cos^ - cos X 4- sin^ - cos
StlR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 449
est un cas particulier de la suivante
(7 = cos<j'COs4''cos^' -h sinij; simj^'cosj, quand on y fait
On peut donc prendre
('4) ff := a cos4'Cos.3? -h bsin^icos/,
(i5) a=:cos<|', b — sin4>'.
Il faudra voir ce que devient le polynôme U„ de degré n en a défini par l'une des formules (9), quand on y remplace <y par sa valeur (i4) et qu'on développe le résultat suivant les cosinus des multiples de se et y. On va chercher, en partant de l'équation différentielle que vérifie le polynôme U„ considéré comme fonction de a-, à former une équation aux dérivées partielles pour U„ envisagé comme une fonction de ^, ce et j, à l'aide de la formule (i4)-
On trouve immédiatement
-sj- = (— a sin'4;cos,37 -4- b cosq;COSj) -j-^,
à'-Vn , . , , , ..d^U^, , ... ,d\]„
-^2 — V ~" ^ sinq;cosx + bcosi|icosj)^ ~~TT' ~ (acos^» cos^ -h bsin^icos/) -%— S
à'Vn , ,, . , d^l^„ . dl]„
-ir-r =a^cos2q;sm2^ -^ acos^/coso? —r^ >
__ = b^ sin^^ sm'y -^^^ - b sin^; cosj -^f •
On a d'ailleurs, par la dernière des formules (9),
«(n + 2)U„ = [(acosvp cos^ + b sinJ^cos/)-— i] "
da^
JTT
+ 3(a cos^' cos^ + b sin^|>cosj) —r^' On en conclut sans peine, en tenant compte de la relation a- -f- b^ = i ,
= (— 1 + a^ cos^^ + b^ cos-j + a^ sin^^ + b^ sin*/)
da^
1 2a cosu; coso: + 2b sindi COSV — r COSX ; — r cosy 1 — r-^
\ T y C0S4; sin^/ "^ J d(j
cos2d/ , cos^ — -,- , cosr — ,— =— 2 cot2'i^ -^•
^ \cosi|' sinvp } da ' d^
45o CHAPITRE xxviii.
On a ainsi l'équation cherchée
^ ' d^i^ 04; 005^4; OJ^^ sm-4; a/*
U,, est un polynôme entier en a; une puissance entière et positive quelconque de
(7 = a ces 4> cos j? 4- b sin '^ ces/
se compose des termes de la forme
(a 008 4*)'"*"^^^ (b sin^Y'^^'^cosia; cos j'y
On en conclut que U„ est de la forme
(17 ) U„ := 4 ^ T'j'y cos' i|; sia-/ ^ cos ia; cos j'y,
OÙ TJ'yCst une fonction entière de sin^^^et aussi de a et b; la différence n— i — j est positive et paire.
Si l'on porte cette expression de 11,^ dans l'équation (i6) et que l'on égale à zéro le coefficient de cosf^cosyj, on trouve, après réduction,
—rrr- + -■ — i r [(27 + i) cos^ J;— (2« + Osiii^d;] —±l
+ (/i - / -y) (« + i +y + 2) TI.7 = o.
On peut enlin poser, d'après ce qui a été dit, et l'équation précédente devient
ou encore
(19) (^^-0^+[(« + (3 + 0^-y]-^+^i3ïw=:o, en faisant
Nous savons que l'on a
avec un nombre limité de termes au second membre.
Si nous substituons cette valeur de V"] dans l'équation (19), nous trouverons, en égalant à zéro le coefficient de /^,
(/? + i) (p + y) A(/'+-'' — {p + «)(/?-+- (3) Af/'> ; il en résulte
On reconnaît dans le second membre la série hypergéométrique F(a, [3, y, /), ce qui devait être, puisque l'équation (19) n'est autre chose que l'équation différentielle linéaire que vérifie la série hypergéométrique.
