X4 4- 2 X3 COS

Nous prenons comme intégrale de la première de ces équations

Il suffira de trouver des intégrales particulières des équations suivantes, et l'on pourra négliger les termes en cos^^ parce que le coefficient de cosqt dans x est supposé égal à i ; on trouve d'abord

-V 7^X1 H- cos + 2) ^ + cos(^ — 2) /; = o. On en déduit sans peine

L'équation différentielle relative à Xo devient alors

cos(r/ + 4)^ I I cos(^7 — 4)^

dt^ 4(1 + 7) 2 i — cp ^ [\{i — q)

On voit ainsi s'introduire un terme en cosqt, qui fera sortir, dans Xo, le temps des signes sinus et cosinus. On obtient facilement

cos((7-i-4)^ cos(i7 — 4)^ ^sin^^

' ^" 32(n-^)(2 + r/) ' 32(1 -7) (2 -7) ^q{i-g' On trouve ensuite

<^^X, cos(7 + 6)< cos(q-{-2)t — ' 72X3+— - — ^ - + 7

d'où

C0S(7 — 2)^ COS{q — 6) ^

32(1 — ^)(2 — ^y) 32([ — 7) (2 — ry)

tsin{q + 2)t tsm{q — 2) t 47(1 — 9'') 47(1 — '7')

„ cos(7 + 6) ^ <y^+ 4<7' + 1 5 7 + 1 6

, 7^—47^+137 — 16 , , cos(7 — 6)^

^sin(7 + 2)^ ^sin(7 — 2)^

l6 CHAPITRE I.

On trouve ensuite, après réduction,

d^Xj^ COS(^ + 8) ^ + 1 1 r/^+ /jO'y^H- 91 y H- 72

~dt^^~^^ ^ 384(1 + ^7) (2+ ry) (3 + ry) ,92 ry ( , - r/^ ) (i + ry )M 2 + -7) (3 + .y )

cos(7 + 4) ^

cos(7 — ^) t

cos{q — 8) ^

,g2q{i-q^)ii-gr{2-g){6-q)-"'' ^'^ ' 38/l(i - ry) (2 - 7) (3 - r/) t^\x\{q-^^)t tsinqt ts\n{q — li)t i3q-—25

167(1-72) (i + <7) 87(1-7^)'- i67(i-7'-)(i-7) 32(1-7^)3(4-7^) et il en résulte

cos(7 + 8)? 7^^+77^+3272+747 + 54

COSqt = o.

cos(7 + 4 ) ^

«sin(7 + 4)^ ^sin(7 — 4)^

— t smqt

L'expression cherchée pour œ se déduit maintenant des formules (34), • . ., (38). Si l'on donne à x dans cette expression les valeurs o etî:, on trouve les résultats

71 sin77r

^n\^-'f) ~ 87(1-72)2 + 64?cr^=WT4^=^^'

On en déduit, en divisant la seconde expression par la première et réduisant.

/(tt) = = 008771

71 sin77r

c'est la formule (23).

Avec le mode de calcul qui précède, le temps sort des signes sinus et cosinus; l'introduction d'une fonction convenable de ^ et dans h, sous les signes

sinus et cosinus, a précisément pour objet de remédier à cet inconvénient. On peut remarquer que, pour rectifier le développement, il suffit d'cfTacer les termes contenant les puissances de t et de remplacer qt par l'argument ht.

J'ai examiné ailleurs {Bulletin astronomique, t. IX, p. loG) ce qui arrive lorsque q est égal à un nombre entier, auquel cas les formules précédentes tombent en défaut, à cause des diviseurs q — i, q — 3, . . ., dont l'un s'annule alors; j'ai . démontré que, pour q = ± i et q =àz i, si q^ est assez petit, la valeur de h est imaginaire, de sorte qu'il s'introduit dans la solution, en dehors des signes sinus et cosinus, des exponentielles réelles; pour les autres valeurs entières de q, h est réel.

Je donnerai, en terminant, la liste de quelques travaux se rapportant à l'équation (A) :

Lagrange. — Œuvres, t. I, p. 586.

D'Alembiîrt. — Opuscules, t. V, p. 336.

E. Mathieu. — Journal de Liouville, i868.

Heine. — Handbucli der Kugelfunctionen, t. I, p. [\ol^,

J^iNDSïEDT. — Mémoires de V Académie de Saint-Pétersbourg, t. XXI, n° l\. Gyldén. — Divers Mémoires.

Bruns. — Astron. Nachr., 2533 et 2553; i883. Callandreau. — Astron. Nachr., n° 2547.

LiNDEMANN. — Mathematischc Annalen, t. XXII, p. 117. Stieltjes. — Astron. Nachr., 2601 et 2609. PoiNCARÉ. — Comptes rendus, t. CVIII, p. 21. Harzer. — Astron. Nachr., 285o et 285 1.

Nous appellerons désormais l'équation {a) équation de Gyldén-Lindstedt.

T. — III