o3 ,3oo
ioo5, 195
Il ,39
On a ainsi le moyen de vérifier les valeurs des coefficients h\, car les A peuvent être calculés directement par des formules analogues à celles qui fournissent les Mais l'avantage principal de l'emploi de ces combinaisons, c'est qu'elles se présentent naturellement dans le développement des divers termes de R", comme nous le verrons dans un moment. Quand on suit la méthode de calcul ordinaire, avec les h[, il arrive souvent que le coefficient de l'inégalité est la différence très petite de deux nombres très grands, qu'il faut calculer avec beaucoup de décimales, circonstance qui rend le travail excessivement pénible. Or l'introduction des A permet d'éviter cet inconvénient en réduisant tout de suite les coefficients à leur vraie valeur. Les A jouent un rôle important, surtout dans les termes qui dépendent des excentricités.
On sait exprimer les h\ par des séries hypergéométriques {voir notre t. I, Cbap. XVII); on peut faire la même chose pour les A et les V. Ainsi l'on a
Lb' - ^l+'^^•:^^-+l^F(l-^.,^-hI-^,^ + I,a^).
(±::zAl-^±1^^ F ( 2 - ? - h I - ^ + 1 , ) ,
384 CHAPITRE xvin.
il en résulte les relations
/> ç ^ / s — 1 A' — '--î iF(,-S -i- ' > ^ i - 1 , a ■ j
et l'on voit que les A successifs décroissent très vite, lorsque i est un nombre un peu élevé. Il n'en est pas de même des V, qui sont en général du même ordre que les h.
166. Nous avons dit que les A se présentaient naturellement dans le développement des termes de R". L'expression (9) de R" contient en effet les expressions
Or, en écrivant, pour simplifier, r et V au lieu de r" et V", et faisant ~ — cl, les formules (12) donnent
^ r= r cosV — r' cosV— /• cosV -h y^r cos(2/< — V), •0 = r sinV — r' sinV — r sinV + y'^r sin (?,/< — V) ;
on a ensuite
1)2--, ,.2 ^ ;.'2 2r/''(i — y^) cos(V' — V) — irr'y^ cos(V' + V— ih). Si l'on fait
n? — T +- a^- - 'îacos(V — V),
on trouve
— j-cosV — acosV— y^cosV-^ y-cos(2A — V)][i + a^ — 2 acos(V — V) -1- 2ay2cos(V— V)
— 2 ay^ cos (V + V — 2 A)]"
,r , / 7 Trx-, r I K oCOS(V — V')— cos(V + V' — 2/01 ■-rz[cosV-acosV'-y^cosVFfcos(2A-V)j|^jyj -Say'' ^
de sorte que la partie de pr' qui est indépendante des inclinaisons est égale à
cosV — a cosV I
(cos V — a cosV')^ ^5 cos( «V — «V).
INÉGALITÉS l'LA^ÉTAl l'.ES DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
On trouve de même, pour la partie de qui est indépendante des inclinaisons,
zzz - r cos 2 V — 2 a cos ( V -i- V ) -h y.' cos- V ] V Z;'; cos ( < V -~ « V ) .
On a, en utilisant une transformation bien connue,
- COS V y Z>' cos ( t V - i V ) - y cos ( V - i V i V ) ,
-COSV y ^',COS(/V - rr i^] ' COS(V- /V -i- /V),
d'où
AO':. cos( V — A + f V).
On trouve de même
> y-li' coS( 2 V — < V -,- f V ').
Si l'on remarque que, d'après les formules (17), on a
on trouvera que les parties de r' et de -~yr/^ f "^ qui sont indépendantes des inclinaisons ont pour valeurs respectives
-A 6» cosV -,--y A Z;', cos( \ -IV lV')-[- - U.cos{ \ r-lV--l\').
- A^ cos 2 V -h - 2 ^^^'o cos (2 V — iV -r- iV) -r^^^ V-(^;cos(2 V -i~ i\ — iW).
On voit donc que, comme nous l'avions annoncé, les fonctions A6'., Yb'., A'^^a et V-*^''. s'introduisent tout naturellement; la transformation sera surtout 'ï. - ni.
