CHAPITRE II. — GENERALITES SUR L ATTRACTION
GÉNÉRALITÉS SUR L'ATTRACTION. — ATTRACTION DES COUCHES SPHÉRIQUES. ATTRACTION D'UN CORPS SUR UN POINT ÉLOIGNÉ.
8. Newton a donné à sa loi une généralité que n'exigeaient pas les lois de Kepler. Il en résulte que les planètes ne peuvent plus se mouvoir dans des ellipses, obligées qu'elles sont d'obéir, non seulement à l'attraction du Soleil, mais encore aux attractions des autres planètes, c'est-à-dire à des forces nombreuses, complexes et variables à chaque instant. Les lois de Kepler cesseront donc d'être vérifiées rigoureusement; elles ne représenteront plus qu'une première approximation des mouvements.
Il faut maintenant prendre la loi de Newton comme point de départ et en déduire par l'Analyse les mouvements des corps célestes; on aura ensuite à comparer les résultats du calcul à ceux de l'observation.
Nous ferons une première simplification en nous bornant à considérer seulement les corps qui composent notre système planétaire, et laissant de côté les étoiles. Les distances des étoiles au Soleil sont très grandes par rapport aux dimensions du système solaire; ainsi l'étoile la plus rapprochée est environ 7000 fois plus éloignée du Soleil que ne l'est Neptune. Dans ces conditions, les attractions provenant des étoiles, avec les données admissibles sur leurs masses, pourront modifier un peu le mouvement de translation du système solaire dans l'espace, mais ne dérangeront pas d'une façon appréciable les mouvements relatifs dans l'intérieur du système, et ce sont ces mouvements qui nous intéressent.
Considérons l'un des corps de notre système; nous pouvons décomposer son mouvement en deux autres : le mouvement de son centre de gravité et le mouvement du corps autour de son centre de gravité. De là les deux principaux problèmes de la Mécanique céleste :
1° Détermine?' les mouvements des centres de gravité des corps célestes;
5l CHAPITRE II.
2*^ Déterminer les mouvements des corps célestes autour de leurs centres de gravité.
Nous commencerons par le premier problème, qui fera l'objet du tome I de cet Ouvrage; la solution du second ne sera donnée que dans le tome II.
Nous nous appuierons sur le théorème du mouvement du centre de gravité :
Les équations différentielles du mouvement du centre de gravité d'un système sont les mêmes que si toute sa masse .y était concentrée et si toutes les forces qui agissent sur les divers points du système y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes .
Soient A et A, {fig. 6) deux des corps célestes, M un élément de masse déterminé du premier, M<, M',, ... les éléments de masse du second; le point M
Fig. 6.
sera soumis à l'action de forces connues dirigées suivant les droites MM,, MM',, — Il faudra d'abord trouver la résultante MR de toutes ces forces, puis déterminer la résultante générale des forces MR qui correspondent à tous les éléments M du corps A, toutes ces forces étant transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité G de ce corps.
On voit donc que la première question qui se présente est la détermination de l'attraction d'un corps sur un point extérieur; on est amené tout naturellement à considérer en particulier le cas où ce corps est sphérique et homogène, ou composé de couches sphériques concentriques homogènes; on y est conduit par l'observation qui nous montre les corps célestes sous des figures peu différentes de la sphère, et par l'hypothèse de la fluidité primitive.
9. Soient A {fig. 7) un corps dont on veut calculer l'attraction R sur un point
Fig. 7.
N(^,yi2)
extérieur N, dm l'élément de masse qui correspond au point M, [x la masse
GÉNÉRALITÉS SUR l' ATTRACTION. 53
du point N, ii la distance MN; l'élément M exerce sur le point N une attraction NB dirigée suivant NM et ayant pour intensité
f fjt dm
Il faut trouver la résultante de toutes les forces, telles que NB, appliquées au point N, quand l'élément M parcourt toute la masse du corps A.
