Calcul de la constante de v. — La formule (i3') donne
On a aussi
il en résulte
(85) a^i^ = ^-i^W+f-^y^ + .v + v'^ + ^ ' h II \i4-v/ Il
Considérons maintenant l'expression (64) de Wo ; on a ajouté la constante 6 H- H cosy. Mais, comme
~ cos csû -1- - en = cos y -f- . . . ,
on peut dire que la constante b a été ajoutée à l'élément S, et la constante ^ à l'élément Y. On a d'ailleurs
dt
dèz
Si l'on égale dans les deux membres les parties constantes, il vient
d'où
A„ I J 2 f 2 / AoV
^h=-3^'-2j^3[^j)-3[^Ti)'
En combinant cette formule avec (85), on trouve que la partie constante de v est donnée parla formule
On a d'ailleurs
on a donné les développements de w^, eiw" ; on peut donc calculer bien aisément la partie constante de La fonction W4- (7^) x ^ considérée précédemment; on peut trouver la partie constante de son produit par 2v H- La formule (86) donnera finalement la constante cherchée (— i336",35o).
Remarque. — Si l'on calcule les divers termes périodiques de S-^ par la formule (85), on devra les trouver identiques à ceux obtenus auparavant : c'est un contrôle important dans des calculs aussi compliqués.
153. Calcul des perturbations de la latitude et de la réduction à l'éclip-
tique. — Soient {fig. 12) L = X"H et B = HL la longitude et la latitude de la Lune, rapportées à l'équinoxe moyen. On a posé
XG =9, XL =v, d'où GL ■= v — 9,
X'G = 4;, soit X"X'=7?, d'où X"G = q;+/?.
La quantité p sera supposée comprendre l'effet de la précession et de la nutation.
Fier. 12.
Le triangle rectangle GHL nous donne
IcosB sin (L — — p) = cosJ sin (t^ — 9), cosB cos(L — 4^ — /») = cos(c' — 9), sinB = sin J sin ((^ — 9).
On prend
d'où
(£> = — n{oi — n) t — N — K + TT, = — n{oc ■^■n)t — N + K 4- 7:', 6 =z ri{a-\--c\)t +No— Ko— 71', (0= «(j + a — Y]) ^ + No + Ko,
ç ,cp=7+w4-N4-K-No— Ko=:7 + « + ^N+^K,
moyennant quoi les relations (87) deviennent
j cosB sin(L + 9-yj-hâN — aK)=:cosJsin(7+coH-ôN+ ôK), (88) cosB cos(L 4- 0 + ÔN - ÔK) = cos(7+ w + + ÔK),
\ sinB = sinJsin(7+w + (5N4-(5K).
On peut transformer ces formules. On a vu, en effet (t. I, p, 468-471), que les relations
cosB sin(L — 3-) = cosJsm( c — a), cosB cos(L — &) = cos((^ — 0-),
sinB sin J sin((' — 0-)
peuvent s'écrire
cosB sin(L — % — T)=z cosJo sin((^ — 3-o) — 5 ( tangJo + — '^rr\ cosB cos(L — 3-0 — T) = cos((' — ^o) + s — ,
sinB = sin Jo sin ( — So) -t- s,
où l'on a fait
= sin J sin( — ct) — sin Jo sin ((^ — Sr,,), X — I -h cos Jo cosJ — sinJo sin J cos(c7 — S-q), ^= sin J sin ((7 — 3-0), ^ = sin J cos ((T — Sto) — sinJo,
sin - ^0 - T) ^ ^^^^J» + J> ^^"^'^ -
cos(S — ^0 — T) = (i + cQsJq cosJ) cos(cr — 3^o) — sinJp sinJ Pour appliquer cette transformation, on fera
Nous ferons, en outre,
et nous trouverons pour les formules (88) la transformation suivante
I cosB sin(L — ll—p) = cos Jq sin(7H- m) — s ^tangJo -t- ^ ^ = (^9) I cosBcos(L — n — /?) = cos(/h- co) -h
sinB = sin Jo sin(/+ w) + s, avec les valeurs ci-dessous de x, s, ^et II
^= sinJ cos((5N + (5K) — sinJo,
s — sin J sin 0) + ôN + (5K) — sinJo sin(/+ go), ■/ = I H- cos Jo cos J — sin Jo sin J cos (âN + «5K),
sin(n + 9 + aN-ÔK) = ^î^i^'^^^^^^ sin(ÔN + aK), .
/TT û ^TVT (i + cosJo cosJ) cos(âN 4- ôK) — sinJo sinJ cos (Il 4- 9 + ôJN — oK) = ^— •
On peut obtenir des formules plus commodes encore : si l'on pose
( tangJoH ^— i-=Acos(^
\ ^ xcosJo
— = — A sin w,
les deux premières équations (89) donneront
cosB ^o-— = cosJo — — As\/— i (^z + cosB (^^4- =7 + -j; + A5v/^(^-
d'où, en ajoutant et retranchant.
a; cosB = y cos^ — + - sin^ —
cosB . ., Jo I , Jo A /
=: Y sin^ — H — cos^ h- Asz\/ — i
En divisant membre à membre, il vient
ç,Jo I . ,Jo As\/—i
, cos^ — H sm^ 1 .
2 1 yz
y cos' ^" + sin^ + A 5 j5
En prenant les logarithmes, on trouve
V— I (L — II — /> — 7- co) = log(^i + p— ^v/^) — log( 1 + 5/2 + -05 jsy/^), ^^2) i OÙ l'on a posé
£ = tang'^ — , Y)
2 , Jo
On peut tirer de là un développement très convergent de L — Il —/? — /- co, suivant les puissances de sy] ; les coefficients sont eux-mêmes développés suivant les puissances de z.
