V^GG'G

Ti a o' Il I

(G + G'cos2| + G"sin*o'

sin''^^^^

+ G'cos^^+G"sin24)^

J, (G + G'cos2| + G"sin2^)2

44o CHAPITRE XXVII.

Ces composantes sont rapportées aux axes principaux du cône; elles s'expriment à l'aide des intégrales elliptiques. Supposons G' > G", et posons

(19) ^'=%^^ F'= /^'-7=#^=Tl' E.= rVi-^^sin^^^^;

d ( sin^cos^ \ i — 2 sin^^^ A-^sin*^

la relation

dl\sji-k''^\n'l) (.-/c^sin^O^

donne

(20) / ^ ^dl — o.

On tire aisément des formules (19) et (20)

Jo (^^

(G + G')2 /•" rf|

Jo (G + G'cos2^ + G"sin^O' ./ (i - ^"^ sin='0' ' - ^"

après quoi les formules (18) donneront les composantes de l'attraction exprimées à l'aide des intégrales complètes F, et E, de Legendre.

Ces composantes se trouvent rapportées aux axes principaux du cône : on en déduira facilement les valeurs Sq, Tq et Wq des composantes de la même attraction par rapport aux axes définis au n° 185. On voit que, dans la solution précédente, il faut calculer la position et la grandeur des axes du cône ayant son sommet au point P et pour base l'ellipse E'; c'est une simple question de Géométrie analytique qui exige, comme on sait, la résolution d'une équation du troisième degré dont G', G" et — G sont les racines. M. Halphen a montré qu'on peutéviter larésolution de cette équation, en introduisant les fonctions elliptiques sous la forme moderne; nous renverrons le lecteur qui désirerait approfondir le sujet au Traité de M. Halphen.

189. Il résulte de ce qui précède que, pour chacune des positions du point P,

on est à même de calculer So,To, Wo;pour obtenir les valeurs (7) de ^ > •••> on aura à effectuer des intégrations telles que

L'expression analytique de la fonction ^est très compliquée ; aussi est-on obligé de déterminer numériquement les intégrales ci-dessus, par des formules de quadrature. Supposons la fonction ^ développée suivant les sinus et cosinus des multiples de '(,

{ 4'(O^<^0^-^lCOSÇ + «2COS2Ç + ...

I + èjSinÇ -+- ^2 sin2Ç H-. . . ;

divisons la circonférence en y parties égales et donnons à "C, les valeurs o, -^j