Nous écrirons C au lieu de A^°^ de sorte que, en tenant compte des valeurs (20) de a, p, y, la formule (21) deviendra
(22) TÎ-«'=C'F -^ , ^--- ,7+1, sin'(]; ;
C est une fonction de a et b, donc de ^'. On a dit plus haut que n — « — y est positif et pair; il en résulte que - — - — - est égal à un nombre entier négatif. Si l'on se reporte à la formule (21), on voit que F représente ici un polynôme de degré ^ '' — en sin^'j'.
Posons pour un moment
(23) Slf;=:Tl-')'cos'"^sin^"4^ = C'cos'4^sin^"4;F ("-i^^^-^, i±A±:^±^, y + i, ^m""^-,
la formule (17) nous donnera
(24) U« -= 4 ^ S',"; cos/^ cosy>.
Or l'expression
(T =r cos4'COs4''cos^ + sin^» sin?];' cos J
reste la même quand on échange entre elles les lettres '| et ^j^' ; il doit en être de même de U„ et, par suite, de SJ"'. On aura donc, en se reportant à la for-
mule (23) et désignant par G ce que devient G' quand on y remplace ^ par ];,
C'cos'4' sm-'4' F( j —ij -f- 1, sin-(]> j
cos' 4* sin-' 4; F ( • j ' y + ' j sin^ ^ 1
Le premier membre de cette équation est une fonction de ^' seul; le second ne dépend que de tj;; ^ et '\f' sont arbitraires; donc ces deux membres doivent être égalés à une constante indépendante de ^ et ']/'. Désignons-la par c\j et nous aurons
C'= c^/^j cos'd;'sm^\{;'F('— ■^^— ^, ^ +> + ^ + ^ y ^ i^ sin^^'") ,
après quoi la formule (;2r8^) donnera
( Sifj =<; (cos^{;cos^{^0''(sin4>sini};0^ F^' "^-^ ~ '\ ' '^•' "^ '' ^ ', j + i, sin^^] (25) ! ' ' V 2 2 y
i „/i-}-/ — ni-h/-{-n-h2. .9,,
( ^ i 1 ' '^ ' -^ -^ '' sin'^
Il n'y a plus maintenant qu'à supposer
la formule (24) coïncidera avec (b) eiS\j avecRJ"j; on aura donc
I^iry = <y(^cos2-j (sin^-j F^ (^ — ^ , — ^ ,j + i,sm'-j
ou bien
{d) Rl'j = 4;^Vv^FM — ■{ — , — -^ , >y + i,v
G'est la formule cherchée; elle est bien de la forme indiquée par l'induction. Il ne reste plus qu'à trouver l'expression de la constante c-"' .
195. Cherchons le terme du degré le plus élevé en v dans RJ/'j, quand on y remplace [x par sa valeur i — v. On voit aisément que le terme de degré le plus élevé en v dans
F(i±:^JZ^,L±:/-±-^i:l^,y + ,,v
est
n(/on(./) ;^
n ( ^^ + ^+./\ Yi('^~^^-^
où l'on a posé d'une manière générale
Le terme de degré le plus élevé en v dans RJj sera donc, d'après (^), et l'on pourra écrire
COSi.37 COSjy -|-l)i)iV"- * H-l)b2V"-24-..
(06) U -/iv« y (-.Vc'"! r 5(^^1(7) T
On a, d'autre part,
CT = fJ(.COS^ H- y cosj' =cos^ -h v(cosj^ — cosx).
(27) U;j=: 2«(cos7 — cos^)" v" +S,v"->+ 32v"-^4-. . . ;
si l'on compare les expressions (26) et (27) de U„, on trouve
(■28) 2" (cosj - cos^)" = 4 2 (- ■)'<y r /„ + , + /n"/'„^ , + /nT
COSf^ CCS//,
de sorte que le calcul des coefficients c\'j se trouve ramené au développement de (cosy ^ — cosa?)" suivant les cosinus des multiples de œ et j.