Hansen développe encore d'autres formules : on peut écrire d'abord
I + zy^
2v/-i(L — n— /;—/—«) — log(^i + p^ - log(i +£j2) posons
(93) lu=-^, u=E\>-^~,
et l'équation précédente deviendra
2v/-i(L — n— /?— 7— w) = Iog(^i + p^ log(i + s72)
+ log(i— ^V/^) - log(i + Xy]5a^v/^)
ou bien
2V/^(L — n — — / co) rr: log[l + £ 005(2/+ 2 0)) — £v/^Sin(27+ 2Co)]
+ log[i +£ 003(2/ + 2co) + £v/^^sin(2 7+ 2w)] + log[i — lf]ssm{iJ.-Jrw) — lr]scos{ix~h w) y/^] ~ log[i — In s sin(/jL + (v) + In s cos(fj!. + mp-) \/—
THÉORIE DE LA LUNE DE IIANSEN. SoQ
Or on a la formule
log(« + b^— i) — log(a — b^— i) 2 y/— I arc tang^?
grâce à laquelle il vient
!F "? ,Tf . £Sin(2/+2(jL)) L^yH-w + II-H/? — arc lang ^ I + £ cos( 2 /■ 4- 2 w) Ay]5 cos(i!jt. + (ip') — arc lang — - • I — Ày]5 sin(p. -H- wc^)
X et [A doivent être déterminés par les équations (93), d'où l'on tire
V I H- 2 £ COS (2 /H-2(i))4-£2
Si l'on pose
sinBo= sinJo sin(/+ 00),
Bo est la valeur de B, en tant qu'elle n'est pas troublée par les perturbations de J; la valeur de \, en tenant compte de £ = tang-^% donne aisément
cos^:^
cosBo '
on a ensuite
— — ill — -£(2[ji-2 7-2w)v/rT
— 7— «)V'— ' =10g(^I+ -^j log(l + £72)
/ , £ sin(2 /-+- 2w)
=: — 2 v/— I arc tang / — \ '
I + £ COS (2 f ^ 200)
On trouvera donc finalement
-j ^ £sin(2/+2&)')
11= / 4- — arc tang ^ *^
I + £ COS (2 /+ 2Co) T , TT , * ^"^■^ C0S(U + W)
L — u. + U + « — arc tang r 4^- ,
I — A-/]5 sin (p. + (K^)
sinBo^ sin Jo sin(/H- w),
o Jo
cos^ —
cosBc
On remarquera que [jl donne la valeur de L — Il — /? dans le cas où il n'y a pas de perturbations de latitude, et que, par suite, l'influence de ces perturbations sur la réduction à l'écliptique est rigoureusement exprimée par l'arc tangente qui figure dans l'expression (g5) de L.
On peut encore transformer cette expression : les formules (gS) donnent
d'où
cosf. = cos(/+..)^,
. / - , \ COSJo
COSBy
On a d'ailleurs, en vertu des formules (91),
Iri cosw = ( tang JqH ) —
\ ^ y. cosJo/ cosBf
In siniv -
X cosBo
On peut ainsi transformer l'expression (qS) de L; elle devient
) 5( lang JqH ^^-r- ) séc^Bo cos( / + w) + 5 — séc^Bn cosJo sin( /+ co)
J — arc tang
sin Jo+ ^ j séc^Bo sin(7+ w) + 5 - séc^Bo cos(/4- co)
cette formule servira plus loin.
154. Calcul de s. — On a, par les formules (90), (97) s = [sinj cos(ôN -f- ôK) — sin Jq] sin(/+ co) + sinJ sin(ôN + dK) cos(/+ o).
On va introduire âP, et SK par les formules
P rzz ÔP 2 sin - sin ÔN,
O zz: 2 sin — + (50 = 2 si n - ces ôN, ^ 2 2
. Jo
sin —
ÔK = ÔP 4- O2K,
d'où l'on tire d'abord
puis de là, en négligeant le cube de la force perturbatrice,
(98) cos- =rcos-" - -lang-'^-"ÔQ —dP' . àQ\
Il faut maintenant calculer les coefficients desin(/-hoj) et de cos(/-hw) dans la valeur (97) de s. On trouve
sin J cos(ôN + §K) = cos^ |^2 sin ^ cos ôN cos §K -- 2 sin ^ sin ôN sin ôK^
= cos \ \(^ sin ^" +- aQ^ cos ÔK - sin ôkJ z-^cos- [2 sin-" +ÔQ -sin~«(ÔK)^-aPÔK]
• •} Jfl • Jo
, sm* — sin — -=cos-( 2sin^"+aQ ^<5P^-h- V^'P'
En remplaçant cos ^ par sa valeur (98), et réduisant, il vient
i-asin^iî
sinJcos(ÔN + ÔR) -sinJo-:^:^-^^-"ÔQ + tan84" A^^'
cos-^ ' 4cos^-
3 2sin''-"
-tang^ T^aQ-^
^ 4cos^-"
On a maintenant
sinJ sin(<5N + ôK) — cos^ (^2 sin^ sindN cos^K + 2 sin^ cosôN sin«5R^
cosôK + (^2 sin ^ H- sinaKj
cos-
ôp-^(2sin-" +ao
J / COSJo ï>rv • Jo * -rr
= cos- ■ -aP 4- 2 sin -
2\ ,Jo 2
cos^ —
En remplaçant cos- par sa valeur (98), et réduisant, on trouve
rn«T T 2 - 3 sill^i"
(loo) sin J sin (ÔN -h ÔK) = - = àP + sin Jo a,K - - tang ^ --^ ÔP §0.
COS — cos^ —
En vertu des relations (99) et (loo), la formule (97) devient
[ 5:=-''-^sin(7+a))ôQ4- ^cos(7+«)^P 1 COS — cos —
(ici) 2 2
[ ^âQ^)sin^°sin(^ + o))-(aPÔQ-2rLK)sin^°cos(^--l-r^).