386 CliAPlTUE XVIII.
avantageuse quand on aura à considérer l'un des arguments
L — iL -r iL', 2L — f L H- iL',
OÙ i désigne un nombre entier positif.
Dans le cas des planètes inférieures >> r), on aurait, en faisant a — p =~- j;
OL cos V — ces V,
>' , acosV — cosV I
jj5 ' ' ^- ^-0— - - 2^ AZ>^cos ( V ' ^ - 1\'
- cos y - - y A^'„ cos ( y - i V H- i V) - y V6^. cos ( V -1^ / V - / V ) ,
~2 ^ A2Z>'„cos(2V'-/V' /V)
^ A^Z>»cos2V'+ -^y^ cos(2 V— /V) 1 ^
' 2 ^'^icos(2V'-i-<V'- /V)
On trouvera dans les pages 28-3 1 du Mémoire de M. Radau les formules qui permettent de calculer rapidement, de proche en proche, les valeurs des A, A-, V, — , ainsi que celles de leurs dérivées.
On voit ainsi que l'on peut obtenir, d'une manière rapide et sûre, la valeur numérique du coefficient d'un argument quelconque de la fonction perturbatrice de la Lune, grâce aux simplifications indiquées, à savoir :
I" La décomposition préalable des termes de R en groupes qui renferment certaines combinaisons des éléments lunaires;
L'emploi d'une formule générale de développement par rapport aux excentricités;
3° L'introduction des fonctions A, V des coefficients b'^.
167. Il reste à en déduire l'inégalité correspondante de la longitude de la Lune. On y parvient aisément en se servant du procédé d'intégration que M. Hill a exposé dans son beau Mémoire, On certain liinar inequalities due to the action of Jupiter {Astron. Papers, t. III; i885). Ce procédé, qui repose sur la méthode de Delaunay, réduit le travail à quelques substitutions.
Nous avons vu que, dans cette méthode, on considère six variables L, G, H, /, g, h. On élimine successivement tous les termes périodiques de la fonction IV
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU JIOUVEMENT DE LA LINE
qui provient de l'action du Soleil ; après les avoir épuisés, on conserve le terme constant qui est comme le résidu des opérations, et dont les dérivées, par rapport à L, G, H, fournissent les mouvements 4, et Ao des arguments /, g, h. Si alors on ajoute un nouveau terme périodique, provenant de R", que nous désignerons par R^, les éléments devront satisfaire aux équations différentielles
Tt " dl' ' dt " dh'
Soient SL, ol, ... les accroissements des éléments, et ^h^ les varia-
tions de 4' ^0 et Ao qui correspondent à SL, §G et oH. On aura
^/âL^, dàl dV.
~W~d'[' dt " dV.
Posons
[ Rirrr A C0S9,
I 9-/7 -H i' g- - r î" h ~+- et q,
où nous représentons par c/ + ^ la partie indépendante de la Lune qui renferme les longitudes des planètes, et soit
M i If, -f- i' ,^0 - ^ ^" - H ^
le mouvement de l'argument 0. On pourra prendre finalement
d = Mt-^Q.
Les formules (i 8) et (19) donneront
d'où
da ^ oa — ^ ôL oL
dL
On aura ensuite
.„ da\ A
.„dlA A
dol ()A û
<if c>L
dL ^ ÔL de dL dy âL
En intégrant, il vient
r.HAIMTRE XVHT.
dL
Les coefficients
àlo .-.àiA A dk sin0
dR dL
, , .,r M ' Qwi entrent dans ces formules,
peuvent d'ailleurs être calculés une fois pour toutes, à l'aide des séries données par Delaunay (t. 1, p. 834, ^^7; t. JI, p. 237, 799). M. Hill en a déterminé les valeurs numériques en ajoutant les compléments probables, obtenus par induction, quand la convergence des séries était insuffisante; nous ne reproduirons pas ces valeurs numériques.
