V. ZàZ^K ) r.2...y.i.2...(^-y

On en conclut, en donnant ày les valeurs o, i, 2, ... et à ? les valeurs correspondantes, n, n — I, n — 2., . , .,

i yip^ ^ 2« p{p-+-i)...{p-i-n-i) r i n{n-i) ^„^

Vif' est un polynôme entier en cr e't de degré n.

La quantité z^p^ définie par la formule (4) est une fonction de |3 et de a; on vérifie aisément qu'elle satisfait à l'équation

Si l'on porte dans cette équation l'expression (5) de ^'^^ et qu'on égale à zéro le coefficient de (3", il vient

(7) (i-a^)-^-(2/> + i)a-^ + n(2j. + «)Vr = o;

voilà une équation différentielle linéaire du second ordre, à laquelle satisfont les polynômes V^,f' .

Nous considérerons d'une manière spéciale les valeurs /? = | et /? = i , et nous ferons

V^"2) — p V'i' — TT

Les formules (5), (6) et (7) nous donneront

Ui^2(7, U2=4o--— I, U3=8a^— 40') 114:= l6(T*— 12(7^+ I,

U„= 2« U" î^ '- cr'»-^ 4- ^ ^^-!^- ^-î^- '- a"-* — ... ,

P„ est le polynôme de Legendre; il joue un rôle fondamental dans l'étude de la figure des corps célestes, et nous aurons à le considérer en détail dans le tome II de cet Ouvrage.

Les polynômes U^ sont susceptibles d'une autre expression remarquable. On peut écrire, en effet,

i 2(3^+(32 (i-[3Ev^)(i — (3E-Vv/^)

On en conclut

3(1)— — j^ — Ye'^v/^ y\ (3'»E«v^~ — E-"^/^ y\ (3'»E-"v/^y

2\/— isinVx -^ -^ J

zHJ — -^ V S'» sin ( /i + I ) V.

On a d'ailleurs

Il en résulte donc

-, sin(«4-i)V sin[(« + i) arccosa]

192. Revenons au problème que nous nous sommes proposé ; cosnY s'exprime

à l'aide de cos"V, cos"~^V, ... ; d'ailleurs une puissance quelconque de cosV, cos^V est composée d'un nombre limité de termes tels que

ix^v^cos^xcos^y, avec A-hB=^q;

si l'on exprime cos*a; en fonction de cosA^, cos(A — 2)^7, ... et si l'on fait de même pour cos^j, on voit que cos^V est composé d'une série de termes, tels que D cosi^ cos/jx; le coefficient D contient en facteur [jl'v-' et les différences q— i — j sont des nombres pairs, positifs ou nuls. On pourra donc supposer

{a) cos/iV=Q'„'^'„+2 2] Ql-fo cosfa;+ 2^ Qf,';].cosy>4-4^ Ç^t) zosix cosj-y;

«ety désignent des nombres entiers positifs, tels que

i -hy =« — un nombre pair; QJj est une fonction de (x et de v qui est de la forme

Il s'agit de trouver la forme générale de la fonction $ : elle est susceptible d'une expression analytique remarquable; mais, pour y arriver, il faut passer par un intermédiaire. On a l'identité

,, sin(/n-i) V — sin(/î — i) V

2 cos n V =: ^ — ^^7 — ^^ '— ,

smV

qui devient, en vertu de la formule (10),

(12) 2cos/iV = U/j— Urt 2.

Le développement de cosnY se trouve ainsi ramené à celui de la fonction U„ considérée au numéro précédent. Nous pouvons poser, en ayant égard à l'expression (9) du polynôme U^ et à ce qui a été dit du développement de a^,

( 6 ) U;, = R;,'fo + 2 ^ Rl-I^J cos io? 4- 2 2 R'o«} cosy> + 4 ^ ^'ï'^-J cos ia: cos j'y ;

RJj sera de la forme (11) et les indices ietj remplissent les mêmes conditions que dans la formule (a).

La relation (12) donnera

Les fonctions R['y s'expriment très simplement, comme on va le voir.