CL

d'bl

da}

db\

da}

d^bl d'bl''

db\

2a^bl'>

2 da^ ' <afa^

dbl" da

^ da

da'

db^^ ^ da

da'-

da^

INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 899

Cette valeur de H3, multipliée par le facteur^ que l'on a englobé plus haut

dans le facteur numérique, donne identiquement le coefficiçnt que Delaunay désigne par (p. 28 des Additions à la Connaissance des Temps pour i863). Avec les valeurs numériques de a, èj" et de leurs dérivées successives, on

trouve finalement

R" = ii",9n'-^a2e^3cos(i3L'— 8L" — 2 A" — 3gt')- On peut appliquer la formule (21 bis), en y prenant

= — 239 et A = 2,

ce qui donne

(5L =— 0,296/? X I i",9e'^ COS0,

ÔL = + o",oo39sin(i3L'— 8L"+ 272°).

Les termes qui dépendent de ^['^ e'- e" et de y"^ e' sont, numériquement, de même ordre que celui-ci; mais les autres, qui dépendent de e'% e'"e", ... sont beaucoup plus petits. En somme, l'action directe de Vénus ne produit qu'un effet négligeable, car le coefficient définitif ne surpasse pas o'', 004.

173. Considérons encore une inégalité, signalée en 1877 par M. Neison, et calculée plus tard avec précision par M. Hill, qui dépend de atir — 2J. Pour ce qui concerne l'action directe de Jupiter, cette inégalité provient de la seconde partie de R",

En se reportant aux formules (i 5), il vient

3 r ^2 2£yj'

R"= -y m"{\ — 2y^) H cos(2 2h) — • + /-^ sin(2(^ + 2/1)

d'où, en ayant recours aux expressions (16) de ~ gi^n (^^+ ^^0» conservant que les termes en 2© = 2^ -+- 2 A,

I 5 Cl^

R"= m"(i — 2 y''') -p-r- [(^-— -fî^) COS2C7 + 2^-0 sinacr].

Si l'on néglige provisoirement y"^ dans les expressions de \ et y], il vient

R" — ^ m\ i-2f) ^ [ r'^ cos ( 2 V- 2 ) - 2 r' ces ( V'+ V"- 2 ro) -t-r"^ cos (2 V"— 2 gt)] .

4oO CHAPITRE XVIII.

On a, pour Jupiter, 2f\i = i",3975, et, en posant p = a, on trouve

i",3ioi(i — 2y'^) n'^ a'^e^

2a"^ cos(2

V"— 2 Gj) - 2 a sin ( V'+ V"— 2 gj) + a^cos(2 Y' — 2m)

d'où, en faisant ^ = i , et remplaçant ^ par son développement,

~ i",3ioi (i — 2y^)n'^ o? e'

•2 y CCS (2V"— iV-r- tV- 2C7).

Si l'on ne retient que les termes qui répondent à « = o, « = ± i , il vient

R"= i",3ioi (i — 2y'')n'^ a" TA^ Z>o cos(2 V"— 2cj) + cos (V"+ V — 2st)

+ V^^î cos(3V"- y - 2gt1.

M. Radau développe cette expression par sa formule générale; il introduit alors les arguments

2L"— 2C7 = 2J — 2t»j, dont le coefficient est fini,

L"+L'— 2Gy 2 J— 207 + 7n'—C7", ) . . , , '

3L"- L'-- 2CT — V = 2^ — 2m — m' -vm\ \ Remplaçant finalement cr'— m" par sa valeur numérique, il trouve

R"=zi a2g2(i 2y2)[2", 7326COS(2C7 — 2 J)-- 0",0026 Sin(2CÎ — 2 J)].

Il tient compte aisément de y'' en modifiant légèrement le coefficient de cos(2W — 2J), et le remplaçant par 2", 7317.

Il reste à déterminer l'effet des perturbations solaires. Jusqu'ici, en effet, on a considéré les éléments de la Lune comme elliptiques, tandis que, avant de les substituer dans R", on devrait tenir compte des modifications qu'ils éprouvent par le fait de R'. Celles qui proviennent des facteurs — xy ont pour origine le développement de COS2V, dont nous n'avons d'abord retenu que le

terme - e"- cos2îrr. Or les formules du n° 168, en y faisant A = 2T = 2 Y', donnent directement

qui contiennent e' et e".

INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVRMRNT DE LA LUNE. ^\Ol

de sorte que l'on a finalement

- C0S2CT i- e- — - cosacr = - cosacr i ,—

il suffit donc de remplacer par

ou le coefficient 2", 7817 par

Considérons enfin le terme suivant de R"

TÎF = ^r3^|cos(2L'-2L").= o",o5i7«'-^r^cos(2L'-2T/). Les formules du n" 168 donnent encore (puisque 2D — 2/= 2m — 2L') ô( /-) = (^^g- - + 3- - j cos ( 2 rt. - 2 L' ),

et, cette expression étant mise à la place de r-, le terme en question devient

-+- ( o",l45 -r- o", 647 ^^2' ) '^'^ C0S(2CT — 2j).

En ajoutant ces perturbations solaires à l'expression primitive de R", on trouve, pour l'action indirecte de Jupiter,

R"= n'^ «2 g2 j^(^2",732 - 5",46y2+ o",j45 ^ - i",37 ^^^'^ cos(2ct - 2 J)j — o", 026 sin(2 7ry — 2 J).

Il faut calculer ensuite l'action indirecte de Jupiter, qui donne

èW= n'^ «2 g2 j^^o",267 — o", 26y2-- o",o5 cos(2nT — 2 J) -h o",oo6 sin(2cî — 2 J).

On a, finalement, en réunissant les deux effets et négligeant le très petit terme en sin(2CT — 2J),

R = /^'2a2g2 (^2",999-5",72y2 + o",i45^' - i",42^') cos(2ct- 2J). T. -III. 5i

4o2 CHAPITRE XVIIÎ.

Il ne reste plus qu'à appliquer la formule (21 bis), en prenant

R = ACOS0=:A COS ( 2 A -h 2g — 23),

i=o, i'=i"--2, M=f-2o3",58, 17«"% /Jag,

e-=iO, 0.5487 , 7 = 0, o4 5o, a dA o e âA -,,7 à A

et les formules donnent

de = — o",4'i67 COS (2 57 — ?.J), e dl — - — o", 4408 sin ( aw — 9. ,1 ),

ÔL 4- o", 9.067, si n ( 7, C7 — 7 J ) ,

(l'où, finalement, pour la perturbation de la longitude vraie de la Lune,

§\T — 4 o", 7.06 si n ( 7 — 7 J ) — o", 888 sin ( / -i- 7 w — 7 .T ) — o", 1 86 si n ( / — 7 T + 7 J ) .

Il y a donc une inégalité de o",2, dont la période est de 17^,43, par conséquent voisine de celle du nœud (18^, 6), et une inégalité concomitante, à courte période, dont le coefficient atteint o",9, comme l'a trouvé M. Hill.

M. Neison avait cru que les deux coefficients devaient être respectivement de 2", 20 et de i", 16, et il avait pensé que l'inégalité à courte période pouvait expliquer l'inégalité empirique de i",5, découverte par M. Newcomb, en [87G [voir Nevill, The Jovian evec lion (^Morithly Notices, mai 1890)!.

Dans le but d'utiliser les observations d'occultations d'étoiles par la Lune, faites à l'occasion du passage de Vénus de 1874, M. Newcomb {Investigation of Corrections to Ilansens Tables of ihe Moon, Wasliington, 1876) entreprit une comparaison méthodique des Tables de Hansen avec les observations de la Lune faites à Greenwich et à Washington, de 1862 à 1874. En attribuant une partie des erreurs à l'influence de corrections variables de l'excentricité et du périgée, il a pu déterminer treize valeurs de ces corrections. Leur marche très nette indiquait une période de quinze à vingt ans dans e et îrr, ce qui fut confirmé dans la discussion d'observations antérieures à 1862. M. Newcomb a trouvé pour l'inégalité correspondante de la longitude

ÔV — i",r) sin[/ 7i",6(/' ^ i86.>,t)].

M. Neison eut l'heureuse idée d'attribuer l'inégalité à l'action de Jupiter; mais ses calculs étaient inexacts, comme on l'a vu plus haut.