On a négligé les produits de sin''^ par o?\ BP et L K, et l'on a remplacé dans les termes du second ordre / par g; ces termes donneront toujours très peu de chose, moins de o", 1. Occupons-nous de ceux du premier ordre, et posons
cos (7+ 6)) = 2\a^i>^ COS {pnz H- (j)),
Jo
cos —
COSJn .
Sin
Jo
où les coefficients A^p^ s'obtiennent en multipliant par — ^ des fonctions de
Jo
l'excentricité qui se ramènent immédiatement aux fonctions de Bessel. Soient, en outre,
aP = a sin(«^ + i" m /'"oV),
ÔQ = (3 COS ( ig 4- i" m -\- i'" w' )
deux termes correspondants quelconques de §P et §Q. On trouvera, en portant les expressions précédentes dans la formule (loi),
s --^ ^A(/') (a + (3) sin[yr,«.- + ig -\- i' g' -\- («"h i)w + /"'co'] 4-00
THÉORIE DE LA LUNE DE HANSEi\. 363
d'où, en remplaçant nz par g + n oz,
s =z §0 -4- Si fl -\- ^ S2 (/i + . . . ,
So = 2 A"'' (a -i- (3) sin[(/> + L)g- -1- 4'^-'+ j)oj +
+2 A' ( a [3 ) sin 0 g- + i 'é''' + ( l'' - 1 ) oj+ co'], + 00
S, p'- A'/') ( a H- [3 ) sin [( y. + Oé^' + ^ 'é"' + ( ^" + i ) « H- ]
— 2y^2A(-/')(a- (3)sin[(/? + 0^- + 1)00 + i'^co']-
Hansen a pu déterminer les coefficients numériques du développement de s; en comparant avec ses Tables, il ne se trouve pas de différence atteignant o",o5.
155. Développement des perturbations de la réduction à l'écliptique. —
Nous partirons de la formule (96) dans laquelle nous pourrons réduire le dénominateur à I ; l'expression (90) de x donnera à fort peu près
Z :^ n cos(J -h Jfl) = 2 cos^Jo;
il viendra ainsi
En remplaçant ^ et ^ par leurs valeurs (99), (100) et (loi), et mettant g au lieu de / dans les termes de l'ordre le plus élevé, il vient
langJo cos(7+ w)
COS^Bn
I L — p. --'r- Il + /» — S
I ^(ap2- sin2(^ + co) - ^ÔPaQcos2(^ + w).
L'avant-derniëre des équations (90) donne ensuite
n + 0 + ÔN - ÔK =r: COSJo + COS j ^
I + COS(J + Jo) ^
d'où
n + 0 ^ '—-^ (2 sin '^^ sin - ÔN + 2 cos ''^ cos - ÔK^ .
.i-f-JoV 2 2 2 2/
cos ^ ^
En remplaçant 2sin^ §N par §P, et par son expression en fonction de et de BoK, il vient
J + Jo
cos
tan;
— cos cos - ol* -1- 2 cos- -■ 0., K
ou encore, en vertu de la relation (98),
n - 6 -r- - shr- ^' ôvdo H ^ ô,K,
2 2 COsJo
OÙ le terme en §PoQ est absolument négligeable, à cause du facteur sin' -• On a ensuite, par les formules(95) et (102),
^ - f-^ - ^ + U . '^^^^^^ (ÔP^ - .Q^) sin2 .)
— -ÔPÔQcos2(i-+(o)H Ô,K.
2 " ^ cos Jo ^
Si l'on se rappelle les relations
0 ----- n{a-- u ) t ~h N, — K„ — tt', co n ( j -h a -/i ) ^ -h No - h Ko ,
on peut écrire enfin
] — sin^Jo sin2(/-f- 00)
(io3)
(âP^- oX)2) sin2( - + (o) - ÔPÔQ cos2(i'- co) H r^a.,K,
cosJ,
lio — 2 Ku rJ -'r n {y — 2'/])t, tanffR — -
lang2 i^i sin2(/+ w)
' tang2^cos2(/+ 0))
IIo est la longitude moyenne du périgée lunaire, et R la réduction usuelle à
l'écliptique. Hansen trouve que l'ensemble des termes en ûQ% ôPoQ et o.K se réduit sensiblement à
— o",4o sin2a3 - i",20 siii(2^>'+ 2(o') — o", 285 siii(2 - - ^g' + 2gj — 4w').
Dans ses Tables, il a, par inadvertance, employé le coefficient +o",335 au lieu de — o",285, d'où résulte une correction de — o",62o. Pour tenir compte des termes négligés qui dépendent de dp', dq' {voir p. 342), il faudrait encore, dans (io3), ajouter à s et à ^^K des corrections dont l'ensemble donnerait
+ 2QÔP — -o",25o cos(Ô 4- 173").
Ces corrections sont nécessaires pour retrouver le coefficient de cosG dans l'inégalité de la longitude qui provient du déplacement de l'écliptique et que nous avons déterminée plus haut (p. 164), car Hansen n'a déterminé que l'inégalité correspondante de nùz.
Dans le reste du ïome I de la Darlegung, Hansen traite :
Des inégalités occasionnées dans le mouvement de la Lune par la figure de la Terre, ou par celle môme de la Lune;
De la très petite influence de la masse de la Lune sur le mouvement du périgée ;
Et de l'influence des planètes sur les mouvements du périgée et du nœud de la Lune.
Nous n'insisterons pas sur ces points secondaires, dont quelques-uns d'ailleurs ont été examinés dans le cours de cet Ouvrage.