Posons
(29) 2" (cos/ — COS^)" " 4 ^ fi\"j cos ix cos/j,
et nous aurons
(3o) • cW=(-i
"'■^ L n(«)ll(y) J
Nous allons chercher les coefficients U^. On a
/ . X -\- 'y\"' ( . X — r\" 2"(cos/ — cos^)" = ( 2sin — 1 I 2Sin — 1
Or la formule du binôme donne
les nombres p et p,, p' et p', prennent toutes les valeurs entières et positives vérifiant les conditions
On conclut de ce qui précède
--^ w^ c — t'i'î+p.+p'. rrrcnMz p-P' + p'~P' ,../-7 p -pi-pVpi ,
. (3.) 42/4.3cos,-.cos,> = 2îl(^;k^ff|-)^^^ "^""^
Pour trouver dans le second membre le terme en cosî^r cosyj, il faut poser les équations
(33) 9-9^^9'-9\ ^+-^ p-pi-p^+p;^^^^..
si on les combine avec les équations (3 1), on en tire
Pi— ^ ' Pi= ^---
Les termes considérés dans le second membre de la formule (32) pourront
s écrire
n (^^-tJiitf] n ('^ — ^—J] n ('l±l^zl] n ("-~^'^-^] l-h e-('-^+>>) ^' + e-c^ ->•>'> ^~\
la somme des quatre exponentielles est égale à 4cosî*xcosyy et la formule (32) donne
(34) AjA) =:(-!)' [n(/0]'
Il convient d'examiner à part le cas de y = o; on tire alors des équations (3i) et (33)
on aura, dans le second membre de l'équation (32), à considérer les termes
(-iV [HiZil]! -(E'-^y/^ + E-'^^) ;
la somme des deux exponentielles est égale à 2 cosi^, et il vient (33) *« = ' (- .)■■ r . J"^'"T ^S
on trouverait de même
2 \-„/n-hi\jj/n — i
["mK^)]'
Il reste enfin à considérer le cas de f = 0 avec y = o; le terme constant du second membre de la formule (32) est
et l'on trouve
Il est possible de déduire les formules (35), (3G) et (Sy) de la formule (34), en y supposant nuls l'un ou l'autre des indices t ety, ou tous les deux; il suffit en effet d'écrire comme il suit la formule (29),
2'* (ces j — cos:r)« = 4 2 h\j cos ix cosj'y + 2 ^ A^fJ cos ix + 2 ^ AJ,") cosy/ + h^ô\o î
on a d'ailleurs opéré ainsi dans l'équation (b). Les formules (3o) et (34) donneront
(e) ci'y =
n( '±±±±l]Yii'^~^^f
n -i- i — j \jj f n — i — /
[n(y)?n ' -Mn
cette formule est générale, à la condition d'y remplacer II(o) par i.
Les relations (c), (d), (e) feront donc connaître entièrement les quantités Q;.'y.
196. Si l'on combine le développement (3) avec l'expressionj^^de coswV, on voit que la fonction ^ se composera d'une série de termes de la forme
2Jl)("' cosix cosyj = ols^"' cos{ix-^jy) -+- c-l>(«' cos(/^' —j'y),
chacun de ces termes étant multiplié par une fonction connue de J. 11 faut arriver à développer toutes ces expressions suivant les puissances de e et e' ; on commencera par supposer e'= o, e' = o, ce qui donnera r= a, r' = a\ v = l, (;' = /' , X = /' - / - t' 4- T ^ /' — "X, j = /' + / — t' — T = /' -h >. — 2 t' ; le term e Ji«("^ cos(ix +yj) deviendra donc
(38) A(«)cos[(i+y)/'-(i-y)A-2yr'].
Il faudra maintenant remplacera, a', 1, l' respectivement par a-i-ax, a'-\-a'\\ >i + y, /'-h y',
X, y, x' et y' étant les quantités considérées au n° 93.
L'expression (38) est de la même forme que celle donnée pour R^ par la formule (19) du n° 119. Nous rentrons donc dans une question connue, qui ne présente plus de difficulté, et le problème théorique que nous nous étions proposé peut être considéré comme résolu.