174. Delaunay, dans ses deux Mémoires sur les deux inégalités de Hansen

INÉGALITÉS l'LANÉTAlUES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 4»^

considérées plus haut, a eu égard aux perturbaLions solaires des éléments de la Lune. Si l'on ne considère, dans la formule (9), que les termes de la première ligne, on voit qu'il faut obtenir les expressions troublées des quantités

/•- — 3g^, X' — y^, jcy, x'z, y 3,

ce qui se fera en partant des expressions elliptiques des mêmes quantités, et y introduisant les modifications obtenues par chacune des opérations de Delaunay. On n'a, dans chaque cas, à considérer qu'un certain nombre de ces opérations, et l'on voit facilement celles qu'il faut retenir, afin d'avoir des termes de la forme voulue. 11 en résulte, néanmoins, une augmentation notable dans la longueur du calcul. Il est vrai qu'on pourrait utiliser directement les valeurs

troublées de - et de V, comme nous l'avons fait plus haut. Les nouveaux termes /■

modifient peu les anciens; donnons-en une idée : Delaunay a trouvé pour l'une des parties de l'inégalité en / h- 16/' — 18/"

X sin(; + iG/'— i8/"-hi6gj'— i8ct"+ -2/1"),

ce qui, réduit en nombres, donne pour le coefficient du sinus,

Qti voit toutefois que la convergence de la série en m parait peu satisfaisante; on est en droit de se demander ce qui arriverait pour les termes en m% m\ —

175. Il convient de donner quelques détails historiques sur le calcul des inégalités à longue période, dans le mouvement de la Lune.

Laplace avait remarqué (Mécanique céleste, Livre VII) que le moyen mouvement déterminé par la comparaison des Tables avec les observations de la Lune antérieures à Bradley était plus grand que celui que l'on obtenait avec les observations postérieures à Bradley; le contraire aurait dû avoir lieu si l'accélération séculaire avait été seule en jeu. Laplace en avait conclu « à l'existence d'une ou de plusieurs inégalités à longues périodes que la théorie seule peut faire reconnaître. En l'examinant avec soin, je n'ai remarqué, dit-il, aucune inégalité sensible dépendante de l'action des planètes. »

Laplace avait bien trouvé des inégalités dépendantes de l'action des planètes, celles dont les arguments sont V — T, T — M et T — J; mais leurs périodes sont courtes. Convaincu que cette action ne pouvait pas donner naissance à des inégalités à longue période, il avait été amené à faire un nouvel examen des inégalités causées par le Soleil. Il avait signalé celle qui a pour argument

4o4 CHAPITRE XVllI.

+ ih — 3trr', dont la période est de 184 ans, et il l'avait déterminée empiriquement,

i5",39 sin(cLf + 2 A — Zxs') = i5",39 sin[i73°26'+ i°57',4(^— i8oo)],

de manière à représenter les valeurs de la longitude aux six époques

1691, 1756, 1766, 1779, 1789 et i8oi; la représentation était très satisfaisante.

Nous avons vu (p. 160 de ce Volume) que le coefficient de cette inégalité est nul, au moins dans la première approximation. Delaunay {Comptes rendus, t. XLVII, p. 8i3; i858) a fait remarquer que, dans la seconde approximation, on peut obtenir l'argument us -r- ih -- 3ct', en combinant deux à deux les arguments considérés dans la première approximation. Il a fait le calcul en tenant compte du carré et même du cube de la force perturbatrice, et, dans sa très courte Note, il dit qu'il a trouvé le coefficient de l'inégalité en question inférieur à o",oor, par suite absolument insensible.

Hansen énonce la même conclusion, mais il n'a pas publié ses calculs.

Quand, en 181 1, Burckbardt construisit ses Tables de la Lune, il réduisit l'argument à îiï h- 2A, omettant 3ct' sur l'avis de Laplace, qui avait sans doute modifié ses idées et attribuait maintenant l'inégalité à la différence d'aplatissement des deux hémisphères terrestres. Burckbardt modifia en outre le coefficient et la partie constante de l'argument; il adopta

12", 5 cos[i I i°57'h- 2<'o'45(^ — 1800)].

Nous avons vu (p. i58 de ce Volume) que l'inégalité ayant pour argument GT -4- doit être insensible, en tant qu'elle provient de la figure de la Terre.

