INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE PAR RAPPORT XV\ MASSES

deux à deux des arguments des fonctions perturbatrices. Si l'une des quantités m H- i'n' ± w était nulle, il faudrait remonter à la formule (4), dans laquelle le terme correspondant devrait être considéré comme constant. Il en résulterait dans §2^ un terme proportionnel au temps. Le théorème de l'invariabilité des grands axes, relativement aux inégalités séculaires, n'aurait donc lieu que dans la première approximation, et pas dans la deuxième. Nous verrons dans le Chapitre suivant qu'il n'en est rien; les divers termes en / se détruisent dans ^^a.

162. Si l'on considère trois planètes, on aura dans âa^t des arguments de la forme

{jn+j'n' +j"n")t-\-g,

q désignant une constante, y, y', y" trois nombres entiers positifs ou négatifs. S'il arrive que, pour certaines valeurs dey, y', y", la quantité y/i 4- y' /i'+y"/i" soit très petite par rapport à chacune des quantités n, n\ n'\ il en résultera dans la distance moyenne a des inégalités à longue période qui pourront être très sensibles en raison du petit diviseur y/i -h y' /î' H- y" /i" que l'on trouve dans la première partie du second membre de la formule (5). Ces inégalités seraient encore beaucoup plus fortes dans ^ç^l, car le petit diviseur en question y figure au carré, et non plus à la première puissance.

Nous nous bornerons aux indications précédentes sur le calcul des perturbations des éléments, qui sont du second ordre par rapport aux masses, et, pour ce qui concerne Sg/, o^e, o.,ts, o.,p et ^aÇ'» nous renverrons le lecteur au tome II des Annales de V Observatoire, p. 43-57, et au tome X, p. 192 et suiv., où Le Verrier a traité la question en détail; il nous suffira d'avoir indiqué le principe du calcul qui ne présente d'autre difficulté que sa longueur dans la pratique.

Dans les théories de Mercure, Vénus, la Terre et Mars, le nombre des inégalités du second ordre qu'il y a lieu de considérer est très restreint, et encore, le plus souvent, on n'a à en tenir compte que dans la longitude moyenne. Il n'en est pas de même, malheureusement, pour les autres planètes, et surtout pour Jupiter et Saturne, dont les théories sont, par cela même, extrêmement compliquées; il faut même tenir compte de certaines inégalités du troisième ordre. M. A. Caillot a donné dans le tome V du Bulletin astronomique, p. 829, les formules générales pour le calcul des perturbations du troisième ordre.

Nous ferons, en nous bornant aux inégalités du second ordre, une remarque

importante : les expressions générales de -^y-^^ 'ïït'' 'Jt ^^ 'h' contiennent toutes des termes séculaires, c'est-à-dire des termes de la forme

cos la dérivée -r étant la seule à n'en pas renfermer. Or, quand, pour obtenir la

SgO CHAPITRE XXIV. — INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE, ETC.

seconde approximation, on remplacera dans ces termes séculaires a, e, ..., respectivement par« + S,a, e + S, e, ..., on verra apparaître des termes en

cos

Dans l'intégration, comme l'argument kto -h k'xn' -\- wt' doit être considéré comme constant, il s'introduira des termes en t^.

L'expression de l'un quelconque des éléments s, e, m,pGtq fournie par la seconde approximation sera donc de la forme

(6) P + P't+P"t^ + ^Al'^^^{^t + ^) + t^k'l^^{a't + ^').

Quand il s'agit du grand axe, P' et P" sont nuls; nous avons dit au n*' 141 que l'on peut faire abstraction du terme P'^ dans l'expression de £.

Les inégalités du second ordre des coordonnées héliocentriques se déduiront aisément des inégalités du même ordre des éléments. On pourra appliquer pour cela la remarque suivante : soit r(/, a, e, ...) une fonction quelconque de /et des éléments (ce sera le rayon vecteur, la longitude ou la latitude héliocentrique); il faut y remplacer l, a, . . . respectivement par / + §^ / + Oy^, a -h S, a -t- O2 a, . . . , et ne conserver, dans le développement par la formule de Taylor, que les termes du second ordre. On trouve

Ô2 F = 37 Ô2 ^ + -7- ^2 a -f- . . . al Oa

+ -cy^ djdia +. . . .

aida

Nous ajouterons enfin que, dans les théories de Jupiter, de Saturne, d'Uranus et de Neptune, Le Verrier n'a pas calculé les perturbations des divers ordres des coordonnées héliocentriques, mais seulement celles des éléments. Les Tables font connaître les valeurs des éléments osculateurs à une époque quelconque ; on calcule ensuite la position de la planète avec les éléments précédents, par les formules ordinaires du mouvement elliptique.