io5 w^*'^^' — lÔMJ?'*) + ^Sa'o^cr'^ — 100 a* j
Portons ces valeurs (lo) et (ii) dans l'équation (B); nous apercevons de suite le facteur commun -^ ,,f ^ ; supprimons-le et effectuons les calculs; il y aura, après les réductions, encore un facteur ^'% et il restera seulement
, , a, „d^u , „ du d- il , / duX^ , du
Cette équation se simplifie notablement en posant
w sera, comme u, une fonction de x Qij', on trouve sans difficulté que l'équation (12) devient simplement
dUv -\dw
(^) -dtF='''' -dï'
Il nous reste à calculer -7- et -^\ en ayant égard aux formules
on trouve
c^£ ' dt ^
dw , dw , dw
dt dx "^ dy^
dt^ dx^ ^ dx^ dy dx dy-
2 \ ^j? ày J \ dx " dy )''
/\0 CHAPITlli: I.
en portant ces deux dérivées dans l'équation (C), il vient
f 3 , -| r / d''-w d'^KvX dsv ( dw dwW
\ H — / <^ 2 <p ( j -^-7^ + -3? -^ — r- 1 r- 1 jc -T 1- y -^- I I
dx dy ) dy\ dx -^ ày J \
Cette équation doit avoir lieu quel que soit t, et en particulier pour / = o, auquel cas, comme on l'a vu, x, y, œ', y' peuvent être quatre quantités quelconques, indépendantes les unes des autres. L'équation (D) donnera donc les six équations suivantes :
^^^> d^~^' dx^ dy ~ ^' dxdy'' '^^' ^^°'
()2(P d''-w\ ()\v f dw ^n
' dx"^ •^dxdyj dx\ dx àyj '
d^w d^w \ dw / dw dw
w djï dx dy ) dy \ dx dy
Les formules (i4) montrent qu'en désignant par a, b, c, /, g, h six constantes arbitraires, w est de la forme
(E) w-.=.ax'^-\-2bxy-hcy'^-\-2fx-\-'2.gy + h.
Substituons cette expression dans les relations (i5), et nous trouverons, après réduction,
{bf - ag) xy + (c/ - bg)f-+ (P - ah) x + {/g- bh) y = o, {bg- cf)xy-\-{ag- b/)x^-+{/g-b/i)x-i-{g'- -ch)y = o.
Ces deux équations devant avoir lieu quels que soient a; et j, on en conclut
( ^g — cf =0;
( /' — o-Ji — o,
(17) \ g^ —ch =0,
fg — bh = o.
On tire des formules (17)
fh{ag-bf) = o, gh{bg-cf) = o;
si donc aucune des quantités/, g, h n'est nulle, les relations (iG) sont une conséquence de (17), et il suffit de vérifier ces dernières.
Or l'équation (E) donne (•8) ^v=j^[{fx + gy + hY-U'-ah)x^-{g^.-ch)y'-2{Jg-bh)xy)l ce qui, à cause des formules (17), se réduit à
Les formules (G) et (i3) donnent ensuite (Fi) R, = m//
if^^-^gy-^ lif
c'est une première loi pour la force cherchée; quelles que soient les quantités /, g, h, la trajectoire sera une conique.
Supposons maintenant h—-o; les formules (17) entraînent /*= o, g=o; elles sont alors vérifiées, ainsi que les relations (16); on a donc
w =1 a X'- -h 2 b xy + cy"^,
{ax^-[- 2bxy -\- cy'^Y
c'est une autre loi de la force; les constantes a, b, c peuvent être quelconques. Dans le cas où /= o, (16) et (17) donnent
aff=^bg=z ah = bh =: o, g'^ =r ch,
d'où
en portant dans la formule (18), il vient
la valeur correspondante de R s'obtient donc en faisant /= o dans la formule (F,). Ainsi il y a deux lois de forces, et rien que deux, qui répondent à la question; mais les forces R, et R2 contiennent non seulement r, mais encore
l'angle polaire 0 = arctang--
Si l'on veut que ces forces ne dépendent que de r, ce qu'il est naturel d'admettre, on devra faire, dans (F, ), /= ^ = o, et, dans (Fj), « = c et 6 = o ; on T. - 1. 6
trouve ainsi
m IX
La première de ces lois est incompatible avec les observations, car, si elle avait lieu, le satellite décrirait toujours une ellipse ayant pour centre l'étoile principale, et cette propriété se conserverait dans l'orbite apparente; or les observations montrent qu'en général cela n'a pas lieu; il ne reste donc que Ro = -~ ou la loi de Newton.