197. Lorsque le rapport -, est assez petit, comme lorsqu'il s'agit des pertur-
bâtions de Pallas par Saturne, il convient de développer ^ suivant les puissances de ",• Les formules (3) et (8) donnent
pour résoudre la question, il n'y aura qu'à trouver ce que devient le polynôme P„ de Legendre quand on y remplace a par son expression (2), le résultat devant être développé suivant les cosinus des multiples de x et y; c'est ce qu'a fait Hansen dans le tome II des Mémoires de la Société Royale des Sciences de Saxe. M. Cayley a donné depuis une autre démonstration des formules auxquelles était arrivé Hansen, dans le tome XXVIII des Mémoires de la Société Royale astronomique.
Nous suivrons une méthode tout à fait analogue à celle employée dans les numéros précédents; nous pourrons faire tout d'abord
(/ ) P„ ( a ) = A'o".'o + 2 2] ^tl cos ix + 1^ A^^j cosy> + 4 ^ KTj cos ix cos j'y,
OÙ AJy est une fonction de J. Il y a lieu maintenant de chercher à former une équation différentielle que vérifie la fonction P^,, envisagée comme dépendant de x,y et J. On trouve sans peine
-^ = - smJ(cosr — cos^) -7— ) dJ 2 ^ ^ 'du
^,/ = -cosJ(cosr — cos^) --j h y sinM(cosr — cos.r)^ .„>
dP 2 '^ ^ ' da k ^ ./ ^g-2
^^^'P,, dP^ .. , .d'P„
/JLCOSO^-^ 1- p.^(i — cos-ct)
^^P„ dP„ ^. . .d'P„
-^ ^ - V cos J -^ + vMi - cos^j) -^ . On a d'ailleurs, par la dernière des formules (8),
dP d*P
n{n -h i)P„=: 2(jjLCOS^4-vcosj)— j-^ -h{iJ^cos^a; ■+- 2/Jtv cos^ cosj -+- v^cos^j— i) " •
On tire aisément de là l'équation cherchée
à^Pn ,,àP, I d^P^ I d^Pn , , , XD
-^ 4-colJ -^ + - ^^ 4- - ^p- +/Kn-M)P«=o.
Si l'on substitue dans cette équation l'expression (/) de P« et qu'on égale T. - i. 58
à zéro le coefficient de cosix cosyj, il vient
(4o) î^ + COtJ ^ -H [«(« + .) - ^ - 4'J Ai5=o.
On voit directement que AJ"' doit contenir le facteur (x' v^ ; il y a donc lieu de faire
En substituant dans (4^), il vient, après des réductions faciles,
~dl^ ^ iîïïj ^^'^' + V + 0 cos J + 2J-- 2i] -^ + (n - /-y)(« + f'+y + I) Bi-'}' =: o.
Nous regarderons B'"] comme une fonction de v = sin^ - et nous trouverons aisément que l'équation précédente devient
^'''~ ''^ ~^ ^ [2(^*+y + 0 V - 2y- i] -^ + (i +y - n) (« + i'+y + i) B'/;j = o. C'est l'équation
de la série hypergéométrique, en prenant
cf.=ii-\'j — n, (3 = / + /■+ 71 + I, y — 2j + u On aura donc, en désignant par k^"j un coefficient numérique,
{g) My — A-^-^jf^'v^ F(i +y — n, i+j + « + i, ay + i, v) .
Il reste à trouver l'expression de k^lj\ i -hj — n étant égal à un nombre entier négatif pair, F est un polynôme entier en v, dans lequel le terme du degré le plus fort est
( i)n-i-J (/+y + n + l)(t+y+/l + 2)...2Al ^^..^
d'ailleurs, le terme de degré le plus élevé dans p.'v^ = (i — v)'v'/ est (— i)'v'"*"^; le terme du plus fort degré dans AJj se met dès lors aisément sous la forme
( ,y kw n(2/i)n(2y)
et l'on en conclut
On trouve, d'ailleurs, en remplaçant dans
i^/v i .3. . .(2n — or n(n — i) „ "1
CT par cos^ 4- v(cosj — cosic), et ayant égard à la formule (29),
(42) P„(a) rr: ^v" ' '^^ "i}^ \~ '^ ^ A'/,y COS ^'-Z^ cosy> + S', v^-» + 3', v'^"^ + ■ ■ ■ ■
La comparaison des expressions (4i) et (42) donne
/.(«) (__ ,ujAn) n(n + /4-y)n(n — f+y;
'^i.j — K n 'ii.j 2"'n{2j)[U{n)Y
et, en remplaçant AJ'y par sa valeur (34), il vient finalement
n(« + i-+-/')Jl{n — i-hj)
«n(2y)n(^i^i^)n(^^)n(^±i^)n(ii^:lityj
Les formules (/), (g), (h) résolvent la question.