176. A propos de la découverte, faite par Airy, d'une inégalité à longue période dans les mouvements de Vénus et de la Terre, ayant pour argument 8T — i3V, et pour période 240 ans. Poisson remarqua qu'il en devait résulter

dans l'excentricité de l'orbite terrestre, et, par suite, dans i contenant l'intégrale J e'^ dt^ un terme à longue période qui serait l'inégalité de la longitude; mais il trouva que le coefficient de cette inégalité devait être au-dessous

de \-'

Peut-être convient-il de rappeler, au point de vue de l'histoire de la Science, que l'inégalité à longue période découverte par Airy dans les longitudes de la Terre et de Vénus lui avait été révélée par une longue suite d'observations du

INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE

Soleil, comparaison faite dans le Mémoire On the corrections of the cléments of Delambre's Solar Tables, publié dans les Philosophîcal Transactions pour 1828, et qui mettait bien en évidence une inégalité de cette nature. Airy avait été ainsi conduit à rechercher par la théorie cette inégalité, qui est du cinquième ordre et assez difficile à calculer.

C'est une belle découverte d'Airy qui a mis d'abord l'inégalité en évidence par les observations et en a fait connaître ensuite la cause théorique.

Un autre Mémoire d'Airy a provoqué la découverte d'une inégalité lunaire à longue période, très importante [Corrections of the Eléments of the Moons Orbit, deduced from the Lunar observations made al the Royal Observatory of Greenwich, from 1750 to i83o (Memoirs of the Royal astronomical Society, t. XVII)]. Voici les corrections trouvées par Airy pour les longitudes de la Lune, obtenues en combinant les théories de Damoiseau et de Plana :

, De

i8oi

Ces corrections venaient confirmer la conclusion de Laplace, relativement à l'existence d'une ou plusieurs inégalités lunaires à longues périodes. Hansen (' ), auquel Airy les avait communiquées, se mit à étudier de plus près l'action des planètes sur la Lune. Il trouva un grand nombre d'arguments qui conduisaient à des inégalités à longues périodes, et parmi eux un seul donnant lieu à un coefficient sensible. L'inégalité dont il s'agit, et dont nous avons déjà parlé, a été trouvée par Hansen égale à

(a) +16", 01 sin(— / — i6/'+i8r+35"2o',27).

Mais il arriva qu'en appliquant aux longitudes tabulaires les corrections (a), on ne faisait pas disparaître les résidus {a) calculés par Airy. Hansen reprit ses calculs, il tint compte des quantités du second et du troisième ordre par rapport à la force perturbatrice du Soleil, et il fut conduit ainsi à modifier beaucoup le coefficient qu'il avait obtenu dans une première approximation. Il trouva, en effet,

(a') +27",4sin(— /--i6/'+i8/"+35°2o',2),

(') Foir les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XXIV, 1847, et les Astronomische Nadir Lcliten^ x\° 397.

4o6 CHAPITRE XVllI.

Il signala en outre l'autre inégalité, que nous avons déjà considérée, et qui correspondait à l'inégalité d'Airy; la voici, telle que Hansen l'a donnée dans les Comptes rendus de 1847 •

((3) + 23",2 sin(8/"- i3/'+ 3i5°.2o').

Hansen appliqua aux longitudes tabulaires les corrections (7/) et ((i); il introduisit en même temps deux inconnues, les corrections de la longitude de l'époque et du moyen mouvement, et il trouva que les résidus (a) disparaissaient presque complètement, ou du moins qu'aucun d'eux ne dépassait en valeur absolue.

Les résidus donnés par Laplace, pour les époques 1691, 1706, 1764, 1779» 1789 et 1801, étaient aussi bien diminués; car, à part un seul de 2", 9, les cinq autres devenaient inférieurs à i",8.

Toutefois, Hansen n'avait rien publié de ses calculs; il s'en montrait médiocrement satisfait, et se proposait de les reprendre en employant partout deux décimales de plus. Il revient sur ce sujet, sept ans après, dans une lettre adressée à Airy {Mo nthly Notices of the Royal aslronomical Society, t. XV, i854); il dit dans cette lettre : « La détermination précise de ces deux inégalités, par la théorie, est la chose la plus difficile que l'on rencontre dans la théorie du mouvement de la Lune. J'ai cherché à deux reprises à déterminer leurs valeurs, par des méthodes différentes, mais j'ai obtenu des résultats essentiellement différents l'un de l'autre. Je suis occupé actuellement à leur détermination théorique par une méthode que j'ai simplifiée, et j'espère arriver bientôt à une conclusion définitive. »

Dans ses Tables de la Lune, publiées en 1837, Hansen adopte

(a") + ir/,34sin(-/- 16^+18/"+ 33°36'),

((3') 4- 2i",47sin(8/" i3/'+ 4M4')-

Le premier terme semble donc avoir été ramené à sa valeur primitive, obtenue en tenant compte seulement de la première puissance de la force perturbatrice; quant au coefficient du second terme, il est en toutou en partie empirique; il a été reconnu nécessaire d'altérer sa valeur théorique, pour représenter les observations de la Lune entre 1750 et i85o.