Conclusion au point de vue de U Astronomie. — On voit par ce qui précède qu'il est impossible de conclure d'une façon rigoureuse que la loi de Newton préside aux mouvements des étoiles doubles; toutefois, cela est très vraisemblable, puisque les autres forces qui pourraient expliquer les mouvements observés seraient telles, qu'à des distances égales une même étoile exercerait sur des masses égales des attractions variables suivant les diverses directions.
Remarque. — Dans les Additions à la Connaissance des Temps de 1802 se trouve un Mémoire de ]\I. Yvon Yillarceau ayant pour titre : Du mouvement des étoiles doubles, considéré comme propre à fournir la preuve de l' universalité des lois de la gravitation planétaire.
M. Villarceau s'était demandé déjà si la force qui produit les mouvements observés dans les'étoiles doubles rentre nécessairement dans la loi de Newton; il avait vu que d'autres forces centrales, dépendant des deux coordonnées du satellite, peuvent lui faire décrire une ellipse autour de l'étoile principale; mais il avait laissé subsister dans l'expression de la force les paramètres qui figurent dans l'équation de l'ellipse considérée, et n'avait pu ainsi s'élever aux deux lois générales exprimées parles formules (F,) et (Fo).
Dans un Travail inséré au tome XXXIX des Monthly Notices of ihe Royal astronomical Society, M. Glaisber a fait observer, à l'occasion des beaux résultats obtenus par MM. Darboux et Halphen, que Newton avait montré {Principes,
Fie. 3.
Livre I, scolie de la Proposition XVII) que, si une ellipse E(y7^-. 3) est décrite par un mobile M sous l'action d'une force S proportionnelle à la distance et dirigée
constamment vers le centre G de cette ellipse, elle peut être décrite aussi sous l'action d'une autre force R dirigée constamment vers un point fixe 0 choisi à volonté, pourvu qu'entre les intensités R et S on ait toujours la relation
S ôm!cm
G désignant le point où la tangente MX est rencontrée par le rayon CG parallèle
à OM; on a, par hypothèse, .
S = /ji.CM;
il en résulte donc
u=f..oM(^y.
M. Glaisher montre géométriquement, et l'on peut le faire par un calcul des
OM plus simples, que p^- est une fonction du premier degré des coordonnées rectangulaires du point M ; on voit donc que la force R qui résulte de la remarque de Newton rentre dans la formule (F,).
Enfin, M. Glaisher rappelle que W. Hamilton avait prouvé que, si un mobile est attiré vers un point fixe par une force qui soit directement proportionnelle à la distance comptée du point fixe et inversement proportionnelle au cube de la distance du mobile à un plan fixe, ce mobile décrira toujours une conique; c'est en quelque sorte la réciproque du théorème qui résulte de la remarque de Newton.
Il est inutile d'insister sur la diff'érence de ces résultats, et de la réponse générale donnée par MM. Darboux et Halphen au problème nouveau proposé par M. Bertrand.
6. On vient de voir qu'on peut trouver l'expression de la force capable de produire les mouvements des planètes, quand, au lieu de se donner les trois lois de Kepler complètes, on n'en regarde qu'une partie comme démontrée par l'observation.
M. Bertrand a été plus loin dans cette voie (^Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LXXVII, 1873) en résolvant le problème suivant :
On considère une planète attirée par le Soleil suivant une force dont V intensité ne dépend que de la distance. On suppose connu ce seul fait : que la planète décrit une courbe fermée , quelles que soient à l'époque initiale la position de la planète et sa vitesse, en grandeur et en direction. On demande de trouver la loi d' attraction d'après cette seule donnée.
Il est entendu toutefois que la vitesse initiale V,, doit être inférieure à une certaine limite.