Pour établir les expressions finales des perturbations cherchées, M. Hill introduit, à la place de M, le rapport^ — [Jt-, où n — h- représente le
moyen mouvement définitif. L'inégalité de la longitude est proportionnelle à tx-, si la période de l'argument 6 est très longue, et, par suite, [i très grand. On pose •
et si l'on reprend maintenant la lettre L pour désigner la longitude moyenne, on trouve
~ {■?. , o 1 35 i — o , oo335>9 i' -f- o , 00008/1 i" ) B cos 9,
àe ~- (19, -207 «—19, îi38 i' -! o , oo32 i" ) B cos 0, dy z:- (o , 00 1 \ i -f- 5 , 56-4 i' — ^ , 5899 i" ) B cos 0 ;
dh
( - 3 , 0904 / -j- o , o566 1 /' — o , o 1 1 37 i'' ) ju. — 9.,oiooA h o,34'i7X'-f- 0,4719^-" ( — 3,11 56 i o , o6?o8 i' o , o366o i" ) (j.'
o,,oi34A — 349,84X'- o.o3i3A" (— o,o36So« i- o,o'297r i' o ,oo3-]6 i") (x
B sin9, B sin9, B sinO;
on a déterminé 'k. A' et A" par les formules
ôy
M. Radau a employé avantageusement une modification de ces formules, en faisant usage du rapport
iNr.(.Ai.iTi:s i>LAM'.TAinr,s nu mouvement de t.a lune. '^89 qui représente (au signe près) la période de l'argument 0, et qui est treize fois plus petit que [i.. Il pose en même temps
et trouve
(9.0 bis)
{n\ bis)
— -(o, t490' i — o,ooo?46t' — o,oooooGi" ) P cos'5,
j rvr ( r , 4 2 1 5 i - - I , /iaSS f' + o , 0002^ i" ) P cos 5, 07 --(0,00010/ -i- o,4i2o3<'— o,4i370t'')P cos 5;
-\- o, 000006 }^ — o,oo435>/ -'y- 9,2i69A"
ÔL
oh =:
P sin9,
P sin9,
P sin9.
Pour avoir l'inégalité de la longitude vraie, il faut substituer les perturbations des éléments dans l'expression de V, et il suffira généralement de se borner aux termes principaux, en faisant
(23) V^L + 9.esin^-i-o,4iesin(2D — 0» D---L— L';
par conséquent,
ôV - aL + <5e[2 sin/4- o,4i sin(2D — /)] -^■ 2 e cos / 0/ o,4i e cos(2D — /) ( 2 ôL — èl).
Dans les applications courantes de ces formules, le coefficient A contient le facteur a"^ ou ^^^ de sorte qu'on a X = 2 ou 7v = 3, en faisant abstraction des modifications que les perturbations solaires apportent aux éléments de la Lune.
Lorsque A renferme le facteur e ou e"^, on a i ou X'= 2, à peu près, et comme, dans les formules (21) et (21 his), 0/ contient X' multiplié par un fort coefficient numérique, il peut en résulter une perturbation sensible de l'élément / et, dans V, une inégalité à courte période qui accompagne l'inégalité cherchée, dont l'argument est ô.
168. L'action directe des planètes sur la Lune provient de la partie R" de la fonction perturbatrice; elle dépend en première ligne, d'après la formule (9),
du facteur m" j— Les formules introduisent le facteur
" ^ 7^- — - «'2 «2 (planètes inférieures),
OU bien
(planètes supérieures).
En multipliant ensuite par 206265" pour convertir en secondes d'arc, et désignant par le facteur ou a% on trouve :
Mercure OR = o",o389
Vénus o,5i57
Mars . 0,0194
Jupiter 1,3975
Saturne 0,0679
On a, d'ailleurs,
--—0,07440, — - — o,oo5535 = •
Pour tenir compte des perturbations solaires, dans R'', le plus simple sera de substituer pour r, V leurs valeurs troublées. On prendra donc les expressions
(non transformées) de Y et de ^, données par Delaunay, et l'on en déduira celles de r"^, cos2y, sin2V, ....
On trouvera, par exemple, avec une approximation suffisante, en faisant
— (^2 m'- + ^- me" + m'- e^^ cos 2 D -1- (^^ "'^ ces ( 2 D - 2 l) + . . .
De même
ô[^cos(2V-2V'-t- A)j = ^mVcos(/--A)^(^m-H^7^m^)ecos(/+A)
— — u "î^e^ cos (2D — 2 / -H A) H- .... 128 ^ ■ '
Ces expressions nous seront utiles dans la suite.
