I -h ecosjif
/ . dr k .
Formons l'expression de -^ en différentiant la relation (i) et tenant compte de la formule (2); nous trouverons
dw ksjp . i dp de
dt r^ r dt dt
Remplaçons ^ et^ par leurs valeurs (a) et nous obtiendrons après des transformations faciles,
,o\ ^^ ^^P , m' k\Jpr ( /Xrr . "1
(3) -— =i—!L^ -\ lii Scos<^— I + - TsinnP' ,
dt 1'' ^ e y \ P) \
ou bien, en ayant égard à l'expression (a) de 'T \
(4) { - ât = r^-^°^^^-
201. On est amené ainsi à introduire deux nouvelles variables t' et a-, définies par les formules
,~. d(j dB
(6) {'^=iW-\-XS — Ô-f-ori^U + O-.
Les relations (4), (5) et (6) donneront alors
^^^ dt -^^' ' dt-^^P'
d'où, en différentiant et remplaçant -^ par sa valeur {a).
C'est l'une des formules fondamentales de Hansen.
TRANSFORMATION DE IIANSEN. 4^3
Si nous différentions maintenant la relation (2), nous trouverons
d^ r k . de /." dw k . dp
—.—^ = -zz sin w -7- H- — = e cos w —, -= e sin «> -j- ;
cil J p cil ^ p cit 2 p \J p dt ,
mettons pour ^> ~ et -rr leurs valeurs (a) et (3), et il viendra
(q) -7-r = -; e cos (p h A^S;
dL- I- IX
la composante T a disparu de cette équation, et c'est là un fait important.
On peut ensuite remplacer ecos^i^ par sa valeur ^ — i, déduite de la formule (i), ce qui donne
dh- k^p k'^ m' •^7^ - "TT + 7^ - — /^' ï'
ou bien, en vertu de la relation (7),
, , d^r dv^ k^ m' ^
c'est encore une des formules fondamentales de Hansen.
Si nous introduisons une notation spéciale pour représenter la quantité -= =h, les formules {a), (7), (8) et (10) nous donneront donc cet ensemble de
relations :
idyr .dv^ k^ m' dt' '' dt^ '^ 7^ ~ ~iZ ' dty dtj- ^ ^ ^'^
dt
do m'
-T- == — /iWr cos((^ — (t),
dt IX \ /'
, J-. , . dQ m' .
{d) \ sin9-i- = — AW/' sm(p — a),
da dB
dï=''''''^dl'
Ce sont bien les formules qui servent de base aux méthodes de Hansen.
202. Il est facile d'obtenir une représentation géométrique de l'inconnue auxiliaire a.
Soient {fig- 22) NI et N<I les grands cercles suivant lesquels la sphère de
rayon i est coupée par les positions du plan de l'orbite aux époques t ^it -\- dl-, la position limite du point d'intersection I de ces deux grands cercles sera le point M où le rayon vecteur r de l'époque t perce la sphère. Abaissons le grand cercle NA perpendiculaire sur N,I; nous aurons
NNi = ^0, AN, = 008 9^9;
donc, d'après la relation (5),
AN, — da.
Soient X et X, des points pris sur les deux grands cercles NI et N, I, tels que
NX = (7, N,X, =:a + rf(T;
on aura AX, = NX et, aux infiniment petits près du second ordre,
