aM'^Vo
Si l'on remplace N'"^ P(»\ M,";,, ... par leurs valeurs tirées des formules (2), on trouve aisément
-!- ~ «f 3 «2 h - a^ . „ e sin ( A — (o)
a 2 p. 1\ da 2 da^ /
ne'sin(X-tn')J
+ aA(') — a^ —5 «* — T-s
da -2. da^
^ [). \ da 1 da^ J
à.v = -a- ^^ nt nt 3«2^^ ^ - a* -v-^- ecos(A — w)
' IX da yL l\ da 2 da^ J
( wn ,^A(i) I ^d^A'i'X , ., ,,
\ da 2 da^ /
\ da 2 da^ /
m' / dA(') ^ d- A(^''.
'^ ^aA(i)- 2a^ -4 -ra^ -^ e'sin(A - î^').
da 4 <?<^^
- e'sin(A
150. On a expliqué dans le Chapitre précédent comment on peut faire disparaître de S, V les termes en sinX et cosX, pour les reporter uniquement sur §^r; nous allons opérer ce changement. Soient c, etc'^ les coefficients de ecos(X — w) ete'cos(X — trj')dans —, s, et/, les coefficients de esin(X — co) ete'sin(X - rar')
dans S, V. Si nous changeons 6? et ct en e + Ae, et gî h- Act, -^ et 0, (^ deviendront
(i4) -'-=...Ciecos(A— co) + c'ie'cos(A — m')— Aecos(A — w)— eAn7sin(A — a)) + ..., ôi(^:=...5iesin(A— w) + 5',e' sin(A — ttj') -+- 2Aesin(A — 00)— 2eAcTC0s(A — (o)+....
Si Ton égale à zéro les coefficients de sinX et de cosXdans S^ç, on a deux équations d'où Ton tire aisément
^ Ae = [^le + y, e'cos(w— ccf')],
eAGT:= -s\e'sin((,i —m');
en reportant ces valeurs de Ae et eAw dans la formule (i4), il vient, après réduction,
•+ Ki+ -5ij ecos(X — co) -h fc', 4- -5', j e'cos(/. — 5j') On trouve d'ailleurs
Cl -h - Si = j — a'
2 ' 4 i^ <?a' c, + - 5, = 7 — aAC) — «2 ^ a
4 /^ \ da da-
Il convient de poser
3 da 4 (?«
da 2 (Ja^
T. .,,, ,(îA(i^ I ^a^A^') — D = aA(i) — «2 ^ ^3 ____;
c'a 2 da^
alors, si l'on tient compte des changements réalisés par l'introduction des valeurs (i5) de Ae et e Acr, les formules (i3) et (i3') donneront
àiV I ni' „dA^"' I m' / ^Af"'\ i m'
m' f 2 ^A^"^ \ jn'
(16 ) ^i^'^-— -a2-^«i + — (C-2a^-^j/i;ecos(X-co) + — D/i^e'cos(X-ST').
Ces valeurs de -^ et o, (^ devront être ajoutées aux valeurs {h) et (è') trouvées plus haut.
Les expressions elliptiques de retv sont d'ailleurs
(17) - = i — ecos(X — w)+...,
(17') i> =: nt -]- s -\- 2es,in{'k — w)H-....
11 convient de poser, comme on l'a déjà fait au n° 141,
On calculera a^ par la formule
, 2 ^-,3 «2 nZ
ce qui donnera
(19) a — aAi—^—a^
3 |jt. da
Désignons par X, ce que devient X quand on y change /i en n, ; nous aurons
cos(X — w) = cos[)ii — a)H-(/i — /i,)i] = cos(Xi — 0)) — {n — ni)t sin(>ii — w), sin(X — &)) = sin[Xi— w + (/i — «1)^] := sin(Xi — w) -+- (n — /îi)^cos(Ai — w),
ou bien, en vertu de la relation (18),
(2of
cos(X — w) = cos(>ii — w) «^ ^ — ntsinÇki— w),
sin (X — co) = sin (X. — co) h a^ — :r — ntco'&Çki — w).
Si l'on effectue les substitutions (18) et (20) dans les formules (17) et (17')» on trouve
r .- , 2 m' , dA^«) 2 m' , dA^»' ,.
— = I — ecos(/i — co) — 77 — a^ — r h 0 — «' — ^i — ecos(Ai — w)
«1 3 /jt. oa 6 [j- da
H a- — T — /if e sin (A, — co) + . . . .
r =: «1 < 4- £ 4- 2 e sin ( /, — w) H a- — r — ni
/i. aa
2 m' , dA«» ,^
4 a^ —^ — nte co?>(li— w) +. . . .
