PAR RAPPORT AUX MASSES
163. Il nous sera avantageux d'employer ici la forme symétrique que nous avons donnée dans le Chapitre IV aux équations différentielles du mouvement des planètes.
Soient x^, y^, z^ les coordonnées rectangulaires héliocentriques de l'une quelconque des planètes, m^ sa masse, /Wq celle du Soleil; nous avons posé dans le Chapitre IV
(i) |Ho = mo, ]n,=: mo+ mi-h. . .-1- m,-;
a^2— Xj 4- —
xi;
^3=X3H XjH ■
xi;
= .Vi ;
yi:
Ji;
=zz, ;
-3 - Zs -f- -^ Zj M •'
zi;
C'est la définition des nouvelles variables X/, y,, z ;
et nous avons trouvé, d'une manière générale, les équations différentielles.
^i dt- aZi
On peut développer U suivant les puissances et les produits des petites quantités m,, mo, ... ; nous désignerons par U' l'ensemble des termes du premier
ordre; U' proviendra seulement de la première partie de U, savoir îm^ V ^•, en ayant égard aux formules (2) et (3), et posant
x)+-yj + ZJ=r;-J,
on trouve aisément
U' = fm.2^'
La différence U — U' sera du second ordre, et il en sera de même de la quantité
(5) V = U-fym,.(mo + m,)f^^.
Or on tire de là '
et, en portant, dans (4), il vient
rf^X; „. . X,- U,- I dN
Ce sont les équations d'un mouvement elliptique troublé par une force perturbatrice; la fonction perturbatrice est ici
THÉORÈME DE POISSON. SqS
les fonctions analogues qui correspondent aux divers corps m, ne diffèrent de R, que par des facteurs constants.
Il est aisé de voir que le petit dénominateur mi qui figure dans l'expression (7) disparait dans les seconds membres des équations (6), parce
que les dérivées partielles -r-' -^^ -r- contiennent précisément ce facteur; il
nous suffira pour cela^de prouver que -t~ s'annule avec t/z,, quelles que soient les autres masses m,, m^, ....
Remarquons d'abord que, pour nii = o, x^ disparaît de la partie
de l'expression (5) de V; il suffit de montrer que la même chose a lieu pour U. Or nous voyons sur les formules (2) que, pour m/ = o, toutes les quantités Xj, sauf a?/, deviennent indépendantes de x,; donc A^j ne contient pas x^ si j est différent de i, et Ay,/t ne contient pas x^ si aucun des indices y et k n'est égal à i. Si donc on suppose m, = o dans l'expression (3) de U, on fait disparaître d'un coup tout ce qui contenait x,-.
Il en résulte que si, dans le développement de V suivant les puissances entières et positives de /??,, m.^, m^, ..., on représente un terme quelconque par
A ne contiendra que les coordonnées x,-, xy, X/t, . . . , y,, yy, y^, . . . , Z/, Zy, z,,, ... des masses m^, rrij, m^, . . . qui entrent en facteur dans ce terme; car autrement,
dV si ce terme contenait par exemple x^ , la dérivée -r— ne s'annulerait pas pour
mi = o, quelles que soient w,, mj, m,,,
164. Cela posé, quand on supprime les seconds membres des équations (6), ces équations représentent un mouvement elliptique dans lequel nous désignerons par ai le demi grand axe, n^ le moyen mouvement, /,• la longitude moyenne et £, la longitude moyenne de l'époque; nous aurons
nfaj =î{ nio H- m^ ) , liz=:nit + e,-.
Pour passer du mouvement elliptique au mouvement troublé, nous conserverons pour X/, y/, Zi, — ? ~) -^ les mêmes expressions analytiques en fonction de /,• et des autres éléments; seulement nous prendrons li = fnidt-\- s^; nous supposerons que l'on fasse de même pour les autres planètes.
Ayant développé, comme nous l'avons dit, V suivant les puissances des T. - I. 5o
masses,
on substituera dans cliaquo partie pour x,, y,, z,, Xa, y2, Zo» ••• leurs valeurs en fonction de /, , 4» ••• et des éléments, et l'on développera le résultat en sinus et cosinus d'arcs de la forme a/, h- [3/y + Y4+ . . • , a, [3, y, . . . étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Si a n'est pas nul, le coefficient de (a/j+ (3/y+ Y^-f ...) contiendra nii en facteur; de même pour ^, — Donc
la partie V de V, qui est du second ordre par rapport aux masses, contiendra au plus deux longitudes moyennes //, /y, dans chacun des arguments qu'elle renferme; la partie Y" du troisième ordre en contiendra au plus trois, etc. Nous aurons, pour déterminer le demi grand axe dans le mouvement troublé,
dat 2 dV^i 2 |UL,- I dV 2 / mi\ i (9(V'+ V" + . . .)