La partie R' de la fonction perturbatrice est la source de l'action indirecte des planètes, de leur action réfléchie par le Soleil, car elle se traduit par des per-
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT UE LA LUNE. SqI
turbations des coordonnées r' , 1', \]' (rayon vecteur, longitude et latitude du Soleil). Nous prendrons ces perturbations dans les Tables de Le Verrier.
169. Pour évaluer l'action indirecte d'une planète, il faut donc introduire dans R' les inégalités or, oV et§U', en posant
dW r)R' (W
dr' d\' di}
Rappelons, d'ailleurs, que, dans les Tables de Le Verrier, les arguments renferment la longitude moyenne de la Terre, qui est désignée par et qu'il faut augmenter de i8o° pour avoir celle du Soleil.
En faisant abstraction de âU', et considérant la première ligne de l'expression (8) de R' comme une fonction de V — V qui a en facteur p^, on peut faire,
(24) èR'--=-m''^;'-^^d\'.
L'action indirecte est, dans certains cas, beaucoup plus sensible que l'action directe. Considérons, par exemple, le premier terme de la formule (8), on aura
= o, (5R' — — -, TT-àr'--- — y/t'^ a^{i -i- 4e' ces/') -, ,
dV 4 r'* 4 ' 'a'
OU, plus simplement,
4 Cl
de sorte que les inégalités qui en résultent apparaissent comme des perturbations du rayon vecteur r. En prenant dans les Tables = A cos6, on trouve
dR'--ln'^aK\.COse;
par conséquent, en vertu des formules (21), dans lesquelles on doit faire
i = i' = i" = o et 7. = 1,
ôL z= 3a — A siiiô, OU bien, par les formules (21 bis),
3 2 (5L = - X o, l'^èn&pk sinô - pk sin9. 2 ' 9
En supposant que la période est très longue, et que or' dépend principalement
CHAPlTHli: XVIII.
de oa' , on aura encore, à peu près,
(20) ôV'=i pk^\\\0\
en comparant les expressions précédentes de oV et de oL, il vient
( 26) aL — ~ av- — o, i5 ôv.
Quelques mots d'explication sont ici nécessaires : on a
— e' cos /' M- . . . ), V L' -h y II' dt + 2 e' sin /' f- . . . ,
d'où
■s , àr' ^ , 0/- ôa -h — ■-: oe 4- . . . ,
aV — ôL' [ d/i' dt ~\- oe' -h . . . . J àe'
Si oe', . . . n'interviennent que très peu, nous supposons que l'on peut prendre
or' — àa' - - A a' ces Q.
On a ensuite d'où
'>. on' 3 or// n' ' a'
d\ '■::-— - p\ alnO,
ce qui est la formule (26), laquelle serait en défaut si l'inégalité â/' provenait surtout des perturbations de l'excentricité et du périgée du Soleil.
On pourra donc, d'après la relation plus ou moins empirique (26), se faire une idée de l'importance probable du coefficient de l'inégalité de L, en divisant par 7 celui de l'inégalité analogue de la Terre.
Pour en montrer l'application, cherchons le coefficient de l'inégalité, due à l'action indirecte de Vénus, qui dépend de l'argument i3T — 8V. Les Tables donnent, pour la Terre,
aV r l",92 siii(i3T 8V l32");
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3^3
011 en conclura
ÔL = -o",29sin(i3T — 8V+ i32°).
Delaunay trouve, pour la partie qui provient de l'action indirecte,
ôLt=— o",27sin(i3T --8V + i38°);
l'accord est très satisfaisant. La partie qui dépend de l'action directe de la planète est à peine sensible; le coefficient est inférieur à o",oo4.
170. Pour calculer d'une manière plus précise les inégalités dont l'argument ne renferme pas /, g, h(i = i' = i" = o), nous aurons à considérer, pour l'action directe, le terme
r^— 3^2 D\ln'^a''
OÙ DlL représente le facteur numérique —, ou ^ a% exprimé en secondes (voir le n'^ 168), et D, le radical
\/i + — 2 a cos ( V — V ) ;
on a remplacé par l'unité le facteur ^ ou ^) parce que, dans la formule générale qui sert à développer > les dérivées G, , Ga, . . . sont finalement remplacées par les dérivées G', C'\ . . ., qui ne dépendent que de a (voir le n° 164). Dans un calcul rigoureux, il faut ajouter à ~ les termes en y"^, les perturbations solaires, etc.
