SUR LA MÉTHODE DE GAUSS POUR LE CALCUL DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES
Gauss a publié en 1818 un Mémoire remarquable ayant pour titre : Delerminatio attraclionis quam inpunctum quodvis positionis data exerceret planeta si ejus massa per totam orbitam ratione temporis quo siiigulœ partes describuntur uniformiter esset dispertita (Gkvss, Werke, t. III, p. 33 1). Ce Mémoire fournit un mode de calcul des inégalités séculaires autre que celui que nous avons indiqué et qui, dans certains cas, peut seul être employé. Aussi croyons-nous ne pouvoir nous dispenser d'en exposer les points fondamentaux; mais il nous faut commencer par résoudre une question préliminaire.
185. Reprenons les formules {h) du n° 62; on peut les transformer très utilement en y introduisant les projections de la force perturbatrice sur trois axes
rectangulaires, aux lieu et place des dérivées partielles -^-j -t-j — Le résultat est très simple quand on prend pour ces trois axes : le prolongement du rayon vecteur de la planète troublée, la perpendiculaire menée à ce rayon vecteur dans le plan de l'orbite, du côté où croissent les longitudes, et enfin la normale au plan de l'orbite dirigée vers son pôle boréal. Soient fm'S, fm'T, fm'W les projections de la force perturbatrice sur ces trois axes; ses projections sur les axes
de coordonnées sont -r-) -p? -x^- On trouvera, par le théorème des projections et à l'aide des formules de la Trigonométrie sphérique,
-n — , -.— = S (cosu cosô — sinu sinôcosç) +T (— sinu cosô— cosu sinôcos(B)-i-Wsinôsin<
(i) { -T. — ; -;— — S (cosu sin9 + sinucosôcos©) + T(— sinu sin9-t- cosu cos ô ces q?) — Wcos0 sine ^ inv ay ^
Ssinusincp H- 1 cosu smcp^rV*' 0$ rut ^r^ +WCOS9,
ïm' dz
UNIVEESITÏ
OÙ l'on a désigné par u la distance de la planète à son nœud ascendant, c'està-dire l'argument de la latitude.
Soit (7 l'un quelconque des éléments elliptiques; on aura
m dRd^ dRdy dRdz d<7 dx da dy da dz du
Les valeurs de -^j -/- et -r seront tirées des formules du mouvement elliptique, savoir :
X =z r(cosu cosô — sinu sinô COS9), y=: r(cosu sinô + sinu cosôcos^), 5 =r /'sinu sin9, u = cr — Q + w,
(3) < u — e sinw =: /li + £ — GT, /■:=:a(i — ecosw) =
I + e cos»v
Les dérivées relatives à cp se calculent sans difficulté; pour celles qui se rapportent à 6, il faut remarquer que 6 figure explicitement dans les formules et implicitement par u; on aura ensuite
dTx5 dj âe
Enfin les dérivées relatives h. a, e et e s'obtiendront aisément, en remarquant que l'on a
dr r du
ô^ = a' Ta^""^
dr dj 2 H- e cos w .
-V- =— a cosMP', -— =: — — - — - — sin«^,
de de 1 — e^
dr ae . dj a^ v^i — e^
ds ~ ^/T^Têâ ^ ^^' de ~ r^ '
Nous ne faisons pas varier a dans nt -h s. — -a, parce que nous supposons qu'on mette dans les formules fndt au lieu de nt. Ayant donc -^> j- et -j- par le calcul précédent, les formules (i) et (2) feront connaître les dérivées -^- Voici
les résultats auxquels on arrive, après des réductions faciles,
îni' da a
îni' d'f hn' de {m' dt
■= W/sin j,
„ ^2 + eCOSM^
S<7 COS(ï^ + T 5 /'SUIW,
^ ae . ™ a^ , ;
■- — ; -^-- =:— 2 r/*sin^- — Wsin© /'cosj, f/?i' d9 2
I dR
Il n'y a plus qu'à porter ces expressions (4) dans les formules (A) du n° 62. On trouve aisément, en remplaçant f par y— y-'
da 2 /«' na}
dt I 4- «z i/n Qt
de m'
dt 1 4- m
âfcp /??' «rt
(Sesin<T^ + T- j
sm9
dt I -+- m i/i ^9 m'
na^sji — e2|-s sin(P + ï(cos« 4- costï^)], W/xosu,
Wr sinu,
</rn . „o dQ m'
e—r- = 2e sin^ - —, — I nœ
dt 1 dt I + m
\] i — e- — Scos(p + T ( r + - j sin^v
de di
- naS/'
dm 'dt
I 1 - 2^ dd
+ 21/1— e^ sin^- -,-' * 2 a^
I + v/i — e* Si l'on ajoute au second membre de la dernière de ces équations la quantité
3 C 11 da , - I — —;- dt 2j a
dt
rdn ,
dt
on aura la valeur de
de
dt
c'est-à-dire de la dérivée de la longitude moyenne.
Les formules (A) sont très importantes, surtout quand on veut obtenir les valeurs variables des éléments à l'aide de quadratures mécaniques, car il est possible d'obtenir les valeurs numériques des quantités S, T et W, dans une pre- T. - I. 55
mière approximation, à l'aide des coordonnées (3) du mouvement elliptique, et il n'en est pas de même des formules (A) du n*^ 62 où figurent les dérivées dR dR da de
De plus, ces mêmes formules (A) mettent bien en évidence les influences des trois composantes S, T, W de la force perturbatrice sur les divers éléments. Les explications élémentaires données par J. Herschel et M. Airy des principaux effets de la force perturbatrice ne sont, au fond, qu'un commentaire des formules en question.
Enfin nous remarquerons les relations suivantes, que l'on déduit immédiatement des équations (A),
1 dt \ -\- m
d^''- m' na „,