198. Le développement de la fonction ^ se composera donc d'une série de termes de la forme
p^i cosia:cosjy=-^ ^ cos(i^+y» + '- ^^ cos(/a;-y».
Si l'on remplace x et j respectivement par
iv' — w -\- rs' — t' — (nr — t), w' -i- w ^ th' — t'4- ci — t, on voit qu'on sera ramené à trouver les développements périodiques de
/-^'" (t±y)^v, cos ^ -^ '^
I sin ..... ,
r'"^' ces
on a obtenu ces développements dans le Chapitre XV.
199. Le développement de la fonction perturbatrice a donné lieu à un très
46o CHAPITRE XXVIII. — SUR LE DÉVELOPPEMENT, ETC.
grand nombre de travaux ; il nous est évidemment impossible d'en rendre compte. Nous nous bornerons à citer les Mémoires suivants :
Cauchy. — Œuvres complètes, !•"« série, t. V, plusieurs Mémoires.
V. PuisEL'x. — JouT'nal de Mathématiques, i^ série, t. V et YI, trois Mémoires.
BouRGET. — Annales de VOhservatoii'e de Paris, t. VIL
G.-W. HiLL. — On the development of the perturbative function in periodic séries.
S. Newcomb. — Development of the perturbative function {Astronomical Papers, t. III).
Gyldèn. — Undersôkningar af Theorien for Himlakropparnas Rorelser, IL
0. Backlund. — Zur Entwickelung der Stôrungsfunction {Mémoires de V Académie des
Sciences de Saint-Pétersbourg, 7^ série, t. XXXII). H. Radau. — Annales de l'Observatoire de Paris, t. XVIII. B. Baillaud. — Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. IL
TRANSFORMATION DE HANSEN POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES.
200. Harisen a donné pour les équations différentielles des mouvements des planètes une transformation importante qui forme la base de tous ses travaux. La force perturbatrice y figure par ses composantes S, T, W, rapportées au rayon vecteur rde la planète troublée, à la perpendiculaire au rayon vecteur, dans le plan de l'orbite et à la normale au plan de l'orbite. Dans l'ordre d'idées que nous avons adopté jusqu'ici, il nous paraît naturel de déduire la transformation de Hansen des formules (A) du n** 185, dans lesquelles se trouvent déjà les composantes S, T, W; il nous semble d'ailleurs qu'on pénètre ainsi assez profondément au fond des choses.
Commençons par rappeler celles des formules (A) ou de leurs combinaisons qui vont nous servir : '-^
dt
de m' , ,-^^ .
-j}^= — K\/PiTS)?,\nw + r(cosM + cosw)],
(a) [d{Ts — Q) de m' k\/pr^ ( r\,^ . 1
dt IX ^^ i
de m' k
cfU m' k ^^, .
\ ^ dt IX ^p
Remarquons maintenant que, dans la méthode de la variation des constantes arbitraires, les expressions analytiques de a;, y, z, -£■, -^, -^ sont les mêmes.
/j62 CHAPITRE XXIX.
dans le mouvement elliptique et dans le mouvement troublé; il en sera ainsi dr dt
de r et -7-> puisque r= sjx'^ -+-y^4-s- est une fonction de oc, y, z. On voit d'ail-
leurs aisément que, dans le mouvement elliptique, on a -v- = -^J^^= e sinw^. On
aura donc aussi dans le mouvement troublé
