dont la somme donne T.
La même chose est faite ensuite pour G et S; puis on calcule ÏÏ par la formule (54)
Pour avoir maintenant T, il faut, d'après la première formule (55), calculer les produits
, I(2V-hv'-).
On exécute la même série de calculs sur B et C.
Hansen calcule ensuite les coefficients de SP et de SQ dans l'expression (60) de X; les termes périodiques sont négligeables, mais la partie constante est appréciable, et elle intervient dans les mouvements du périgée et du nœud.
Après avoir développé la fonction T et calculé les valeurs numériques des coefficients, il faut revenir à la fonction dont la dérivée est liée à T par l'équation (p. 824)
iIq dt ^/ 1 —
Comme j est de l'ordre de la force perturbatrice, on peut remplacer dans le second membre Wo, ^ et \ par leurs valeurs fournies par l'approximation précédente. Mais Hansen préfère se livrer à une intégration directe, de façon à prouver que les chiffres de ses Tables sont bien exacts.
On a (p. 309)
h. h po I 4- e cos ( cpo + «0 r ^ + — X )
OU bien
(64) Wo = E + r coscpo + ^o) + sin9o, OÙ l'on a posé
h e cos ( X — /^o/ ^ — Ti'o ) — gp
K '>^li 0 '1 gÇQS (X— «pr^ — Tïo) —
ho
h esin (7 — «o.r^ — "^o"
ri 'Jt .
d'où
2 h An
T. - III
Fraisons encore (66)
— el Ih ày
Alors la formule (62) donnera
riç^clt dy 20I dy
On tire d'ailleurs de (63)
\Ji — e'î
2 j ~dy
dy
ecosix — Hoft — Tin)
dy
^posin 9o
r i^poCoscpo ^ (?poSin<po «0 dy dy
— el
On a d'ailleurs
Il en résulte
al dy 2 a- t^y \ J 2r/„^ r/
2«« ày a,s/i-el
coscpu — Tsin 9u).
L'expression ci-dessus de ^^-^ deviendra donc simplement
La fonction V qui est liée à ï par l'équation (66) a évidemment la même forme; elle se compose d'un ensemble de termes tels que
(68 ) V " AoSin ( [3^ + Ô ) + A, sin ( - y + + 0) + A, sin ( y + n, (3^ + 5),
OÙ Ao, A, et A, sont des coefficients numériques, p et G des constantes. Nous poserons
(69) Wo= Hocos («o(3^ + 9) + n i cos(- y 4- 71,(^1 + + Hi cos (y 4- n.'^i + 0),
et il faudra déterminer les coefficients IIo, II, et n,. Nous avons fait antérieure-
ment (p. 026)
cosy -h . . ., ^"siny4-...,
OÙ l'on a
L'équation (f>4) devient donc
Wo = ï + ï J cosy + ^.f" sin y 4-
En comparant à la formule (69), il vient
j E = Ilocos (/<o(3^ + 9)>
(71) r^=:(n, + ni)cos(/?.o(3/ + 9),
( ipr=(n i-n,)sin(/io(3^ + 9).
L'équation (67) devient ensuite, quand on a égard aux relations (68), (70) et (71),
— (3noSin(/îo(3^4- 0) - pn.isin(~y + «o|3^ + 0) — iSHi sin (y + n^l^L-^- 6) + (n i + ni)cos(/io(3^+ 9)^"siny
— 4^ (n i — n,) sin (/?o(3^ -H 9) (^^r'cosy — ^ 6^0^
— AoSin {n^^t + B) — Ai sin (y + /Zo[3^ + 0) - A-iSin { - y n^(^t + B) — o. Si l'on ésfale à zéro les coefficients des sinus des arcs
n^(^t + d, — y + «o(3^-+-9 et y + +
on trouve
[3no + Ao - /n i + iw,=:o, (3ii, + A. + /'n, - rn, = 0,
(SHi +Ai + z"n i - /'Hi = 0, où l'on a fait, pour abréger,
po
po
sin 9o
En résolvant les équations précédentes par rapport aux inconnues II,, II, et
n,, qui y figurent au premier degré, il vient
(r-[3)A,- fA, rA,-(f + P)A,
llo ^ + pli-, ^11:.
