TT M
P — n, —- — . = tangy.
ay mn
Telle est l'interprétation cherchée.
179. Nous allons rapporter les orbites au plan invariable; soient, en se reportant à la^^. 2o du n° 117, NM l'orbite de la planète P, N'G le plan invariable.
Nous ferons
N'G = 0, NGN'r=:4»; nous avons déjà
^N'=n, NN'G:=y, x^=.Q, jNG^©.
Le triangle sphérique NN'G donne
sin4>sin0=: sin(psin(0 — (3),
sin^cos© =— COS9 siny + sincp cosycos(0 - - (3);
on peut prendre
sin^sin© = tangcp sin(9 — (3) =r/?cos|3 — <7sin|3,
sin^cos© — — siny + tang9COS(5— ;3) :n4»ffc — -— +/>sin{3 + 5- cos[3;
u ymn
en remettant pour /? et q leurs valeurs (C), on trouve la première des formules suivantes :
Y/n/isinO sin© = V MjSin(^;« 4- j3,— (3),
!y/m« sinO cos© = V M,'COs(é''i^ + (3/— (3),
«'v/m^ï'sin4»'sin©'= V M; sin(^,< 4- (3,— (3), j = 1
«'v/m^7I'sin4>'cos©'t:= ^ M;cos(^,^ 4- (3,- — (3),
On démontrera, comme au n** 174, que si la valeur absolue de My est supérieure à la somme des valeurs absolues de M,, ...,My,, Mj+t, ..., M,,,, la valeur moyenne de 0 sera égale à gjt + [3y — ^ -h^u; le nœud de'.la première orbite sur le plan invariable se mouvra donc toujours dans le même sens, sauf les oscillations, et son moyen mouvement sera égal à gj.
S'il arrive que la valeur absolue de M^ soit supérieure aussi à la somme des valeurs absolues de M',, . . . , M),, M}^,, ...,Mn o gjt-h^j — ^-h k'-K sera la valeur moyenne de 0'. On aura ainsi
(36) &::^g.t^^.-^^kT:-hV,
u et u' sont deux quantités qui oscillent de part et d'autre de zéro entre des limites dont les valeurs absolues sont inférieures à -• On aura
la valeur moyenne de la distance des nœuds des deux planètes sur le plan invariable sera donc égale à zéro ou à ir, suivant que Mj et M'j seront de même signe ou de signes contraires.
180. Nous avons dit que les calculs numériques effectués par Lagrange reposaient sur des valeurs fort peu exactes des masses; de plus, Uranus n'y figurait pas. Le Verrier entreprit en iSSq de reprendre avec toute la précision désirable la détermination numérique des inégalités séculaires des sept grosses planètes connues alors. Je me bornerai à quelques indications sur la marche suivie et sur les résultats obtenus, renvoyant pour les détails au tome II des Annales de r Observatoire, p. loS-iyo.
Si l'on remplace f par , , , ••■, les formules (lo) donnent
(o,i):=2 — /iaNo,i, [0,1] = 2 — naPo,i,
les quantités aNo,,, «Poj» ••• ne dépendent que des rapports -; on prend pour
unité de temps l'année julienne; on devra mettre pour /«, n', ... leurs valeurs
correspondantes exprimées en parties du rayon. A cause de la petitesse des rap-
426 CHAPITRE XXYI.
ports — j les valeurs numériques de (o,t), [0,1], ... seront très petites. Il
est préférable de les exprimer en secondes sexagésimales, et alors il en sera de même à^ g, g^, ....