Dans le Tome II de la Darlegung, Hansen s'occupe des inégalités qu'il n'avait pas encore considérées, notamment des inégalités à longue période et de l'accélération séculaire. Il introduit un nouveau principe relatif à la variation de certains éléments, dont le développement nous entraînerait trop loin. Nous aimons mieux donner dans le Chapitre suivant une méthode claire et complète pour déterminer les inégalités à longue période; quant à l'accélération séculaire, nous avons déjà présenté son calcul en détail.
156. Comparaison entre Hansen et Delaunay. — Les Tables de la Lune, imprimées en 1807 aux frais du Gouvernement britannique, sontfondées sur la théorie qui vient d'être exposée. Mais la forme des perturbations adoptée par Hansen rend difficile la comparaison de ses résultats avec ceux des autres astronomes, qui ont calculé directement les perturbations de la longitude, de la latitude et du rayon vecteur de la Lune. Il est vrai que Hansen lui-même {Darl., t. I, p. 439-459) a entrepris de comparer ses perturbations nozk celles qui se déduisent, par une transformation convenable, des perturbations de la longitude vraie, obtenues par Damoiseau et par Plana. Mais cette comparaison n'est pas
faite d'une manière très rigoureuse; elle a été reprise, pour les théories de Hansen et de Delaunay, par M. Newcomb, en 1868 et, d'une manière beaucoup plus complète, en 1880. Nous avons déjà eu l'occasion de mentionner (p. 112 et 286) le travail de M. Newcomb, auquel nous avons emprunté quelques résultats numériques; il convient d'y revenir maintenant pour expliquer en peu de mots la nature de la transformation qu'il a fait subir aux formules de Hansen.
x4.insi qu'on l'a vu plus haut, Hansen détermine la perturbation noz qui s'ajoute à l'anomalie moyenne g; l'anomalie troublée
HZ- — g Il oz
sert ensuite à calculer l'anomalie vraie /par l'équation du centre
/ nz + (ie—\e^-\- \ siii nz + . . . ,
en faisante = 0,0549008, et la longitude vraie L s'obtient par les formules (io3) sous la forme suivante
L=7+n,+ K+R', où R est la réduction à l'écliptique
R = — lang^ ^-^ siii 2 (/ + &j) -h ^ lang* ^ sin4(7 + w)
tandis que R' comprend, sous le nom à' inégalités de la réduction à l'écliptique, les termes
R' = — 5 tangJoCOs(/+ co) f i + sin-JySin2(7-{- go)]
— o", 397 sin2w — i",i98 siii(2^''4- 200') — o",285 sin(2^ — l^g' + 2w —
La latitude se calcule par la formule
sinR = sinJoSin(/ + w) -h s,
en faisant Jo= 5o87i8".
Les perturbations n^z et^ sont des fonctions explicites de g, g', w, w'. Pour obtenir sous la même forme l'expression de L, il faut mettre ^ + /z à la place de nz et développer d'abord les sinus des multiples de Jiz, puis les sinus et cosinus des multiples de / -h co, suivant les puissances de noz. Après avoir substitué pour e et leurs valeurs numériques, on trouve
L = Lo + Lj . « 05 + L2 ( « Ô5 )- -H . . . ,
TIIÉOr.lE DE L\ LUNE DE HANSEN.
OÙ
Lo = ^ 4- 1X0+ 22689", 676 sin.ç- H- 776", 269 sin2^ 4- . . . + .?So, Li = I + o, 109760 cos^- -h 0,007527 cos2^ 4- . . . + sS,, L, — — 0,0.5488 sin^ — 0,00753 sin2^ — . . . 4- ,982, Ls — — 0,01 83 cos^- — o,oo5o cos2^ — . . . ,
en désignant par So, S,, 83 les coefficients de développement du premier terme de R', qui sont des fonctions de g, co, et qui seront multipliés par s.
Après avoir réuni, dans un premier Tableau, les valeurs de n^z, (/^Sz)^ (nBzy, M. Newcomb donne (Table II), le résultat des multiplications et des additions par lesquelles s'obtiennent les coefficients des sinus dans l'expression finale de L. On trouve
L = ^ + IIo + 22687", 1 5o sin -1- 768'', 858 sin 2^ • }-
Mais il reste à réduire les deux théories en question à un système uniforme d'éléments. Les valeurs de l'excentricité e et de l'inclinaison Jo, employées par Hansen dans le calcul de ses perturbations, diffèrent un peu de celles qu'il adopte dans les Tables, à savoir
e — 0,054908 1 , Jo — 5''8'4o", o.
Le coefficient de sin^- devient dès lors, pour les Tables, -h 22 64o",i5, tandis que Delaunay adopte le nombre trouvé par M. Airy (22639", 00). M. Newcomb a pensé que le plus simple était de s'en tenir à l'excentricité des Tables et au coefficient de 22 64o",i5 qui en résulte; on a donc multiplié par le facteur I ,oooi33 les coefficients théoriques de Hansen qui dépendent de e, par i ,000263 ceux qui dépendent de e% et ainsi de suite. Pour la théorie de Delaunay, le facteur de réduction de l'excentricité e devient r, 000048.
Pour l'excentricité e' de l'orbite de la Lune, Hansen et Delaunay ont adopté le même nombre, si l'on tient compte de la différence des époques (Hansen, 0,0167923 pour 1800; Delaunay, 0,0167711 pour i85o); il faut seulement appliquer la petite correction nécessaire pour réduire les coefficients à la même époque.