On peut simplifier les formules précédentes : on trouve en effet sans peine
4 90 io3d
On peut prendre sans inconvénient l'=-y, car e' est extrêmement petit. On trouve ainsi
-ITo
L'intégration se trouve effectuée, et l'expression de résulte des formules (69) et (73).
Les formules sont en défaut lorsque ^ = o; la forme générale des arguments étant ig -h i' g' = (in -h i'7î')t ico-{- i'c'^^, on voit que le cas dont il s'agit revient à
in -+- i' n' = 0.
Si les moyens mouvements ne sont pas exactement commensurables, on ne peut avoir (3 = o que si les nombres entiers i et i' sont nuls en même temps;
0 = H- i'c'^^ est nul aussi, de sorte que l'équation (72) se réduit à 1^ =^y-(n t + IIi) H- A i — Aijj siny = o.
On a d'ailleurs, dans le cas actuel,
V = — (A i — Al) siny,
Wo=(n i + ni)cosy + no.
La quantité IIo reste arbitraire; on la représentera par b. Si l'on fait
les équations précédentes donneront
V = X sin y -h . . . , Wo =b -\-'t^ cos y -f- . . . ,
On déterminera la constante b de façon que l'expression de rif^z en fonction de t ne contienne, en dehors de «0 aucun antre terme proportionnel au temps, et ^ de façon que la même expression ne contienne aucun terme multiplié par sin^.
Quelques mots d'explication sont nécessaires : les formules (7) donnent
V — Tio H- n^yt -h n^z H- ie^%\wg + ^ sin2^ 4- ... ;
si l'on s'arrange de façon que n^z soit de la forme
îiç^z = /io ^ + F sin2^ -t-. . . H-^ C %m{ig -h ï'^'h- D),
on voit que le terme en sin^-, contenu dans v, sera encore égal à 2e„sin^, de sorte que, si l'on calcule son coefficient en partant des observations, on en déduira e^.
150. Détermination de y. — On a, en écrivant e au lieu de e^.
ai 2 ep.j sin I
rr-î siny
La formule (66) donne ensuite
(75) v = ï-A^-^.rsi„,
Si donc on pose
Il y
OÙ l'on peut négliger les inégalités périodiques de c, et
ï M siny + . .
de sorte que M soit le coefficient de siny dans le développement de ï, on aura, puisque x est le coefficient analogue dans V,
En portant cette valeur de x dans la formule (7^)» et résolvant par rapport à y, il vient
c'est par là que l'on déterminera y. Pour parler plus exactement, on déterminera c et 7 par les équations (57') et (76).
151. Intégration relative à P et Q. — Reprenons les équations
«0 dt
/lo dt
considérons dans B et C les parties qui répondent à un même argument
^ ^ ( B = rcos(«o[3^ + 5),
( C = A sin(«o|3^ + 9), qui donneront naissance aux termes
P = 0 sin(Aio [3^ + 0), Q = Hcos(/Zo[3m- 9).
En substituant dans les équations différentielles ces valeurs de B, C, P et Q, et égalant à zéro les coefficients de {n^^L 4- 0), il vient
, ( ^0=-aH + r, ([30 + aH--r)cos(«o(3^ + 0)=--o,
\ "[SH^ a0+A, ((3H+a0-A)sin(/^o^^+9) = o,
THiiORlE DE LA LUNE DE [LVNSEN. 5^1
d'où
L'intégration est ainsi effectuée; les expressions de P et Q résultent des formules (77), (78) et (80).
Lorsque (3 = o, on a aussi 6 = 0, comme on l'a vu précédemment; la seconde des équations (79) est vérifiée d'elle-même. Il reste seulement la condition
Nous poserons donc, pour le terme considéré, et nous aurons
Mais on a d'une manière générale
Ho ~ 2 sin + -/i ;
Il convient donc de poser
ce qui donne
2 sin — + X,
Comme Jo est l'inclinaison moyenne de l'orbite de la Lune sur l'écliptique, on devra déterminer x, de manière que l'expression de la perturbation du sinus de la latitude de la Lune ne contienne aucun terme en sin(^ + m). L'équation (81) détermine la quantité a.