^ oa
Les trois derniers termes de l'expression (21) se réduisent avec des termes correspondants de la formule (16); il y a des réductions analogues pour v et
PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 3'Jl
B,v et, finalement, on peut prendre, en supprimant les indices de /2,, a, etX,,
O)/" I m' , àA^"^ i m' ^ . ,^ , i m' , . ,^
— —— T — a^ —5 1 C/i^esin(/ — w) H Hnte' smCk — V5')
a b [1. oa 1 [j. 2p. ^ '
/ecos(X — w) /'e'cos(X— gt');
(/') 5ir= — Cn;ecos(X— w) H Dn^e' cos(> —ts').
Les expressions de -^ et de l^v qui résultent des formules (6) et (/) d'une
part, (è') et (/') d'autre part, sont, comme on s'en assure aisément, identiques à celles que Laplace a trouvées par une autre méthode dans le n*' 50 du Livre II de la Mécanique céleste^ si l'on a égard à ce que Laplace représente par — A''^ ce que nous avons désigné par -h A^'\ Nous aurions dû, pour nous conformer à l'usage adopté aujourd'hui et d'après ce que nous avons dit au n" 142, ne pas faire sortir des signes sinus et cosinus dans les expressions de S, ret §, v les inégalités séculaires de w; nous l'avons fait cependant, mais uniquement pour retrouver les formules de Laplace.
151. II reste enfin à tenir compte de la seconde partie, Ro,, — R,, de la fonction perturbatrice. Il suffira, comme nous l'avons dit, de remplacer A'*^ par
A'*' Y^' Nous pourrions nous en tenir à cette indication; mais, la connaissance des perturbations de r et ^ provenant de la seconde partie de la fonction perturbatrice peut être utile dans certaines recherches, et nous allons faire connaître les expressions de ces perturbations.
Il faut, en somme, diminuer aA^" de %,-> et a} -^ — aussi de -^: a' ^^ — '- res-
a oa a'- oa^
tera le même.
Il n'y a donc qu'à chercher dans les expressions {h) et (6'), (/) et (/') les parties qui contiennent A^'^ ou A^~'^ ; on trouve ainsi sans peine, pour —,
(C,4-C i)cos(r— >.) -H Diecos(r — &)) H D iecos(— /'+ 2> — w)
H E2e'cos(2/' — ?. — ro') /'e'cos(X — gj'),
et pour o,ç^.
1 m nx
(F,-F,)sin(/'-X) + — Giesin(/'-w)
H G iesin(— /'+ 2X — co) H Hac' sin ( 2 /' — >. — cj'),
3y2 l^ ^ CHAPITRE XXII.
Si l'on rjemplace /' par son expression {d), et C<, C,, D<, ... par leurs expression^(c'), et qu'on fasse en même temps la modification indiquée, on trouve
= Ti\ —, TT r COS(/'— A) + — ■ -eCOS(/'— gj)
a |JL a^Lv(i — v)(2 — v) v(i — y)^(iH-v)(2 — v)
{g) { -\- —. ^ ..„ ^ . ecos(— / + 2A — oj)
e'cos(2Z' — \ — cTf') ;
ô,p = j-A 1 w rsin(/'— X)H ^ ,,, . ,- ^ — -esin(/' — w)
jjL a ^ L v(i — v)-(2 — v) ^ 2v(i — v)-(H-v)(2 — v)
/ ,x / 3 v4-9v3+33v2— 5iv + 3o . , „ ,
(5 ) { "^ 1 T51 ^?Tô r- esin(— r+ 2/ — co)
e'sin(2Z'— X- nj')!.
V désigne toujours dans ces formules le rapport—-
En résumé, les valeurs complètes de -^ et §,(^ seront données :
1° Par les formules {h) et (Z>') dans lesquelles on donne à i toutes les valeurs entières positives et négatives, excepté zéro; 2° Par les formules (/) et (/"); 3** Par les formules (^) et (^').
On devra ajouter l'expression de S, r à la valeur elliptique
a H — e^— ecos(X — w) e*cos(2> — 2w) +. . . ,
et de même celle de S, ç' à la valeur elliptique
/-h 2esin(X — w) 4- 7 e^'sXnhà. — 2(0) +. . . .
152. Nous dirons, pour terminer, quelques mots sur le calcul des perturbations de la latitude 5, toujours avec la même précision.
On a
sin^^sintp sin(t' — 0);
d'où, en supposant v affecté de ses perturbations, et remplaçant par l'unité les
ôj5=: sin(r— 0)«5, 9 — cos(('— Ô)sin(p<5i0
facteurs — ^ et — ^j