La dernière explication de Hansen sur ce point est donnée en 1861, dans une lettre adressée à l'iVstronome royal (Monthfy Notices, t. XXXI) : «... Par ma dernière détermination théorique, je n'ai pas trouvé du tout insensible le coefficient du terme en 8/"— i3/', comme Delaunay; sans l'introduction de ce terme, les observations montrent à diverses époques des déviations notables qui disparaissent jusqu'à la dernière trace quand on l'introduit. Je considère donc

INÉGALITÉS PLANÉTAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. l\0']

que son introduction est établie, et je me propose de procéder à une nouvelle détermination théorique de son coefficient; mais je ne peux pas le faire encore, avant d'avoir déterminé les coefficients restants. »

Enfin, dans sa Darlegiing, publiée en i865-i866, Hansen ne fait aucune allusion aux deux inégalités en question.

Nous avons vu que Delaunay a retrouvé à peu près la première inégalité de Hansen, mais qu'il a trouvé la seconde égale seulement à o",i'j. Ce résultat a été confirmé par les calculs de M. Newcomb et de M. Radau.

177. La publication des Tables de la Lune de Hansen, en 1867, faite aux frais du gouvernement anglais, a été un grand événement scientifique ; on a cru posséder enfin la solution définitive d'un problème si longtemps débattu. Hansen annonçait, en effet, que sa théorie représentait presque exactement les observations les plus précises, c'est-à-dire les observations méridiennes faites depuis l'époque de Bradley, embrassant un siècle entier, de 1760 à i85o.

Il ne semble pas que l'auteur des nouvelles Tables ait comparé systématiquement à sa théorie toutes les observations faites pendant ces cent années, ou du moins il n'a pas publié la comparaison détaillée. II donne {Monthly Notices, t. XV, p. I ; i854) le résultat de la comparaison pour les observations faites par Bradley en 175 1-52-53, résultat aussi satisfaisant que permettait de l'espérer la précision des observations de Bradley; les écarts sont, en effet, de l'ordre des erreurs d'observation. Hansen a fait ensuite le même travail pour les observations méridiennes faites dans les années 1824, 1882, i838, i843, 1844 et i85o; l'erreur moyenne d'une comparaison isolée a été trouvée de 2", 44» dépassant à peine celle qui correspondrait à l'observation d'une étoile. Enfin Hansen dit {loc. cit.) qu'il a comparé aussi à ses Tables une série d'observations méridiennes faites à Dorpat, que les résultats étaient d'une précision admirable, mais qu'il en diffère la publication à la demande de W. Struve. C'est ainsi que s'est accréditée l'opinion que les Tables de Hansen représentent exactement les observations faites de 1750 à i85o; en fait, on peut admettre que, dans cet intervalle, les erreurs des Tables sont minimes et ne dépassent pas 1" ou 2." au plus. A partir de i85o, les erreurs des Tables de Hansen ont cessé de rester aussi petites; de i85oà 1860, elles demeurent encore comprises entre i"et 2", mais elles atteignent S" en 1870, 10" en 1880, et 18" en 1889. Les Tables ne représentent donc pas, avec l'exactitude voulue, le mouvement de la Lune après i85o; que donnent-elles avant 1750?

178. La question était intéressante; elle a été nettement résolue par M. Newcomb, qui a commencé par mettre en ordre tous les documents utilisables; voici les principales sources auxquelles on peut remonter :

I. Les récits plus ou moins vagues des anciens historiens conduisent à penser que, durant certaines éclipses totales de Soleil, l'ombre de la Lune a passé sur certaines régions de la Terre; ces régions ne sont pas toujours nettement indiquées, et la date du phénomène est souvent indécise, quelquefois de 5o ans.