dt tiiai dti niai \j.i-x f^^i àsi «;«; \ P-i-iJ ^^i àsi
OU bien, en développant et n'écrivant dans le second membre que les termes qui sont des ordres i et 2,
dûi 2 I (?V' 1 A d\' 21 d\"
dt ii-iCii i^t'i Oîi niai m^ oti iiiai nii os.i
Nous représenterons la valeur d'un élément quelconque dans le mouvement troublé par/>j -f- ^^pl + ^^Pi + • • • , pt désignant une constante, §,/?,-, §2/?/, . . . des fonctions du temps qui soient des ordres respectifs 1,2,... par rapport aux masses; le demi grand axe dans le mouvement troublé sera représenté en particulier par
le moyen mouvement devra également être remplacé par
Hi 4- ày rii 4- (^2 /«i + . . . ; Ui et Œi sont deux constantes liées entre elles par la relation
on doit avoir aussi
d'où
(9) { ^ 3 ni 15 ni . -
d^ni = — - —d^ai-h — — {diai^,
2 Cl; O UT
En faisant la substitution indiquée dans les deux membres de l'équation (8),
THÉORÈME DE POISSON. 3c)S
tant pour les éléments de m^ que pour ceux de mj, et continuant à n'écrire que les quantités des deux premiers ordres, il viendra
dt dt nitti irii dsi riiûi m, dsi m, dsi niai
niai lUo dSi niai rrii dei '' ,
d'où, en égalant dans les deux membres les termes du premier ordre et ceux du second, et remarquant qu'on a, à cause de (9), §< = j ^i^/,
it î Cl l 2i tX i ci .'
, ^ dè.ai 2 1 dY'
' dt iiiai rrii ozi
, , dh.ai 1 1 . dY' \ \ àY' ^ 21 dY' 2 I dY"
(11) " — Oi -T 1 ^ — 3— diajH -3 i 3—.
dt Uitti nii dSi riiaf /W/ dsi niat m^ d&t niai nii dsi
dY' . ■ dY'
6, -T- représente la variation de la fonction -r— quand on augmente les éléments
de TTii et de mj de leurs perturbations du premier ordre.
La formule (10) donne, pour les perturbations du premier ordre de a^,
. 2 I rdY' .
0, ai =1 I -TT — dt ;
riiac TTii J dSi
'dY' niai nii J
-y- ne se compose que de termes périodiques, et ^^a^ n'a pas de partie séculaire; passons à l'examen des perturbations du second ordre ; les deux dernières parties de l'expression (11) ne pouvant donner que des termes périodiques, nous devons nous borner, dans la recherche des termes séculaires, à
dà^Gi -i \ . dY' I I ^V'
— 7 — ^=^ — à, -r 1 r — Oia,-.
dt iiiUi irii dSi Hitti nti ds/
Considérons d'abord la dernière partie du second membre; pour obtenir un terme non périodique, il faudra combiner deux termes de -j- et de §,«, dont les arguments contiennent les mêmes multiples des longitudes moyennes; soit
(12) A sin(a//-h j3/y) -I- Bcos(a/,- -i- j3/y)
l'ensemble des termes de V qui renferment a/^+ (3^^;, nous écrirons, suivant les cas, ces deux termes sous l'une ou l'autre des formes suivantes
Asiin];4-B cos^J;, C sin(4' + w); en posant
f =ocli+^lj.
et nous remarquerons que A, B, C et w sont indépendants de £/ et de £y; ce sont des fonctions des éléments elliptiques autres que £^ et tj. On aura, en réduisante à ces deux termes,
5, laQ, \ r . . . j^ 2aC • / I o 1 \
û, ai = / cos ( 0» + 0) ) cfi = -p. — - sin ( a /; + p /,• 4- w ),
nitti nii J '^ miniai{ani~{-^nj)
-—- =3 a C cos {ali-h ^ Ij 4- w) ;
OSi
les deux termes considérés donneront donc dans le produit —j— ^t ai la partie
sin 2 {a.li-\-^lj H- w),
miniai{cxni-\-^nj)
laquelle est essentiellement périodique; il nous reste donc seulement, au point de vue auquel nous nous plaçons, à considérer l'équation
(*^) ^f — ,^ „ ^ Qi ^^-
cil /n irisai osi
Soient pi et çi deux quelconques des éléments, autres que s^-, du corps m^-, pj et Çj les éléments correspondants pour m^; posons
pr-
- I ni dt, Pj =r / fij dt,
de manière que
li = Pi H- £n Ij = Pj + £y,
(?p; de, ~~ dli ' (?py (?£y dlj
Nous aurons
Considérons d'abord le terme nous aurons, en considérant dans les deux facteurs y^ et / ^faidt les parties
THÉORÈME DE POISSON
qui dépendent du même argument j» déjà défini,
-^ =a2Csin(4^-f-w),
/ôi tti dt ■=. ; ^ ^ — - / sin ( a /,• -h S /,• + w ) o?i =
Sa'C^
2 rui af {cxni-h^ njY
2aCcos(d;4- w) Tniniai{(xni+ ^njY
sin 2 ( a /, + (3 /y + w ) ,
quantité essentiellement périodique.