Pour y arriver, prenons trois axes de coordonnées rectangulaires 0^, Oy, 0^ ; désignons par x, y, z les coordonnées du point N, par a, b, c celles du point M, par p la densité du corps au point M, enfin par X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de l'attraction cherchée R. Décomposons la force NB en trois autres parallèles aux axes; elles auront pour expressions, en grandeur et en signe,
„ dm a — x „ dm b — y „ dm c — z ' u^ a ' u^ a ^ u- u
On peut maintenant faire la somme algébrique de toutes les composantes parallèles à 0^, et de même pour les deux autres axes. On trouve ainsi
^=^fH-f^dm,
ou
En remplaçant dm par p da db de, on peut écrire aussi
iXzzzf^l I I j— p da db de, Y =fix i i i ~/ p da db de, Z = l'/x / / / ^ p da db de.
On doit supposer que p est une fonction connue de a, b, c, F (a, è, c) ; dans les formules (i'), les intégrations s'étendent à toute la masse du corps A.
On est donc ramené au calcul de trois intégrales triples.
On peut faire dépendre la détermination de X, Y, Z de celle d'une seule intégrale triple. Posons, en effet.
OU
y rrr9dadudc r r r Y(a,b,c) ,^^^
J J J " J J J ^{a-a;r-^{b-yy-i-{c-zy-
les intégrations s'étendant à toute la masse du corps A ; on voit que V sera finalement une fonction de oc, y, z; c'est ce que l'on nomme \^ jonction potentielle ou simplement le potentiel relatif à l'attraction du corps A sur le point }| ^(^œ,y,z). La formule (2) montre que le potentiel représente la somme des éléments de masse du corps divisés par leurs distances au point attiré.
Nous supposerons essentiellement ici (') que le point N est extérieur au corps ou plutôt qu'il ne fait pas partie de la masse du corps; dans ces conditioRS, les éléments différentiels, dans les formules (i') et (2'), sont toujours finis; X, Y, Z et V sont des fonctions continues et finies de x, y, z. Cherchons la dérivée partielle de'V par rapport à x. Dans la formule (2'), l'élément différentiel reste toujours fini; les limites des intégrations sont indépendantes
de œ\ on peut différentier sous le signe j ; on trouve ainsi
(3) -^= I I I -^pdadbdc.
Or on a
u^zzz{cc — a)2+ (j by-+ {z — cy,
d'où
dx •2u'^ dx M* '
l'équation (3) donnera donc
En comparant avec (i'), on obtient la première des trois formules suivantes :
dV dV dV
Il suffira donc de déterminer la fonction V pour que X, Y, Z, et par suite l'attraction R, soient connus en grandeur et en direction.
Désignons par r le rayon vecteur ON mené de l'origine 0 des coordonnées au point attiré N, par P la projection de la résultante R sur la direction ON, comptée positivement dans le sens ON et négativement dans le sens contraire.
(1) Une théorie plus complète du potentiel sera donnée dans le tome II de cet Ouvrage.
GÉNÉRALITÉS SUR l'aTTRACTION. 55
On peut appliquer la première des équations (4) en supposant que, pour un moment, l'axe des x coïncide avec ON; on trouve ainsi la formule
la signification de la dérivée -y: est la suivante : soient, sur le prolongement
de ON, N' un point infiniment voisin deN, NN'= Sr, Vh- §V la valeur du potentiel
pour le point N'; on aura
dN ,. ÔV or or
^ay ^«Y ^2y 10. Equation de Laplace- — Calculons l'expression -r-y -+- -y-^ + -r^ en
partantdela formule(2'). Nous pourrons différentierdeuxfoissouslesigne 1 1 f ', nous trouverons donc
or on a
d'où
dy^ ^ dz' ~J J J \dx^^ dy- ^ dz^-
p da db de ;
dx'^ dx a' a*
+ tî:;;^ + ^ = - 7;ïï + TTi [(^' - «)^ + (/ - ^)^+ (^ ~ O'] = - -, + -r "' = o.
dx'^ dy^ dz^
if u' " ' ^ ir a"
On a donc, pour toutes les valeurs de oc, y, z qui répondent à des points ne faisant pas partie du corps attirant, l'équation remarquable
qui a été découverte par Laplace.
11. Attraction des couches sphériques homogènes. — Considérons une couche sphérique homogène d'épaisseur finie et cherchons son attraction sur un point N ne faisant pas partie de la couche, situé soit à l'extérieur, soit dans l'intérieur de cette couche.