Quand on a calculé tous les coefficients numériques A^,, et A/,/f, on forme les sept équations (i3); on constate que dans les trois dernières les coefficients de M, M', M" et M'" sont très petits. On peut les négliger dans une première approximation, et l'on a ainsi trois équations homogènes entre lesquelles on élimine M", M'' et M", ce qui donne une équation du troisième degré en g que l'on résout. On trouve de la sorte les valeurs approchées de trois des racines de l'équation G = o, celles qui proviennent de la présence des planètes Jupiter, Saturne et Uranus. Ces trois grosses planètes ne peuvent être que très peu dérangées par les quatre autres; on peut donc, dans les quatre premières équations (i3), négliger les termes en W\ M^ et M". On a ainsi quatre équations homogènes entre lesquelles on élimine M, M', M" et M'"; il en résulte une équation du quatrième degré en g que l'on résout, ce qui donne des valeurs approchées des quatre racines de G = o qui proviennent de la présence des quatre premières planètes.
Avec ces valeurs approchées, Le Verrier détermine les valeurs exactes par un système d'approximations successives aisé à concevoir; il arrive à
/ g = 2", 2584, gk= i'^'^lkl,
,3g. \ gx— 3",7i36, ^5=17", 1627,
les valeurs approchées trouvées d'abord n'en diffèrent pas de o",ooi.
Quelques-unes des masses planétaires pouvant recevoir dans la suite certaines corrections, Le Verrier a voulu que tous les résultats de ses calculs pussent être utilisés encore ; il a représenté les vraies valeurs des masses par w (i + v), m'(i -h V), . . . , et il a développé les résultats suivant les premières puissances de V, v', ..., de sorte que, si l'on vient à corriger la masse de Mercure, par exemple, il suffira d'introduire dans les formules la valeur correspondante de v, pour obtenir le même résultat que si l'on était parti de la masse exacte. Les rap-
ports j^j 1^5 '•-, ~, •• . sont exprimés de la même manière (*).
Le Verrier donne ensuite les expressions numériques des formules (G) et (C), et l'on peut y lire immédiatement les limites supérieures des excentricités et des
(1) Au sujet de la résolution des équations (i3), le lecteur pourra consulter avec fruit un Mémoire de Jacobi, Zur Théorie der Sœcular-Storuiigen {Journal de Crclle, t. XXX).
inclinaisons; les voici :
Limites des excentricités. des inclinaisons.
Mercure 0,226 9.17
Vénus 0,087 5.18
La Terre o ,078 4 • 52
Mars 0,142 7.9
Jupiter 0,062 2, I
Saturne o,o85 2.33
Uranus 0,064 2.33
On voit donc que les excentricités et les inclinaisons, qui sont actuellement petites, resteront toujours très petites.
Ce résultat et l'invariabilité des grands axes et des moyens mouvements constituent la stabilité du système planétaire.
Si l'on substitue les expressions ci-dessus de esincr, ccosrar, tangjpsinô, tangçcosG, ... dans les coordonnées héliocentriques de chaque planète, ces coordonnées ne contiendront que des termes périodiques. Ainsi les inégalités séculaires sont en réalité périodiques; elles ne diffèrent des inégalités périodiques ordinaires que par la durée de la période, qui est, pour elles, extrêmement grande; c'est ce qui résulte des nombres (38) qui donnent les très petits angles dont les arguments augmentent en une année; le terme s'in(gt -\- ^) a une période de 574000 ans environ.
181. Le Verrier n'avait pu faire entrer dans ses calculs la planète Neptune qu'il ne devait découvrir que six ans plus tard. M. Stockwell a publié en 1873, dans le tome XYIII des Smithsonian contributions to knowledge, un Mémoire important sur les variations séculaires des huit principales planètes, dans lequel il a tenu compte de l'action de Neptune. Ce travail, dont les calculs paraissent faits avec soin, renferme des remarques curieuses. Ainsi M. Stockwell trouve que, dans les formules (C), la valeur absolue de M^" est supérieure à la somme des valeurs absolues de M'% M!J, ..., M'/; il en est de même pour M7 comparé à M", M^', ..., M^; enfin M'/ et W^ sont de signes contraires. II en résulte donc, d'après ce qui a été dit au n° 174, que :
Le moyen mouvement du périhélie de Jupiter est exactement égal au moyen mouvement du périhélie d'Uranus, et que les longitudes moyennes de ces périhélies diffèrent exactement de 180''.