Il reste encore à effectuer l'intégration dont dépend la fonction S^K. Si l'on fait
X = {X,) cos{noS>t + 6),
l'équation (61) devient
= (Xo)-^-^-atang^^» +2(^)cos(«oP^ I 0),
et en posant
(82) Ô2K=^Rsin(«o(3/4-0)
352 CHAPITrxE XVII.
on devra avoir
(84) Y] = atang^^-(Xo).
Cette dernière équation déterminera y].
tiansen a trouvé
IX = 834", 9471 5 n^a— 69540", 18,
Y) = i",6399, iiQ-f]— i36",58.
Les mouvements sidéraux du périgée et du nœud sur l'écliptique auront pour valeurs
/lo ( / — 2 Y) ) = 1 46434", o4,
Les diviseurs (3 sont des fonctions linéaires de u=-^, de y, y], a et y'.
Hansen donne le Tableau des valeurs numériques de ces diviseurs. 11 faut tenir compte ensuite des termes en ± ^y, ... à l'aide du théorème de la
page 328 ; la première chose à faire est de calculer les valeurs numériques de yj(2), y|(«), G'-^ et 6^^^; on aura ensuite, si l'on considère tous les termes de Wo qui donneront naissance au même argument, après le changement de y en g :
Wo = n ( o, ^, i', i", i'" ) cos ( ig + i'g'-^ i" w + i'" co' )
+ n (— T , « + r , i", i'" ) cos (— y + (i + 1 ) 4- i'g'+ i" w + i'" m' )
+ [-^2n(— I, <4-2, i', ...) + 02n(i, i-t-2, l', ...)] COS[- 2y 4- (i +2)^4- fV+---] + [Y]3n(-i, f + 3, i', ...)-h93n(i, /+3, i', ...)] cos[-3y + (i+3)^ + iV+--]
+ n(i , <■ — I, i", i"') cos[y + {i—i)g 4- i'g'^- «"w + i'''^']
+ [Y]2n(i, i-2, i', ...) + 02n(-i, ^-2, i', ...)] cos[2y + (« — 2)^ + iV+-- •]
4- [Y]3n(i, ^ -3, i', ...) + e,W{-i, i~?>, i', ...)-] COS[3y4-(/-3)^ + iV+- • •]
Il faut encore, pour obtenir Y, former le développement de
dernier terme de l'équation (75). Or on a déjà calculé la partie constante
de ~) en déterminant 7; si donc représente l'ensemble des termes périodiques, on aura à former
On a maintenant le développement de V; on en conclura celui de W par les formules (69) et (73). Hansen en déduit immédiatement ceux de ^-yt' ^1^"'
.... (SI —^yT^ se fait en multipliant les coefficients par
Les termes è H- ^ cosy de W ont été déterminés comme on l'a expliqué à la page 349; les valeurs de Z> et de ^ deviennent de plus en plus précises à chaque nouvelle approximation.
En changeant y en g, on obtient les développements de Wo, ^ • • -, •
On calcule ensuite oP et <5Q par les formules (78) et (80), puis OaKparla formule (82). On a ainsi effectué toutes les intégrations de la première série. On arrive enfin au calcul de et de v par les formules
dt \i + v / h y/j g2 aP-
2 dv dS^ y I + V dv
n dt n dz y/j g2 na^ dz
On a
-d^. ~W ~^ ~àr~ ^" + 6 '
dr drl ^ d^ rl i ''l
dz dg dg^ " 2 dg^
On a développé antérieurement ^(ai^s)^, ~(^n^zy\ il est donc très facile de calculer W. On trouvera de même
T. — III
(T^yt=(---)(.H-^'^)-
354 CHAPITRE XVIl.
On a ensuite pour ~ le développement elliptique connu, dans lequel le coefficient de coso^est tout à fait négligeable. On trouve finalement les développements de et de l'intégration s'effectue sur-le-champ, en divisant chaque
coefficient par la valeur correspondante de [3, et échangeant les sinus et cosinus avec des signes convenables. On a ainsi os et v; on en conclut W. La comparaison avec les valeurs qui avaient servi de point de départ est des plus satisfaisantes; les différences, qui ne sont le plus souvent que de quelques millièmes de seconde, atteignent quelques centièmes dans le cas des termes affectés de petits diviseurs.
Il y a une différence de o",i45 qui est forte; Ilansen pense qu'elle résulte d'une erreur de calcul, mais il n'a pas pu mettre cette erreur en évidence.