Pour l'action indirecte, nous aurons
ÔR' = - j m' ^ dr' = -^ n'2a2(n-4e'cos/')
Le facteur r^ — 3z^ a été simplement remplacé par a-; mais l'expression plus complète <2^^i — Gy^ H- ^ e^^ nous servira maintenant à déterminer les coefficients de BL et â/. En y appliquant la formule (22), on a d'abord
i=i'=zi" = o, 1—2, 'k'=Ze\ r=-v2y\ et par suite, dans l'expression (21 bis) de BL, le facteur
3c)4 CHAPITRE XVIII.
puis, toujours par les formules (21 bis),
ôl o , 2980 + 77 , 67 — o , o3
dL 0,2975 — o,o8e'^H- o,42y^ — ^ '79'
On aura ensuite, en remplaçant 4^' par 75'
3 „ , r ^z-' ( cos/'\
Supposons le coefficient de — ^ iPd- mis sous la forme
(2^) ^ 4 (^iH- ^g-) =cA,cos0 + JU'sin0=: - oA.' cos(0 + 90°) ;
on aura, d'après les formules (21 bis),
(5L = + 7 «^«^ X 0,2960 — ^ sin(9 -.-5^, COS0 ,
4 \n'-a^ IV -a- J
^28) ôL =: -/^(oAs sinô — JU'cosô).
Donc, ayant obtenu le développement (27), on en tirera oL en le multipliant par ^/?, etchangeant cosG et sinO en sinO et — cosG. On aura encore, à très peu près,
ô/r=i,8<5L, 6(5/= — ÔL, àe=^o
et, par suite,
à\ ■=:àL+ — (2C0S/ÔL).
L'inégalité concomitante, à courte période, qui provient du produit 2cos/SL, et qui a pour argument G ± /, s'obtient donc en divisant par 10 le coefficient de SL.
171. Proposons-nous de calculer l'inégalité de Hansen, qui a pour argument / 4 16T — 18 V; elle provient de l'action directe de Vénus, donc de R". La première ligne de R" contient, comme on l'a vu, les parties
3 3 r^—'àz\ ^(^' — -^y, 3^s, Zyz.
D'après les formules (i5), l'argument / tout seul ne peut se trouver que dans
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
la première partie — 3^-. On a d'ailleurs
3x;"-= r2__6y2(i y2)(j cos2l')/•^
donc
~ = i — 2e(i — + . . . ] cos l:
,.2 3^2 — — 6y-— g e^^ôy*^ ecos/4-
Il en résulte
R" = - ^ (^i 6y'- - ^ + 6y'^) cos / (^^^ ^" ^
On a ensuite
j)2 ,.'2 ^//2 2 ;•' ( I — y'"- ) COS ( V - V" ) — 2 r' r" y cos ( V + V" — 2 h"), Ç =z 2/-" (^y" - ^ y"^^ sin(V" - h").
En posant, comme plus haut,
= 1- 2acos(V'— V") 4-aS a=JJÎ^5
on trouve
D2 — r'2[D? 2ay"2 cos(V' — V") — 2ay"^ cos( V' + V" — 2 h")], r'^ I ^ „ cos(V'+V"-2A")-cos(V'- V")
ôi-i)|^-3-y^- ni
Il en résulte, en négligeant y'"',
R" = — ^ m" ^3 e (^i — 6y2 - ^ + 6y*^ cos ^
r I ^ „ cos(V' + V"-2A")-cos(V'- V") , . , cos(2V"-2A")-i X [5^ + 3ay- — ^ ^ +6a-y-
Pour avoir les termes de la forme voulue, on pourra se borner à
R" \ m"^ ~ f'e (i - 6y^ - ^ eM- 6y^).(^)'
,C0S(V' + V"— 2/i") +2aC0S(2V"— ih") X COS/ jj|
Nous négligerons e' et e" , et nous trouverons, en remplaçant m" et y" p leurs valeurs numériques,
R"=— o",ooo 247n'2a2 ^(6y2 ^e24 6y4^ 2ecos/
X [cos ( L' 4- L" - 2 /i" ) + 2 a cos ( 2 L" - 2 h" )] ^ ^5 ' cos ( tL — ; L' )
Pour avoir les termes cherchés, il faut donner à i les valeurs i6 et 17; il en résulte
R"=r-o",ooo 247«'2^2 (^,6y2 I e^' + 6y'^^ 2 e cos ^ Q -t- a cos (16L'- i8L"4- 2 A" R" = ~o",ooo2^yn'^a^-e(^i - 6y2 ^ 6y^) -h aô^«) cos(/h- 16L'- .8L"+ 2/1"),
puis, en remplaçant h'^ et par leurs valeurs numériques,
R" — — o", 001 33 «2 g cos 0, 9 = / + 16L'- i8L"+ 2/i".