Prenons le centre 0 de la couche pour origine des axes; il est évident a priori que le potentiel V ne doit dépendre que de la distance rdu point N au point 0; d'ailleurs la fonction V doit vérifier identiquement l'équation (G). On aura
les formules suivantes :
dr X
dx r
ÔY dV dr^dVx dx dr dx dr r
â^cpy/'xY ^(]__'
dx^ dr- \ /■ / dr \ r i
Ajoutons cette expression de -^2 aux expressions analogues de -—^ et -pj. et portons dans (6); nous trouverons
d^Y 2 dY dr^ r dr ~~
ou bien
d^Y dV
ou encore
d^Yr .
On en tire, en désignant par A et B deux constantes arbitraires,
V/=A + Br, (7). V==:^+B.
Détermination des constantes . — Supposons d'abord le point N placé dans l'intérieur de la couche; on devra avoir A = o, sans quoi la formule (7) donnerait V = co pour r=o, c'est-à-dire pour le centre de la couche, ce qui est impossible, V restant évidemment fini par sa définition même. On aura donc, pour tous les points situés à l'intérieur de la couche,
V = B = const.,
d'où
dY dY dY
^=«' 57^^' âl=^'
On a donc ce théorème dû à Newton :
Une couche sphérique homogène n exerce pas d^ action sur les points de son intérieur.
GÉNÉRALITÉS SUR l' ATTRACTION. 67
Supposons, en second lieu, le point N extérieur à la couche : soit r^ le rayon extérieur de la couche; la plus petite valeur de u est r — r^ et la plus grande r-\- r^', ou pourra donc écrire, en désignant par M la masse de la couche,
ou bien
ou encore
/' dm r dm r dm
Si le point N s'éloigne indéfiniment, rtend vers l'infini; V reste toujours compris entre deux quantités qui se rapprochent indéfiniment de zéro; donc V tend vers zéro. Si, dans la formule (7), on fait r= 30, V = o, il vient B = o; il en résulte
portons cette valeur de V dans les inégalités (8), et nous aurons
Si nous faisons tendre r vers l'infini, nous voyons que A reste compris entre deux quantités qui tendent vers M; donc A = M, et l'on a, pour tous les points extérieurs à la couche,
la formule (5) donne ensuite
P désigne la projection de l'attraction R sur la direction ON; or, par raison de symétrie, l'attraction est dirigée suivant la droite NO. On a donc
et, par suite,
cette attraction est égale à celle qu'exercerait sur le point N un point matériel de masse M placé en 0. De là ce second théorème, dû également à Newton :
Une couche sphérlquc homogène attire les points extérieurs comme si toute sa masse était réunie à son centre.
Ce résultat a encore lieu pour un corps formé de couches sphériques concentriques homogènes, d'épaisseurs quelconques, finies ou infiniment petites, la densité de chaque couche variant d'une manière quelconque, du centre du corps à sa périphérie; carie théorème est vrai pour chacune des couches.
Ainsi le Soleil, les planètes et leurs satellites pouvant être considérés sensiblement comme des corps de la nature supposée ci-dessus, ils attirent à fort peu près les points extérieurs comme si l'on supposait leurs masses réunies à leurs centres de gravité respectifs.
Si nous nous reportons à lujig. 6, n*^ 8, en supposant les deux corps composés de couches sphériques concentriques homogènes, et si nous désignons par M, la masse du corps A,, par G, son centre de gravité, par dm la masse de l'élément M, par A la distance MG,, la résultante des attractions exercées sur M par tous les éléments du corps A, sera une force MR dirigée suivant la droite MG,,
ayant pour intensité
-,r» fM,dm fMidm MR=-=^ = — xr-i MGi ^
on aura (/ig. 8) des forces analogues appliquées aux éléments M', M", ...,
f M, dm'
f Ml dm"
Il faudra maintenant transporter toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point G, centre de gravité de A, et prendre leur résultante. On peut les
Fig. 8.
transporter d'abord au point G< par lequel passent toutes leurs directions; on voit que leur résultante ^ sera égale et opposée à la résultante des attractions exercées sur un point matériel de masse M< placé en G< par tous les éléments du corps A; d'après le second théorème de Newton, cette résultante est dirigée