Il y a enfin toute une classe de termes, les termes parallactiques, dont les coefficients dépendent de la valeur adoptée pour la parallaxe du Soleil. Or, Hansen trouve {Darleg., t. II, p. 269) que ses coefficients théoriques doivent être multipliés par i,o3573 pour satisfaire aux observations et qu'ainsi corrigés ils correspondent à une parallaxe de 8^,9159. Il s'ensuit qu'ils reposent primitivement sur une parallaxe de 8",6o85. La valeur adoptée par Delaunay est de 8", 75. Pour réduire les deux théories à la parallaxe de 8", 848, il faut multiplier les coefficients parallactiques de Hansen par le facteur 1,02785, et ceux de
Delaunay par 1,01120. Ces derniers doivent, en outre, être multipliés par le facteur ^—^ = en faisant, avec Hansen, la masse de la Lune ésjale à r^-
Les coefficients numériques ainsi obtenus, et réduits à un système d'éléments bien défini, forment la Table III de M, Newcomb; nous les avons reproduits en partie (p. ii2-ii5). M. Newcomb ajoute, dans une dernière colonne, les coefficients de Delaunay, modifiés parleurs compléments probables, dont il a été déjà question plus haut (p. 236). On a vu que les écarts entre les deux théories sont, en somme, peu sensibles.
Le coefficient de l'équation parallactique devient, chez Hansen, — i25",43. Le résultat de Delaunay, corrigé de deux manières différentes par des compléments probables, serait —127", 24 ou -i 27^08; en le multipliant par et
1,01120, on aurait — i25",49 — i25",33. De son côté, Pontécoulant trouve 122", 38, avec une parallaxe de 8", 6322; son coefficient, étant réduit à la parallaxe de 8", 848 par le facteur 1,0260, devient i25",44. L'accord est donc ici très satisfaisant.
Pour la latitude B, M. Newcomb forme, d'une manière analogue, d'abord l'expression de sinB, puis celle deB. La comparaison des coefficients de Hansen avec ceux de Delaunay est donnée dans la Table IV. On s'est dispensé d'appliquer ici les petites corrections qui résultent de la différence des valeurs de Jo, impliquées dans les deux théories.
D'après Delaunay, le coefficient de sin(^ + w), dans l'expression de la latitude, est -f- 18 46t", 26. Les formules de Hansen, transformées par M. Newcomb, donnent 4- i8463"248. Quant aux Tables, la valeur adoptée pour Jo(5°8'4o") étant de 8",o plus faible que celle qui entre dans les expressions théoriques, elles donneraient aussi un coefficient plus faible de 8", si l'expression de s ne renfermait aucun terme en ^+ w. Mais cette condition n'est pas remplie, car Hansen a laissé subsister dans s le terme
+ 2",7o5 sin(/-!- w) — -f-2",7o5 sin(^ w) — o",r49 sino) + o",i^g sin(2^ + w),
qu'il a fait disparaître plus tard {Darleg., t. I, p. 438), et il ajoute encore le terme
+ 3",7o sin(^- + w),
qui paraît provenir de la correction empirique, fondée sur l'écart supposé entre le centre de gravité et le centre de figure de la Lune. La différence entre le coefficient théorique et celui des Tables se trouve ainsi réduite à 8", 10 — 6", 4 = i",6, et l'on peut admettre que le coefficient définitif de sin(^-H co) est -+-18461 ",63 pour les Tables de Hansen. Pour y ramener les deux théories, il suffirait de multiplier les coefficients de Delaunay par 1,00002, et de diviser par 1,00009 ceux de Hansen.
Dans une dernière Table (Table V), M. Newcomb a réuni les coefficients de l'expression du sinus de la parallaxe, d'après Hansen, Delaunay et Adams. Les coefficients de Hansen ont été obtenus en développant la formule
D I -h ecos / / ï 0 \
8,2170139. La constante de sinp a les valeurs suivantes :
Hansen. Delaunay. Adams.
En tenant compte de la différence des données, la constante d' Adams se réduirait d'ailleurs à Zl^i-?." ,\i : elle coïnciderait donc, à très peu près, avec celle de Hansen; et il est à remarquer que l'accord est presque parfait pour tous les autres coefficients.
ou lOfiÇ - =
CALCUL DES INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
157. Dans le calcul de ces inégalités, on est conduit à considérer quatre corps, la Lune L, la Terre T, le Soleil S, et une planète P. Soient
X, y, z, r — sjx"^ H- y"'^ -h z- les coordonnées géocentriques de L, ^i'j'i» ^\ — v'^7"^7r+-^7 Ï6S coordonnées géocentriques de S, •f\^, Dj = y/^J + r\\ + 'C^ les coordonnées géocentriques de P, x",y", z", r" — sjx"^ H- y"'^ 4- z"^ les coordonnées héliocentriques de P.
L'une des équations difFérentielles du mouvement est
d^x ixx x'. — oc , x',
TTT + — = j — ni' -4-
+ m" il— •
[(Il - xY^ (ni -7)2+ (ç, -zyf {X\ H- +
où (j., m' et m" désignent respectivement la somme des masses de la Terre et de la Lune, la masse du Soleil et celle de la planète, en y comprenant le facteur f.
Il convient d'introduire le point G, centre de gravité de T et de L, et les coordonnées x' ,y' , z\ r' —^x''^-{-y"'-{- z'^ du Soleil, rapportées à l'origine G. On trouve immédiatement
(2) x\—x'-\-ax, y[~y-^ay, z\=z'-^az,
en désignant par a le rapport de la masse de la Lune à la somme des masses de
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
la Terre et de la Lune. On a ensuite
H, — x\ H- x" = ^' -H x" + nx.
Si donc on pose
on en conclura
^, Yi et ^ seront les coordonnées de P, rapportées à l'origine G.
Si l'on a égard aux relations (2) et (4), et si l'on remarque que \, v] et '( sont indépendants de y et on trouvera, en partant de (i), que les équations différentielles du mouvement peuvent s'écrire
di-
\xx
dR"
dx
àR'
dR"
^ àr
dy
âR'
âR"
" dz
en faisant
^i' (i.a)v/[^ -(j - a)xy-i-[y'-{i~a)fY-+-[z'-{i~a)zY
G v/( .r' -H axf "-^ (/ + ar)^ + (s' -H (75 )^
R' est la fonction perturbatrice du mouvement de la Lune, qui répond à l'action du Soleil, tandis que R" correspond à l'action de la planète.