Nous avons omis pour un moment le facteur i ôy^ - ^ e^-h6y\ lequel diffère très peu de i. Nous aurons donc, pour appliquer les formules (21 bis),
P =— 0";OOl33/)e=r o",OI99, p=-2y3,
i = i, i'=zi" = o, 1 = 2, -k'T=i, r = o.
Il vient alors
aL---i6",5sin9.
Les parties qui dépendent de e'\ e'e\ e"'' sont beaucoup moins importantes. Delaunay trouve en définitive {Additions à la Connaissance des Temps pour i^Ç^i) :
ÔL = i6",668sin(/ + i6/' -18/" +144043', 5) = i6",668sin(/+ i6L'-i8L" + i49''3i',6).
J'ai montré {Comptes rendus, 6 juillet 1891) que, si l'on tient compte de on trouve un complément soustractif qui dépasse i",6. M. Radau a repris mes calculs, et il a vu que, pour tenir compte de il faut multiplier l'inégalité par 1 — 0,1037; il faut l'augmenter de 0,0070 pour avoir égard aux termes en Y\ Il s'ensuit que le coefficient de cette inégalité doit être diminué de l'SSgS. Il faut aussi tenir compte des termes en Y^^'^ et Y^^e''^ qui donnent
- o",444, et du facteur i - (jf - ^-e\ omis par Delaunay, qui entraîne une nouvelle correction de — o",2o6. L'ensemble de ces corrections représente
— 2", 25. Le coefficientde l'inégalité à longue période qui dépend de /+ 16T— 1 8 V se réduit ainsi à i4",4; la période est de 278 ans.
172. Cherchons en second lieu le coefficient de l'inégalité dont l'argument est i3L'- 81/ et qui provient de l'action directe de Vénus. Elle a aussi s^on ori-
INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
gine dans le premier terme de R",
En opérant comme précédemment, on trouve
cos (V^ + V^^ — 2 h") ~ cos (V^ — V'^ )
cos (2 V" — 2 A'
Nous remplaçons m" par Wn'^a'^, r par a et, en ne conservant que les termes utiles, nous trouvons
L'inégalité doit être de l'ordre i3 ^ 8 = 5; comme R" contient déjà le facteur y''% il y aura à considérer les nouveaux facteurs
Nous n'aurons égard qu'au premier. Il faudra considérer le terme général
6',cos(iV'— iy"),
ce qui introduira les arguments
{i±i)Y'- (iq=i)V", iy- (iq=2)V"=p2A",
qu'on devra combiner avec l'argument 3/' qui s'introduit par les formules du mouvement elliptique. On voit immédiatement que, pour avoir un argument final de la forme cherchée, il faut donner à i les valeurs 9 et 10. On aura donc à considérer le produit
rè|cos(9V'— 9V") +6]«cos(ioV'-ioV")| [acos(V'H-V"-2A") + 2 cos (2V" — //)] i 2 2
que l'on réduira à
a' y oc cos { y + y"' — 2 h" ) + 2 cos ( 2 — 2 h" 7') I)|
au lieu de et prenant
Cl> ^ Clf y ^9 ^5
oibl -i-oc^bin, i=io, A = —2/1",
& = ioV—8L"—2h".
On aura à considérer, dans la formule citée, seulement le terme H3e'^cos(ioL'-8L"-.ci/i"+3/'),
avec cette valeur de H3,
4ooH-i5o + i3 400 + 90 + 3^ 11^ I ^
ils — 10 TT ^ Zf- ^1 -1- -n- — 70 ^3»