Le mouvement s'effectue dans un plan passant par le centre 0 du Soleil; il est produit par une force centrale; donc la loi des aires a lieu. Soient r et 0 les coordonnées polaires de la planète à l'époque t, l'origine de ces coordonnées étant placée en 0: représentons l'intensité R de la force motrice par
et par k la constante des aires; nous aurons, par une formule connue, en ayant égard à l'intégrale des forces vives et désignant par r^ la valeur initiale de r,
Nous ferons
et il viendra
d'où
-^ k dz
dO —
\l~k'-z^-^i f (f{z)dz Nous poserons encore
2 r C?{z)dz=^{z),
et nous supposerons que l'axe polaire passe par le rayon vecteur initial; nous aurons ainsi
On trouvera aisément, par les formules ci-dessus,
(20) J\ = ^mz'-^'{z); on aura enfin
(21) A-=r /•oVoSiny)o = -^^ — -,
en désignant par yjo l'angle que fait la vitesse initiale avec le prolongement du rayon r^.
Si l'angle y]o est obtus, r commencera par décroître, et z par croître à partir
LOI DR LA GRAVITATTOX IIMVKRSELLK. 4 5
de ^„; on suppose essentiellement que la trajectoire est fermée et ne rencontre pas le Soleil; z ne croît donc pas indéfiniment, mais seulement jusqu'à un maximum p; la quantité [3 doit amnuler le radical qui figure dans la formule (19). Ainsi, on a la relation
Pour s >> [3, le radical considéré deviendrait imaginaire; z va donc décroître et repasser d'abord par les valeurs précédentes jusqu'à z = Zf,; on voit aisément
que le rayon vecteur minimum r, =g sera un axe de symétrie de la courbe;
/' croîtra encore au delà de ^0 = — ' tn^is pas indéfiniment, puisque la courbe est
supposée fermée; z décroîtra donc jusqu'à une valeur a qui annulera aussi le radical considéré plus haut. On aura donc
le rayon vecteur maximum ^3 = - sera aussi un axe de symétrie de la courbe. Soient OM, le rayon vecteur minimum r< (Jig- 4)> OM2 le rayon vecteur maxi-
Fig. 4.
mum /'a, 0 l'angle M,OAL; la courbe se composera d'une série d'arcs égaux à M, AM2,et l'on aura
(24) Q=kf
Pour que la courbe se ferme d'elle-même, il faut que l'angle 0 soit commensurable avec -; on devra donc avoir, en désignant par X le quotient de deux nombres entiers,
d'où
(25) iTZ^kl "^^
Cette équation devra avoir lieu, quelles que soient les conditions initiales; donc, quelles que soient les quantités ¥« et i^ [(cette dernière dépendant des données initiales par la formule (21)]. ♦
Or on tire de (22) et (23)
et, en reportant dans (23), il vient
(.6) ^^.= f\ ^^(fi)-W^^- ^e;
il faut déterminer la fonction ^(z) de manière que cette équation ait lieu quelles que soient a et [3.
Remarquons d'ailleurs que le nombre fractionnaire X devra être indépendant de a et (3; car, s'il changeait d'une orbite à l'autre, une variation infiniment petite de a et [3, ou bien des conditions initiales, apporterait un changement fini dans le nombre des arcs égaux à M, AMo dont se compose la courbe.
Posons (27) [3 = A + e, a r= A — e, z ^=^ h -\- e^;
l'équation (;>8^ devra avoir lieu quels que soient A et e; aux limites a et ^ de ^ correspondront les limites ~ i et + 1 de 'C; nous allons développer suivant les puissances de e, par la série de Taylor, les quantités
les séries seront convergentes si e est assez petit. Écrivons d'abord l'équation (26) comme il suit :
Nous négligerons e^ sous le radical; ^^ — o.^ contenant e en facteur, on pourra prendre
OÙ l'on a écrit, pour abréger, '|, •]/', ... au lieu de '\'(h), '^(h), ...; en réduisant
et développant le dénominateur suivant^ puissance^de <?, il vient
Les
La quantité placée sous le radical de la formule (28) se réduit à p2(r — C") est un facteur commun à tous les termes; on a ensuite
ou bien, en faisant '( = sin^ et développant en série suivant les puissances de e,
0 = A- rr — - / 14-
;yjj , L 6 'Y-hy 24 y- H"
