VV

dt^ I + m

elles donnent des expressions très simples pour la dérivée de la racine carrée du paramètre et pour la vitesse du pôle boréal de l'orbite, dans sa trajectoire sur la sphère de rayon i ayant son centre au centre du Soleil.

186. La fonction perturbatrice R se compose de deux parties qui correspondent aux attractions de la planète P' sur la planète P et sur le Soleil ; nous avons dit au n'' 125 que cette seconde partie ne donne pas de termes séculaires quand on ne considère, comme nous le faisons ici, que les perturbations du premier ordre par rapport aux masses. Nous pourrons donc nous borner à la première partie de R; dès lors, S, T, W seront les projections, sur les trois axes définis

plus haut, d'une longueur ^ portée sur la droite PP'. Les expressions de ces

trois projections pourront être développées suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes '( et t' , et si, dans les formules (A), on

remplace sinw^, cos(^, cosw, r, -> -, rsinu et rcosu par leurs développements

périodiques relativement à (^, on aura, pour la dérivée d'un élément quelconque o-, une expression de la forme

(5) -^ = Ao,o + 2]^'.''Cos(fC + «''C' + ^);

les seconds membres de ces équations ont, du reste, déjà été obtenus dans le Chapitre XX. On en conclut, dans la première approximation,

v^ A- ■' 0-— -const. + Ao,o^ -h >, -^ ^^V-; sin(<Ç + i'i;'-\-q);

si les moyens mouvements ne sont pas exactement commensurables, on n'aura jamais m-hi'n'=o, et Aq.o^ constituera toute l'inégalité séculaire de l'élément (j. Le calcul des inégalités séculaires est donc ramené à celui des coefficients Ao,o fiue nous désignerons par \-£-\ ', nous tirerons de l'équation (5),

Nous appliquerons cette formule aux cinq éléments e, tp, 0, w, £, puisque le sixième a n'a pas d'inégalités séculaires, et nous poserons, pour abréger,

nous trouverons alors

I 4- m na

/,27r [SoSiiKv 4- To(cosi<+ cosMP')] <fÇ,

2esin2- -y-

Wo/"sinurfÇ,

So cos (^p + ïo ( I + - ) sin wi

\-j-A ~ -77 +2VI — e^sm^-L — I Sord^.

Nous serons donc ramenés, d'une part au calcul de S,,, To, W» par les formules (6), et d'autre part au calcul des diverses intégrales qui figurent dans les seconds membres des équations (7).

Concevons que l'on répartisse la masse de la planète P' tout le long de son orbite, de manière à former un anneau, la quantité d^k' distribuée sur l'élément ds' étant proportionnelle au temps dt que la planète emploie à décrire cet élément; on aura

dix' dt dxj

et la première des formules (6) donnera

)o= / s dix.'.

f>H^Sc?(jt,' est la projection, sur le rayon vecteur r, de l'attraction exercée sur la planète P par l'élément d[tJ ; îM!f^ d\k' sera la projection sur la même droite de l'attraction résultante exercée sur la planète P par l'anneau elliptique infiniment mince considérée plus haut. Donc f/?<So, f^T^ et f />»^Wo ne sont autre chose que les projections de cette attraction résultante.