Nous allons nous occuper maintenant des autres termes de la première ligne de la formule (j4)-
On a les formules connues pour exprimer -^' -^' -jj', dans leurs seconds membres figurent les dérivées partielles de R^; en se reportant à (7), on voit qu'on peut réduire R/ à — Y', quand il s'agit d'obtenir les perturbations du premier ordre, S, £,, ^^p^ D'après les formules (A ) du n** 62, on aura des expressions de cette forme
dt dpi dqi
dt dsi dqt ' * ' '
dt dsi ôpi " * ' '
G, H, K, ... sont ici des constantes; quelques-unes d'entre elles peuvent être nulles; on en conclut
ôj £,• = G / -r — û?^ -H H / -T — dt-]-. . . , J àpi J dqt
-dt^Kf'^^dt^...,
âeiâqi
~ \ dsf J âpi dsiâpij âsi J
\ àef J 'dq'i ~ dsidqtj de"
^ / d'Y' rôY^ ^^ d'Y' r dY^ ^\
\di.idpij dqt dtidqij 'dpt )
SgS CHAPITRE XXV.
Or, en réduisant, dans toutes les parties du second membre, Y' aux deux mêmes termes Asin^ + B cosï]; considérées plus haut, ce qui est la seule manière d'ob-
tenir un terme séculaire dans les produits tels que -jj- j -^ dt, ..., on trouve
dV dY' dS. dB
— — z= aCAcosJ;— B sinJ^), --- = -.r— sinJ; + -;r— cosJ/,
d£i ^ '' dpt dpi ^ dpi
/-,— dtz= ■ ^ — (A siniL +BcosJ;),
l dt — — ^ — -r— cosài— -r— sinù ,
J dpi a.ni + <^nj\dpi ^ dpi ^J
I r d\' a} /(?4. dV> \
- I -^ — dt=: ^ — (A sind; + B cosJ^) -r— cosd; ^— sinJ; ,
J dpi an,-i-(3ny' ^ ^ \dpi ^ dpt ^)
r — r— / -^- dtz=. ;= — ^— - cosJ; r— sinJ; ( Asm d; + Becs U;).
de
de
Chacun de ces termes donnerait une partie séculaire
jyàk , dB
2(a«,-l-|3ny) \ âpi àpj'
mais les deux termes en question se détruisent identiquement dans le coefficient de G, au second membre delà formule (i5); on trouvera de même, pour le coefficient de K,
a /dk , dB . ,\ fdk . ^B . A
ocni^^nj\dpi ^ Ôpt ^ J \dqi ^ Ôqt '/
a rdk , dB . ,\(dk , dB . ,\ OLni^^nj\dqi ^ dqt ) \dpi ^ dpt ^J
dY' Donc les termes de §, -r- provenant des perturbations du premier ordre des
oei
éléments du corps m, ne donnent aucun terme séculaire dans So<^/; il nous reste à
montrer qu'il en est de même pour les termes analogues provenant du corps mj.
165. Nous allons donc considérer la seconde ligne de la formule (i4). et
d^Y' d'abord la partie ^—,~-^,pj; or, en prenant toujours les deux mêmes termes
AsintJ; + Bcos^ de V, on a
2 rdY' , 2 se • / 7 o , N
(5. a,- = / -r— dt = — !- ^ sin ( a /; + p /,• + w),
•^ mjfijajj dej rajUjUj^arii-^ pnj)
r. J 3/1,- r. - 3SCcos(J; + a))
'^' J ^ 2«yJ ' nija [ccni+^njY-
THEOREME DE POISSON.
et
= — Ga(3 sin(4' + co),
dsi dej
^ipy = -
3oc^'0
2 ntj aj (a n,- -h (3 rij)'
sin 2 (a // -i- j3 /y H- w),
quantité périodique.
On aura ensuite, sans qu'il soit nécessaire d'expliquer en détail les formules,
dt opj oijj
dpj^ dt
dej dcjj
dt dsj dpj
d'où
^ r CàY' , „ rdW ,
Oie/ = L / -T— dt-hM I -^ — dt -h. . . , ' J àpj J dqj
J àsj J dpj
d'où encore
/ d-Y' dzi dsj
Ôi£y
dcidpj d'-Y
dzidqj
d^Y' dst
idij J dpj dBidpjJ dsj J
\dzidtj J dqj dzidqjj dej )
)'Y' fdY^^ à' Y' fàY' \
^iàpjj dqj detdqjj dpj )
Or on a, en mettant toujours en évidence ce qui concerne l'argument ^,
rav . I fd\. , dB . ,\
I 3 — "^ = ô — -5 — cos d) — r — sm 4^ ,
J dpj (xni-h^nj\àpj ^ âpj 7'
rdY' 3
\-rr—dt^=z ^ ^ (A sindi H- B cosd')
4oo et
■ a(3(Asirn|;+ Bcos^^),
d^idpj ~