Or on a
il vient ainsi
Cette équation doit avoir lieu quels que soient e et h, en particulier quel que
48 CHAPITIIE I.
soit e; on en conclut
La formule (3o) donne, en remettant h en évidence sous les signes '\f' et 'j»",
Vih)if i\
d'où, en désignant par C une constante arbitraire,
(32) ^'(/0--^Ca'~>^;
si l'on porte dans l'équation (3i) cette valeur de 'Y (à) et les expressions qui en résultent pour ^"(^)> Vi^) ^^ ^'^(^)' ^'^ trouve aisément
d'où ces deux valeurs
qui sont bien commensurables. La formule (32) donne ensuite ces deux valeurs de Y(h)
et, en employant ensuite la formule (20), il vient
Telles sont les deux seules lois d'attraction qui permettent au mobile de décrire une courbe fermée quelles que soient les données initiales (la vitesse étant cependant au-dessous d'une certaine limite); si l'on suppose l'attraction nulle à une distance infinie, il ne reste que
OU la loi de Newton, qui aurait pu être ainsi déduite de ce seul fait conclu de l'observation : qu'une planète quelconque décrit une courbe fermée, sans qu'on soit obligé de connaître la nature de cette courbe.
7. Théorème de Newton. — Supposons qu'un point matériel M de masse m soit attiré vers un centre fixe 0 par une force d'intensité
les calculs du numéro précédent seront applicables en remplaçant/(r) par \xf'\
le rayon vecteur r restera toujours compris entre un minimum OM, = r, = -^ et
un maximum OMo ==r2 = -; la courbe se composera d'une série d'arcs égaux
à M, AMg. Soit encore 0 l'angle M,0M2; on trouvera sa valeur en partant de la formule (29) et remplaçant ^'(A) par son expression
conclue des formules (20) et (33). On aura
il viendra donc
v/^Th^ L 24 h- "y
Les formules (27) donneront d'ailleurs
on trouvera ainsi
(34) 0:^-^^ri+^^^-'M""^'V-"^^y+- • .
v'T+sL 24 \^2+/-i/
Telle est l'expression de l'angle compris entre un rayon vecteur minimum r, et le rayon vecteur maximum suivant r^, lorsque la force centrale est représentée par la formule (33); si les données initiales varient de telle façon que la différence Ta — A, tende vers zéro, on aura
(35) lime
C'est dans cette relation que consiste le théorème deNev^ton; on voit qu'il se rapporte à une orbite presque circulaire décrite sous l'influence d'une force centrale proportionnelle à une puissance de la distance.
Pour les mouvements des planètes autour du Soleil, on a tî = — 2, R = — ^j jet la relation 0 = tt est rigoureuse ; mais on peut se demander ce qui arriverait si l'on modifiait d'une très petite quantité l'exposant — 2 de la loi d'attraction; T. - I. 7
si l'on supposait par exemple n = ■— 2,001, il en résulterait
lim0 =
On voit donc que, si l'exposant de la loi d'attraction différait de 2 seulement de 0,001, l'angle formé par deux rayons vecteurs maxima et minima consécutifs de l'orbite d'une planète différerait de 180** de plus de 5'. Nous supposerons l'orbite peu excentrique; le second terme de la formule (34) est très petit à cause des facteurs (r.^ — ^t)' et n -\- 2 = 0,001, de sorte qu'on peut employer la formule (35). L'orbite se composant d'une infinité de parties identiques à celle qui est comprise entre un rayon vecteur maximum et le rayon vecteur minimum suivant, on voit que le point le plus rapproché du Soleil, le périhélie (Jig. 5),
M,AB = 180", M,AC = iBo»,
BSM, =. 5'24"; M,SM3=: io'48".
se déplacerait à chaque révolution de 10' 48", c'est-à-dire d'une quantité considérable et tout à fait incompatible avec les observations. La fixité des périhélies planétaires prouverait donc à elle seule que, si l'attraction solaire est de la
forme —^, on doit avoir n = 2.
Les résultats précédents sont dus à Newton (Principes, Livre I, Prop. XLV).
Remarque. — Le terme en ( ^^ ~ ^ j disparaît de la formule (34) pour n = i et /z = — 2; il en serait de même des termes suivants en
car, pour n = i, l'attraction est proportionnelle à la distance, la trajectoire est une ellipse ayant pour centre le centre d'attraction; on a donc toujours 0 = -,
quel que soit le rapport — ^ ; c'est bien à quoi se réduit alors l'expression --r^= •
Pour n = — 2, cette même expression est égale à ii ; la trajectoire est une ellipse ayant l'un de ses foyers au centre fixe, et l'on doit avoir© = 11, quel que soit-^^ — -•