Suivant les calculs de M. Stockwell, le périhélie de Jupiter peut osciller autour de sa valeur moyenne, g^t-i-^^, entre les limites =b 24^ 10', et celui d'Uranus, autour de la même valeur moyenne, entre les limites ±47°33'. Les périhélies des deux planètes peuvent donc se rapprocher jusqu'à la distance i8o«-(24°io'-i-47«33') = io8°i7'.
M. Stockwell trouve de même, en partant des formules (C'j), que : Le moyen mouvement du nœud de Jupiter sur le plan invariable est exactement égal à celui du nœud de Saturne, et que les longitudes moyennes de ces nœuds diffèrent exactement de 180°.
Il trouve aussi que le nœud de Jupiter peut différer de sa valeur moyenne de ± i9°38'; pour Saturne, ces limites deviennent ± 7*^7'. Les deux nœuds pourraient donc se rapprocher jusqu'à 1 53^ 1 5'.
182. Parmi les inégalités séculaires importantes, il y a lieu de signaler celle qui concerne l'excentricité de l'orbite terrestre. Cette excentricité est actuellement décroissante; elle continuera à diminuer pendant 24000 ans, après quoi elle augmentera pendant très longtemps. Nous verrons dans le tome III de cet Ouvrage que c'est là la cause d'un phénomène resté longtemps inexpliqué, l'accélération séculaire du moyen mouvement de la Lune.
Nous n'avons pas parlé encore des inégalités séculaires du sixième des éléments elliptiques, £. La dernière des formules {h) du n^ 62 est
dt" na da „^2 ( i 4. ^711^) de ' na'sji — e'' <^9 * On peut prendre, au degré de précision adopté,
ds. 2 ^R e <?R lang tp ()R
dt na da 2 na'^ de 2 na^ d<û
formule dans laquelle il faut remplacer R par son expression (5).
Si l'on fait cette substitution et si l'on met pour e-, e''^, ..., esinw, e'sincî', ..., ccoscï, e'cosGï', ...,tang^ç, tang^cp', ..., tangcp sin6, tangop'sinG', ..., tangcpcosô, tangcp'cos6', ... leurs expressions séculaires fournies par les formules (C) et (C), on trouve finalement une expression de la forme
^ =^H + 2Kcos(x^-h)c'), d'où
£ =r £0 4- H < + \^ - sin (x ^ + x' ) ; la longitude moyenne sera donc
£0+ (« + H)« + V — sin(xi + x')..
A cause de la petitesse des coefficients x, on pourra développer les termes
sin(x^4- x') en séries très convergentes suivant les puissances de /; le terme en t"^ sera très petit et le plus souvent négligeable.
183. On a vu que les excentricités et les inclinaisons des orbites des planètes doivent toujours rester très petites. Cette conséquence importante ne se trouve toutefois établie que pour les valeurs numériques adoptées pour les grands axes, et nous ignorons ce qui se produirait pour d'autres distances moyennes des grands axes. Il est à regretter qu'on ne puisse pas discuter facilement les variations des limites (22) et (22'), quand on fait varierez, a", .... Toutefois, quand on ne considère que trois planètes, l'équation (B'), qui a une racine nulle, s'abaisse au second degré; la discussion devient facile. Le Verrier a montré {Annales de V Observatoire de Paris, t. II, Addition III) « qu'il existe, entre Jupiter et le Soleil, une position telle, que si l'on y plaçait une petite masse, dans une orbite d'abord peu inclinée à celle de Jupiter, cette petite masse pourrait sortir de son orbite primitive, et atteindre de grandes inclinaisons sur le plan de l'orbite de Jupiter, par l'action de cette planète et de Saturne. Il est remarquable que cette position se trouve à peu près à une distance double de la Terre au Soleil, c'est-à-dire à la limite inférieure où l'on a rencontré jusqu'ici les petites planètes ».