IL Série des éclipses de Lune rapportées par Ptolémée dans son Almageste, et employées par lui pour servir de base à sa théorie de la Lune. — Ces éclipses, au nombre de 19, ont été observées à Babylone, Rhodes et Alexandrie ; elles vont de l'année — 720 à -+- 136, embrassant ainsi un intervalle de plus de 800 ans. Chaque phase observée peut être en erreur de i5'" ou 20'". M. Newcomb a conclu de leur discussion les corrections suivantes des Tables de Hansen :

Obs

Epoqui:

Cale.

On voit que l'on peut admettre avec assez de vraisemblance que, durant les huit siècles qui ont précédé l'ère chrétienne, les Tables de Hansen réclament une correction d'environ — 18'.

111. Eclipses observées parles Arabes. — Ces observations sont contenues dans un manuscrit arabe dont quelques extraits seulement avaient été faits pour les Prolégomènes ([e Tycho Brahe. Il appartenait à la bibliothèque de l'Université de Leyde, fut prêté vers la lin du siècle dernier au gouvernement français et traduit, en 1804, par Caussin, professeur d'arabe au Collège de France, avec le titre suivant : Le Livre de la grande Table Hakémite. . . ; la plus grande partie des éclipses avaient été publiées un peu auparavant dans les Mémoires de l'Institut, t. II, an VIL II s'agit d'éclipsés de Soleil et de Lune, au nombre de 28, observées à Bagdad et au Caire entre les années 829 et 1004. Ce qui leur donne une importance assez grande, dans le cas des éclipses de Soleil, c'est qu'aux moments du premier et du dernier contact, on a déterminé aussi par l'observation les hauteurs du Soleil, ou celles de belles étoiles, au degré ou au demi-degré près, il est vrai ; on a donc, pour la détermination de l'heure, des données beaucoup plus précises que dans le cas des éclipses de Ptolémée, et, bien que les éclipses des Arabes soient deux fois moins éloignées de nous que celles de

4lO CHAPITRE XIX.

Ptolémée, elles peuvent finalement avoir une précision presque équivalente. On ne dit pas toujours comment se faisait l'observation; cependant on voit que, pour quelques-unes, on regardait le Soleil par réflexion dans l'eau. M. Newcomb a déduit de la discussion des observations les résultats suivants :

C Nombre Époque. — — de phases.

IV. Observations faites en Europe avant l'invention des limettes. — Il y a un premier groupe d'observations faites par Regiomontanus et AValtber, un second par Tycho Brahe; il s'agit toujours d'éclipsés. Le temps est déterminé encore par des hauteurs d'étoiles, avec une précision qui ne surpasse pas beaucoup celle des astronomes arabes. L'intervalle qui les sépare de nous étant moins grand, on ne peut pas en attendre de résultats meilleurs. M. Newcomb les laisse de côté ; il s'étonne en passant qu'un observateur aussi infatigable que Tycho Brahe n'ait observé aucune occultation d'une belle étoile, telle qu'Aldébaran.

V. Observations faites avec les lunettes, mais sans chronomètre; Bouillaud et Gassendi. — L'application des lunettes à l'observation des éclipses et des occultations peut être considérée comme commençant avec ces observateurs; mais ils n'avaient pas de montre. Au moment même de l'observation, un signal était donné à un aide qui déterminait avec un quart de cercle la hauteur d'une belle étoile. Les observations utilisables s'étendent de 1621 à i652, et sont au nombre de 20 environ. Si chacune donne la longitude de la Lune avec une erreur probable de i5", l'erreur probable de la moyenne sera de 5" ou 6", et correspondra à une époque voisine de iC4o.

VI. Observations d'Hevelius. Ces observations vont de lOSg à iG83; avec

elles commence l'emploi de la pendule dans les observations d'éclipsés et d'occultations; on la règle au moyen de hauteurs du Soleil ou d'étoiles. L'erreur probable de chaque détermination du temps paraît être de 24% et par suite celle de la longitude de la Lune 12" environ. Le matériel d'observations équivaut à 40 occultations environ; on peut donc penser que l'erreur probable de la moyenne sera inférieure à 3"; l'époque moyenne est 1675,

VII. Observations des astronomes de Paris. — La fondation de l'Observatoire de Paris avait amené, dans la détermination du temps, un progrès très grand, à tel point que les occultations observées entre i68o et 1720 sont souvent comparables pour l'exactitude à celles d'aujourd'hui. L'erreur probable du temps ne