Si l'on pose
I xx' -1- yy ' + zz' r- rr's', \ x^ -hjn + ^C =-/-D5",
les expressions précédentes de R' et deviendront
(I - a)D y/i - 2s"ii a) + (I - ay- al) y/
D'où, en développant suivant les puissances des petites quantités ^ et p> et omettant les termes en ^ et ^, parce qu'ils ne dépendent pas de 00, y, z.
Remplaçons enfin s' et s" par les deux valeurs (5), et nous trouverons
I j^, 3 {.T.r' -\- vy' -h zz')- T
(6) < rs (.rr'-4- rr'-H -jM' 3 (.r.r' + r/ h- S3')r2"l
(7) { ^ (-T'E-hyr]-^ z^y 3 (^i?^ + rn 4- sÇ)r
(i — 2cr)
On remarquera que le calcul précédent, en ce qui concerne R', avait déjà été fait (p. 184 et i85 de ce Volume).
158. Les termes de la première ligne, de R' ou de R", sont de Tordre de ^5
ceux de la seconde liaçne de Tordre de -77) —
M. Hill a indiqué (American Journal of Mathematics, t. VI) un mode de décomposition de la première ligne, qui a l'avantage de séparer les coordonnées de la Lune de celles de l'astre perturbateur, et de faire discerner tout de suite les termes utiles pour la recherche d'une inégalité donnée. M. Radau a appliqué le même principe aux termes de la seconde ligne (Annales de V Observatoire de Paris, Mémoires, t. XXI). Nous emprunterons la plus grande partie de ce Chapitre à l'important Mémoire de M. Radau.
En supprimant les facteurs i — 2a, . . ., sauf à les rétablir quand ce sera né-
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
cessaire, on tire aisément des formules (6) et (7) les développements suivants :
-R ' — ( I -j- 3 ^^^^ 77-" h oxy ■ — 7^ ozz ■ jz
+ 8 ' ^^^^ + -^- hi5— p^-;
5 (,r^ 3.-rr2)(P— 3gr)2) + (3.r .î?^ — r^M 3 Y] — "O')
159. Soient maintenant w l'anomalie, ç = g + w l'argument de la latitude de la Lune, i l'inclinaison, y^sini*, A la longitude du nœud; nous pouvons poser
=r (i — y^)cos{ç + h) y'^cos{i> — h),
(10) { ^ = — y2)sin(t'-f- h) — sm{i' — h),
— = 2y \/i — y^ s'inv.
Nous pourrons le plus souvent faire abstraction du déplacement de l'écliptique et prendre o. Soient alors Y', V" les longitudes de la Terre et de la planète P dans leurs orbites, et
h' et h" étant les longitudes des nœuds; en faisant y" sin^i", et se reportant aux formules (3), on aura
— cosV, 7'=r — sii) V, - cos V 4- cos V" + 2y"^ r" sin h" sin i>", n=z~r' sin V h r" sin V" — 2 y"'' r" cos h" sin p",
OU bien
j I = - cos V 4- ( I - ) r" cos V" -i - cos ( 2 h" -~ \" ) ,
(12) < Y]= — siriV' + (i sinV"+/'2/'" sin(2A" - V"), ( Ç — 2 r" (y" i y"3) sin ( V" — h").
En se reportant à la signification (3) de D, on trouve
D^-= 2, cos(V'- V")- 2/-'r"/'2 cos( V'+ V"- 2 A"),
î)'^Dl ^- 4 y"^ /■'/•" sin(V'- h") sin(V"- /r"),
en posant
(13) D^ = /-'^-.;- /'"S-- 2 /■'/•" cos (V- V"). On en déduit ce développement
I 1 J 2py"'r'r" s\n (Y^— h") sin( V"— h")
L [cos ( V -h V" - 2 A" ) cos ( V - V" )] + .
Nous pouvons maintenant nous servir des formules (10) pour exprimer en fonction de r et v les combinaisons des coordonnées x,y, z qui entrent dans les divers termes de R' ou de R". Nous trouverons pour les termes de la première ligne, en négligeant désormais
4 ^(i~y-)'cos(2r-;- 2 A) 1- — cos ( 2 r - 2 A) h - y^(f - y^) cos2 A,
('5) { ~ ^ : sin(2,. + 2A) - ^y'^ sin(2r-2A)-t- ^y2(,y2)
3 5^ =^ ^- 3y y^) sin ( 2 r + A) + 3 y^ sin ( 2 c ~- A) 3y i - ^ y^^ sin A,
3 -: -3y (^i- ^y2^cos(2r h A) h- 3y^ cos(2 r A) ~ 3y (^i - ^ y^^ cosA.
Pour les termes de la seconde ligne, je renvoie le lecteur au Mémoire de M. Radau.
Il faut maintenant substituer dans R" les valeurs elliptiques de r, v, r', Y = r", y"=v"+h". Cette opération comprendra trois parties que nous allons considérer successivement.
LNÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMEiNT DE LA LUNE. ^'JD
160. Développement des quantités r'^ — 3z'-, x- - - y', xy,œz, yz, qui se rapportent uniquement à la Lune; nous omettons, pour plus de simplicité, les expressions du troisième degré en oc, y, z, qui ont trait à la seconde ligne deR".