J'ai moi-même cherché à étendre les conclusions de Le Verrier, en tenant compte de termes négligés par lui, dans un Mémoire auquel je renvoie le lecteur {Annales de V Observatoire, t. XVI).
184. Il ne faut pas se faire d'illusion sur la généralité des conclusions énoncées ci-dessus relativement à la stabilité du système planétaire. En premier lieu, les équations différentielles (A) et (A') ont été obtenues en négligeant, dans les parties séculaires des fonctions perturbatrices, les termes du quatrième ordre; Le Verrier a cherché à tenir compte de ces termes en faisant varier les constantes arbitraires des formules (C) et (C) (t^o«> l'Addition III du tome II des Annales de r Observatoire). L'une des conséquences auxquelles il est arrivé est qu'on ne peut obtenir, par la méthode des approximations successives, aucune conclusion sur la stabilité du système formé de Mercure, Vénus, la Terre et Mars, à cause des incertitudes qui régnent sur les valeurs des masses et peuvent modifier du tout au tout les petits diviseurs qui interviennent dans les formules.
En second lieu, il n'est pas prouvé que l'on obtienne toutes les inégalités séculaires des éléments en réduisant, dans les équations différentielles, les fonctions perturbatrices à leurs parties séculaires; le contraire est même certain.
La théorie exposée dans ce Chapitre est importante, si je ne me trompe, surtout parce qu'elle, nous met sur la trace d'une forme analytique générale des perturbations où le temps ne sort pas des signes sinus et cosinus, et dont l'usage s'impose dans les théories des satellites, notamment dans la théorie de la Lune.
43o CHAPITRE XXVI. — EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES, si n
Les termes en ^^ t (cet -+- (3) trouvés dans les théories usuelles des planètes
sont introduits par les procédés de calcul ; ils n'existent pas réellement. Dans cet ordre d'idées, quelques travaux importants ont été faits, et je crois devoir les signaler.
En généralisant la belle méthode employée par Delaunay dans sa théorie de la Lune et considérant le cas de deux planètes seulement, Jupiter et Saturne par exemple, on arrive à se convaincre (') que les éléments a, e, cp, a', e', ç' peuvent en général être exprimés par des séries de la forme
V Acos(a?i H- «1^1 + a2)^2 "•!-•• •)>
dans lesquelles a, a,, a.^, ... désignent des nombres entiers positifs ou négatifs, et "k, X,, Xa, ... des fonctions linéaires de t. La forme même de ces expressions assurerait la stabilité, si la convergence des séries était démontrée.
Les autres éléments £, xrs, G, £', cr', 6' s'expriment par des séries telles que
y.t -+- x' + V B sin {al + aj Xj 4- ag ?i.2 H- . . . ) •
Enfin, M. S. Newcomb est arrivé à des résultats du même ordre, très curieux et importants, pour un nombre quelconque de planètes, dans son Mémoire On the gênerai intégrais ofplanetary motions (Smithsonian contributions to knowledge, t. XXI, 1876).
Il faut dire toutefois que, si l'on essayait, dans la pratique, de mettre sous cette forme les théories planétaires, on aurait des calculs presque inextricables, en raison du nombre immense de termes qu'il faudrait considérer. Il est bien à désirer que les géomètres s'occupent de ces questions et cherchent à faire bénéficier l'Astronomie des progrès récents qu'a faits l'intégration des équations différentielles.
D'autre part, nous souhaitons vivement de voir couronnés de succès les efforts persévérants de M. Gyldèn pour l'introduction efficace des fonctions elliptiques dans les formules de la Mécanique céleste.
(1) Voir mon Mémoire sur le problème des trois corps {annales de l'Observatoire, t. XVIII).