ÉTAT ACTUEL DE LA THÉORIE DE LA UNE. lyl 1

dépassait pas 2% correspondant à i" d'erreur sur la longitude de la Lune. Cela n'excède pas l'erreur provenant des irrégularités du limbe, laquelle paraît être d'environ t". On peut donc admettre i'',4 comme erreur probable d'une longitude de la Lune. L'erreur provenant de la position de l'étoile occultée est plus grande et aussi celle des perturbations tabulaires; ces deux dernières peuvent s'élever à 3". On peut compter que, de 1680 à 1720, on a l'équivalent de 60 bonnes occultations observées à l'Observatoire de Paris : cela donne pour la moyenne, vers 1700, la longitude de la Lune à o",6 près. De 1720 à 1733, on a encore les observations de Paris et celle de Delisleà Saint-Pétersbourg; on peut compter sur une bonne occultation chaque année, à Paris et à Saint-Pétersbourg, de sorte que la longitude de la Lune est déterminée dans cet intervalle à moins de 2" près. La plupart des observations dont on vient de parler ont été extraites des manuscrits de l'Observatoire de Paris, que Delaunay avait mis obligeamment à la disposition de M. Newcomb.

M. Newcomb a donc pu, à la suite d'un travail immense et magistral, obtenir les corrections C des Tables de Hansen, pour les époques comprises entre 1620 et 1730. Afin d'atténuer l'influence des erreurs, il a pris des moyennes de 25 en 2J ans, et c'est ainsi qu'il a formé le Tableau suivant :

1625 + )o' ± tS"

On voit donc que les Tables de Hansen ne représentent pas bien le mouvement de la Lune avant 1 760 ; elles ne le représentent pas non plus après 1 85o. Il serait intéressant d'avoir les comparaisons exactes entre 1750 et i85o, pour les observations méridiennes et les occultations. M. Newcomb dit que l'erreur des Tables pour 187^,0 a été trouvée de —9^,7 par les observations méridiennes de Greenwich et de Washington ; les occultations ont donné environ 2" de moins, de sorte que l'on a admis — 8".

179. Pour chercher la cause des erreurs inadmissibles, avant 1750 et après 1750, il convient d'examiner les trois points suivants : le calcul des perturbations solaires ; le calcul des inégalités à longues périodes ; la détermination numérique des constantes.

Les coefficients des inégalités solaires ont été calculés par Delaunay et Hansen par deux méthodes entièrement difi'érentes, et leurs résultats ont été comparés par M. Newcomb (voir le n° 156). Malgré le peu de convergence des séries et

l'introduction médiocrement satisfaisante des compléments probables de Delaunay, l'accord est grand. Les travaux de MM. Hill et Adams ont remédié en grande partie à la lenteur de la convergence des séries qui représentent les moyens mouvements du périgée et du nœud. Aussi est-on presque en droit de dire que le calcul des perturbations solaires de la Lune est pratiquement résolu.

Il convient cependant de mentionner un travail important de M. Andoyer {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VI), Sur quelques inégalités de la longitude de la Lune, dans lequel l'auteur a vérifié par deux méthodes entièrement différentes quelques-uns des calculs de Delaunay. Il leur a apporté de légères corrections; il a trouvé, par exemple, que les termes en m** et m\ dans le mouvement moyen du périgée, doivent être remplacés par

On ne doit pas s'attendre néanmoins à voir disparaître les erreurs des Tables en prenant les perturbations solaires de Delaunay à la place de celles de Hansen.

Relativement au second point, nous rappellerons que, des deux inégalités de Hansen

V^rr, ^ i5",34sin(— / - 16/' H- i8/"-F 33°36'),

V^rrr-!- 2 I ", ^7 Sin ( 8 /" - I 3 /' + 4"44'),

la première a été confirmée par Delaunay, et la seconde réduite à 0^,27. On doit désormais retrancher V2 des Tables de Hansen, c'est-à-dire ajouter Vo à la correction tabulaire

C ~ observation — calcul ;

mais alors l'accord cessera d'exister entre 1730 et i85o.