On atteindra rapidement le but au moyen des relations (i5) et des formules suivantes, qui sont bien connues,
^ =- 1 + - — (^2 e — ) cos / — - e'^ cos 2 / — cos il — . . . , 2 \ 4 / 2 4
^008(2^^ H- a) — ^1 — ~ C0s(2^>- + 2/+ a)+ ecos(2^'- + 3/ +- a)
— 3e cos ( 2 + / + a ) +• - cos {^g + a)
'j e=* cos ( 2 — / H- a ) + . . . ;
a désigne une constante à laquelle on devra attribuer les valeurs
o, ±2/1, ±ih — 90", ^ h, ±h — 90°.
On trouvera aisément, en désignant par L la longitude moyenne, g l,
,.2 — 3 2 ^ /^'^ + 2 ^ COS ( 2 L — 2 /i ± kl),
Ae^'y"^' cos(2L — 2iL + zt
OÙ i doit recevoir l'une des valeurs o, \ , 2.; xy est donné par une expression de même nature, dans laquelle les cosinus sont remplacés par des sinus. On trouve ensuite
xz — ^ A y-'-' e'' sin ( 2 L — 2 «'L + 2 Ui ~ h ±. kl),
oîi i doit recevoir les valeurs o, i, 2; yz s'en déduit en changeant les sinus en cosinus.
161. Nous passons maintenant aux développements des quantités 'C^, i^— v]^, ^Y], y]'C, qui contiennent les éléments elliptiques de la Terre et de la planète P.
On tire des relations (12)
Ç2 ^ 2 y"2 ( I - - y"2 ) r"- [ t — ces ( 2 V" — 2 li")] , ^2— y}2 cos 2 V -h (r — y"2 r"'- cos 2 V" -h y"' cos ( 4 A" — 2 V" )
- 2(1 — y )/■'/•" cos (V'+V") - 2 y"2 /•'/•" cos (V— V"+ 2 h') + 2y"2(i — y"2)/'"2 cos 2 A";
on obtient -h 2^y] en changeant les cosinus en sinus
= - ^y"2^ r',-"[sm(V'+ V"— A")-sm(V' — V"4- h")]
+ ^y'") /'"'[sii^sV" - A")- sinA"]
-+- r"2 [ sin h" - sin ( 3 h" - 2 V" )] ;
on obtient — y]'C en mettant des cosinus au lieu des sinus. Il convient d'écrire
On remplacera ensuite r", V", r' et V — V" par les développements
-7, iH — e"'^ — e" cos l" e"^ cos 2 /"+... ,
V" = L" + 2e"sin/"H- ye"2sin2/"4- . - .,
— / — I + - e'^ — e' cos — - cos 2 ^' + . . . , a 2 2
V — V" L' — L" -h 2 e' sin /' - 2 sin -1- ~ e'' sin 2 Z' - ^ e"^ sin 2 /"+... .
On en déduit sans peine
= e'^''^'"'"cos[2L"- 2/L"-Hy (L'- L")-l- 2«A"± k'l'zhk"l"],
|C = 2 ^ î'"""' e'^' e"''" sin [ 2 L" - 2 iL" + /■ (L' - L" ) + 2 iA" A" ± k' l ± k" /"],
OÙ i doit recevoir les valeurs 0,1 et 2.
162. Il nous reste enfin à développer les quantités j^3, j^, ce qui se
fera au moyen des formules (i3) et (i4). La première donne
ÎT7' ^ ^\>' + ' ( V - V") \- B'^' cos ( 2 V - 2 V" )-+-..., où les coefficients B^", B^", . . . sont des fonctions homogènes de / et de r" .
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES OH MOUVEMENT DE L\ LUNE
On en conclut, aisément
i =y Ae"''<!"-cos[,/(L' - L')± AT],
et, en se reportant à ]a formule (t4),
^2 Ae'^-'e"'^"y"^'-^'-''cos[/(L'^- T/)± ^^(L"- /*")].
On aura, finalement, pour ce qui provient de la Terre et de la planète P, dans chaque argument, la portion
avec le facteur e"' e'"" Y""''-"' -
On est à même maintenant de trouver la forme des divers termes qui figurent dans le développement de la première ligne de l'expression (9) de R", et d'obtenir en même temps leur ordre. Considérons, par exemple, la portion
cc^ - -n^
En prenant dans ce' - 7' les arguments 2L, ih, 2L — 4^, et dans - y]' les arguments 2I" et 2A", on trouvera les divers arguments ci-dessous, en regard
L par g
%g + ih
ig + 2 /i
1 g ih
lg -V- 1 h
ihzizil-
ig — 2 //
T. - III
On trouvera, dans les pages lo, i i et 12 du Mémoire de M. Radau, des expressions analogues pour les huit termes composant les deux premières lignes de R", et ce Tableau permet de fixer rapidement l'ordre du coefficient d'un argument quelconque.
Cherchons, par exemple, le coefficient de l'argument
ig -\--2h + 2>l'—9A".
En faisant abstraction de la différence /'-- /", il se réduit à
2^ ^- 2 A -h l"z={ig + 2 h — 2 /") 4- 3 1".
Or, dans notre Tableau, l'argument ^~ ih — 2/" aie coefficient^^; en ajoutant 3/", on introduira le facteur e"^ ; mais on peut écrire
Donc on aura, pour le facteur principal de l'argument proposé,
On aura aussi e-e"Y'^ et e^e'y"-, en comhinant avec 31" ou 2/"— (/'— /") l'argument partiel 2(L" - A").
163. Il s'agit maintenant de considérer surtout les arguments dans lesquels le coefficient du temps est assez petit, de façon à donner des inégalités sensibles. M. Radau a donné à ce sujet un Tableau très complet (p. t3-i6 de son Mémoire), dans lequel il représente par
les longitudes moyennes de Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne el Uranus. Voici d'abord les mouvements diurnes de ces longitudes, ainsi que celles de /, L, h, g, . . . :
Lune.
Planètes.
47033,97 47434,9^1 — I9'>w7 -'-591,60 -f-4oo,9'2 -^^78'^,4fi -i- 19,38
INÉGALITÉS PLANÉTAIRr.S DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
J'extrais du Tableau de M. Radau les données suivantes :
Ordre. Coefficient. Argument. Mouvement diurne. Période.
(Ilaasen )
(Hansen)
(Haiisea-Delaunay )
iGT
(Hansen-Delauaay )
(Neison-Hill)
(Neisoii-Gogou)
—, Y - ee
(Laplace-Poissoii
M. Radau a compris dans sa liste quelques arguments à période relativement courte, qui ne renferment pas d'éléments lunaires, mais seulement les longitudes h' et L". Leur importance vient surtout de l'action indirecte que les planètes exercent sur la Lune, par les perturbations du mouvement de la Terre, en ajoutant à r' et Y', dans R', des inégalités où figurent les longitudes L", désignées plus haut par les lettres V, M, J, —
1G4. Il nous faut dire maintenant comment se calculent les inégalités de la longitude de la Lune qui dépendent des arguments considérés.
La substitution des valeurs elliptiques des r' , r'\ V et Y", dans les diverses portions de la fonction perturbatrice est souvent très laborieuse. On peut la déduire directement d'une formule générale donnée par M. Radau.
Soit proposé de développer suivant les cosinus des multiples de L et L'(nous mettons pour abréger L et L' au lieu de h' et L"), l'expression
a ces (A + iV -f-t'V'),
OÙ 3 représente une fonction de ret r', et A une constante. En se bornant aux termes du troisième ordre en e et e', on doit remplacer r et Y par
/• = a j^i -h - — — g e*^ cos/— ^ 0082^ — g cos3/ , V = L -h ^26 — 7 sin/H- 7 sin2/+ — sin3/,
r' et Y' par les mêmes expressions dans lesquelles on accentue toutes les lettres.
38o CIlAl'lTllE XVIU.
On aura rccoui's à la série du Taylor qui donne
— L -f- a , - (Ja
- e- — e — \ cost
^ cos/ - . . . j
•2 da^
cos(A H- f V -h <' \ ')=:cos0 — sin0 j^t ^^e— ^- sin/4 ...-+-<' ^2 e' — ^ e'^^ sin/' + . . .
OÙ C désigne ce que devient S quand on remplace r et /•' par a et a' , et
0 = A F iL \- i'L'.
On trouve finalement
Gcos(A 4- +
= HoCOS0 -h Hi e cos(0 -f- / ) H2 e- cos(0 -h 2/) -1- H3 cos(04-3/) -H H;e'cos(0 + /') H H;é?e'cos(0-h^-T-/') -^H'3e2e'cos(0+ 2/ +
+ M- H^e'^ cos(0 4- 2/') H- H3ee'2cos(0 + 2/')
+ -^Wle'^ cos(0 + 3/')
Nous n'écrivons pas les termes analogues oîi / et /' sont remplacés par — / et — car les coetïïcients correspondants se déduisent des précédents en y changeant respectivement i en — i, ou i' en - i' . Il ne faut pas oublier d'ailleurs que, pour 0=-^ o, les coefficients qui suivent Ho sont doublés parce que cos( — /) coïncide avec cos/.
On verra aussi que H',, II';, II';, H3 se déduisent respectivement de H,, H., h; et H.,, en permutant a, e, i en a', e et i' .
Posons
mais en désignant par • • ce que deviennent • pour r = a et
INÉGALITÉS l'LANETAlllES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 38 1
— a'\ la distinction est importante si G contient a^wd . Nous trouverons
Ho C + (- i^C + ^ C, -i- ^ -^- e"- (- .-'^-C + ^ C'+ ^ C") , Hi---^C + [ 8 ^"^ Te ^'"^-8~^^~T6^
Ha ^ ^ —y— C ^ Cl -r g C,,
h; - r «'G - - (fC' + i'Ci) + 7 1*2-^ —8-^ 4~ 8 '
. /| <2 + TO i -4- 1 3 .^1 9< 4- 3 , / -r r . I
H-< — L ; G — IX ^1 Q~ Tô
Pour le calcul des quantités C, C, , ... qui sont des fonctions homogènes de a et a! y il convient d'introduire le rapport
que nous supposerons toujours < i ; de sorte que a représente la distance moyenne de Mars et de Jupiter et a' celle de la Terre, ou bien a celle de la Terre et a! celle de Mercure ou de Vénus. On suppose encore
On trouve immédiatement
cloL dcf.'
382 CHAPITRE XVi:i.
mais les dérivées , C2, . . . relatives à a dépendent de l'exposant n. On trouve aisément
d'où
On aura surtout à attribuer à n les valeurs 3 et 4; il est facile de trouver les valeurs correspondantes de C,, C'^, ... et de les porter dans les expressions générales des Hq, . ., H'^'. Nous ne reproduirons pas ici le résultat de ce calcul très simple.
165. Nous avons quelques indications à donner sur le calcul des quantités 53' ijs^ — Nous introduirons les quantités
1)72*- = (i - 2 a cos 0 + ^lbl-\- bl cos 0 H- 6| cos 2 Ô + . . . ,
en supposant a < i, et écrivant pour abréger b'^ au lieu de ^i". M. Kadau a introduit les combinaisons suivantes des h,
= bi-abi:'\ V^bi = Vbi- aVZ>^' = b'^ ~-2abi^' + a^^f S
On sait que le rapport tend vers la limite a quand i croît indéfini-
ment, de sorte que les quantités A, A^ ... tendent vers zéro. Elles décroissent même, en général, très rapidement, quand l'indice augmente, comme le montre le Tableau suivant, qui a été calculé pour Vénus et la Terre (a = 0,728 332 2).
INÉGALITÉS PLANÉTATRES BU MOUVEMENT DE LA LUXE