Passons au troisième point. Hansen a adopté des valeurs déterminées pour les constantes elliptiques et pour l'accélération séculaire; il a pris s = 12", 17. Nous avons dit que ce nombre n'a plus de base théorique, Adams et Delaunay ayant trouvé par un calcul correct ^ = 6', 18. On verra d'ailleurs plus loin que ces deux valeurs de .y permettent de représenter presque aussi bien l'une que l'autre, grâce à l'introduction d'une inégalité empirique, les observations faites de

Quand on ajoirte Va aux erreurs tabulaires c, elles prennent les valeurs c' indiquées dans le Tableau suivant :

— rj",! ^33

17o0 "-18, 9 H-ig

I80O —11,4 — ïi

180. La présence du terme Vo a fourni à Hansen une valeur du moyen mouvement séculaire n (pour 1700,0) qui est sensiblement erronée; il y a donc lieu de faire varier n de Sn; il convient aussi d'attribuer à l'accélération séculaire s et à la longitude moyenne de l'époque £ les variations os et (5e. Mais il suffit d'un coup d'œil jeté sur le Tableau précédent pour voir qu'il n'existe pas de système de valeurs de In, ts et 01 susceptible d'annuler pratiquement les quantités La conclusion est donc que la théorie actuelle est impuissante à représenter avec précision l'ensemble des observations, de 162.5 à 1875.

Tout ce que l'on peut faire, c'est d'introduire dans la longitude de la Lune une inégalité empirique

R = A sin a / -1- B cos a t,

et de chercher à déterminer les quantités la, âs, cz, A,B et a, de manière à annuler 1 es erreurs c '; c'est ce qu'a fait M. Newcomb, et il a donné à a une valeur telle que la période T = ^ de R soit égale à 273 ans, la période même de V,. On aura, pour atteindre ce but, onze équations de la forme

(5c ^ o/i ^ (5.? A si n af B ces a t r- L„ L,. -— â/i Os

Il nous sera commode de supposer dans R le temps compté en années à partir de 1750; t devra donc recevoir les valeurs

Nous ferons

de sorte que y.t prendra les valeurs

— — o, -+ u, -hou.

4l4 CHAPITRE XIX.

Avec la valeur de T adoptée par M. Newcomb, on a

.^60° qooo°

J'ai pensé qu'il serait intéressant de faire quatre calculs parallèles en prenant successivement pour u les valeurs 23", 33% 43° et 53°, auxquels correspondent ces valeurs de T : 391^"% 273^"% qoq^"-* et I7o«"^ On verra mieux ainsi entre quelles limites on peut faire varier T sans cesser de bien représenter les observations.

J'ai obtenu les quatre systèmes suivants, dont le second est celui de M. Newcomb :

Ôll.

Poids

Oî

-ho,358

Dans les trois derniers groupes, je n'ai pas reproduit les termes qui sont les mêmes que dans le premier, afin d'abréger l'écriture.

J'ai appliqué à ces équations la métbode des moindres carrés pour déterminer les inconnues ^n, A et B; j'ai cru toutefois avoir le droit de simplifier les calculs en prenant comme multiplicateurs, pour chaque inconnue, des nombres exacts d'unités ou de dixièmes, depuis i jusqu'à 10 {voir dans le t. VIII du Bulletin astronomique le travail de M. Radau sur V interpolation) \ je pense qu'on peut souvent opérer ainsi, parce que la détermination des poids à attribuer aux diverses équations comporte presque toujours un peu d'arbitraire. J'ai obtenu

ainsi les valeurs suivantes des inconnues, en regard desquelles je place les résidus s\ qui subsistent dans les premiers membres des onze équations de chaque groupe :

u os

53°, T = 170 ans. . .

■+- 22", 08 — o ,009 os — 18", 3'2 — 1 ,35o ov -t- -+- 0,272 os

-\- 4") 62 -T- o , 265 os

23°, T = 391 ans. . .

-+- 28", 00 — o , 666 os .

-f- i3",42 -f- I ,o52 os.

33°, T = 273 ans

-f- 24", 24 — o , 240 Oi . ...... . I

— 26", 87 — I , r79 os

-T- 14", 5o -i- o, i36 ov

43", ï = 209 ans . .

; + 23", 26 — o ,o4 1 os

— 20", 5- — 1 ,266 os : -f- 1 1", 22 -f- o , 199 8.5' ■■-h 7", 81 + 0,540 os

, 20 os

+ 2 jO