MT

0', NG = 0-(7, N'G = 0'-cr'.

L'application de la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique aux triangles M'GM, M'GP, M'GQ fera connaître les cosinus des arcs M'M, M'P, M'Q,

lesquels sont égaux respectivement k —} ~) —; si, dans les formules obtenues, on remplace cos J par i — 2 sin^ -, il viendra

cosM'M = cos(f>'— t^ — 0'h- 0) — 2sin2 - sin(p —0) sin(ç''— 0'), iCosM'P =:sin((^'— v — Q'-hQ) -2sin=' -cos((^ — 0) sin(p''— 0'),

cosM'Q r^— sinJ sin(t^' — 0'),

Le triangle NGN' donnera d'ailleurs

. J . 0'-(7'-H0-cr

sm - siii =: sin

On a aussi

sin - cos

cos - sin

cos - cos

2 r/-' ces MM',

— cr' — 0 -+- a

— ff' — 0-hcr

ces

sin

= cos

sin

sm -!

cos

(16) A2 — /•2-+-/-'^— 2/r'cos((^'— p — 0'4-0)-h4/T'sin2 - sin(v^ — 0) sin(p'— 0')

Les formules (i3), (i4)» (i5) et (16) déterminent S, T et W en fonction de r, r', ç', p' et de a-, a', ô, 9', cp et <p'.

Les équations (è) et (d) paraissent décomposer le mouvement en deux autres, le mouvement relatif dans le plan de l'orbite et le déplacement du plan de l'orbite; les premiers membres des équations (6) ne renferment en effet que r et (^; mais il est bon de remarquer que les seconds membres contiennent ô, (p eto-, qui sont introduits par les expressions données plus haut pour S et T.

Nota. — Les formules (b), (c) et (d) ont été données aussi par Wronski (voir, dans le tome II des Annales du Bureau des Longitudes, un Mémoire de M. Yvon

Vi 11 arceau, Sur une nouvelle forme des équations différentielles du mouvement des planètes et des comètes); mais c'est Hansen qui les a publiées le premier.

204. Supposons effectuée l'intégration des équations (Z>), (c), {d); voyons comment on calculera pour une époque quelconque la longitude et la latitude liéliocentriques L et B. Abaissons {fig. 23) l'arc de grand cercle MH perpendiculaire sur le grand cercle .xj; nous aurons

et le triangle rectangle MHN nous donnera

[ cosBsin(L — 5) = cos^ sin((' — ct), (17) < cosBcos(L — 9) = cos(p.— (t),

( sinB =: sin<psin(p — (t).

Le calcul de L et B par ces formules présente cet inconvénient que les facteurs C0S9 et sincp sont variables à cause des perturbations et qu'on ne peut pas construire commodément des Tables pour le calcul des seconds membres de la première et de la troisième des formules (17). Hansen a surmonté cette difficulté par un artifice remarquable que nous allons expliquer.

Soient «po et 60 = Uo les valeurs initiales de 9 et G; Hansen cherche à déterminer les quantités F, ^, <]>' et s, de manière à avoir

[ cosB sin(L— 00— T) := cos9osin(p — 0o) — ^'j (j8) I cosBcos(L- 9o— r)= cos(t^ — 0o) +4^',

sinB r=r sintpo sin(p — Qç,) 'r s.

On peut écrire

développer (L— Oo — F) et remplacer cosBsin(L - 0), cosBcos(L — 0) et

sinB par leurs valeurs (17) ; si l'on met en môme temps {v — a) \ [a - Oo) au lieu de v— 0^, les relations (18) donneront

^ = [cos!poCos(<T — ^o) — cos(pcos(0 — $0 — I)] sin((' — a) + [cos9osin(o- — 9o)— sin(0 — 0^ — T)]cos{v — a),

^'-zz: [sin((T— 0o) — C0S9 siri(ô — 00 — F)] sin((' — 0-) (19) \

+ [— cos((T— 0o) -+- cos(0 — 00^ F)] cos(r— (t),

51= [ — sin9o cos((7 — Oo) + sin9] sin(p — a) + [— sin9o sin(o- — d^)] cos(p — a).

TRANSFORMATION DE HANSEN. ^6g

On va profiter de l'indétermination de F, donc de Ô — 0^ — T, de manière que, pour toutes les valeurs dev — a, on ait

A et A' étant des quantités indépendantes de v — a.

Si l'on se reporte aux expressions (19), les conditions (20) donneront

cos(poCos((7 — 0o) — cos9cos(0 -Oo—T)— A[sin9 — sin9oCOs((T — ^o)], COS90 sin((7 — do) — sin(0 — Oq — T) =:— Asin9o sin((T — Oq),

sin((T — 0o) — COS9 sin (0 — 00 — T) = A'[sin9 — sin9oCos((T— 0o)],

— cos(a- — ^o) ^- cos{9 — dç,— T) =-— A'sin9oSin((T— 9o).

On tire de là deux valeurs de sin(ô — ôo — F); en les égalant, on aura une équation de premier degré entre A et A'; on fera de même pour cos(0 — Go — F). On trouve ainsi

sin(9 — 00— F) = (cos9o-i- Asin9o) sin (o- — 6^), cos(0— 00— F) = cos(o- — Oo) — A'sin9o sin (a — O,,),

A sin9o COS9 sin(<7 — Oq) h- A'[sin9 — sin9oCos(o- — 0^)]

=: (i — COS90 COS9) sin((T — Oq), A [sin 9 — sin9o cos (cr— d^)] — A' sin9oCOS9 sin (a— Oq)

~ (COS9o — COS9) COS(«T — 60).

L'élimination de A entre les deux équations (22) donne

(23) A'=sin9sin(a.-0o)r- ^ 7 co^^o ^0^9 - siny» sin9 cos(cr- 0o)

^ [sm9 — sin9ocos((7 — 0o)] +sin2 9oCos''9sin'''((T — Ôo)

le dénominateur de cette expression peut s'écrire

(sin2 9o--sin2 9ocos» cos2((t — 0o) — 2 sin 90 sin 9 cos (o- — Ôq) + &in^9 -+- sin2 9o COS29 = [i — sin9o sin9 cos((t — 9o)Y — cos^9o cos ^9;

sous cette forme, on voit qu'il est divisible par le numérateur, et il reste seulement

. , sin9 sin((7 — Oq)

en posant

x = i H- COS 9o cos 9 — sin 9o sin 9 cos (a — ^o)'

Portons cette valeur de A' dans la première des équations (22), et supprimons

le facteur sin(a-— Oo); nous trouverons

xAsin^oCostp =1 — cos-9oCos*(p — sin^ç + sin9o cosçosincp COS9 cos{a— 9q),

. sin <Prt cos 9 -+- cos 90 sin 9 cos {a — 6^)

En substituant ces valeurs de A et A' dans les formules (21), on obtient

(cos9o-i- C0S9) sin((T — 0n)

sin{d—do—T) =

cos(9 — d p— (^ + CQS9o<^QS9)cos(q-— gp) —sin 90 sin 9

et l'on vérifie sans peine que l'on a

sin2(9 — 00 — T) +cos2(ô - 00— T) = I ;

les conditions (20) sont donc bien remplies.

Voici l'ensemble des formules qui résolvent la question :

(e) X -— I -}- COS90COS9 — sin 9o sin 9 cos (a — Oq),

(/) 5— sin9sin(p — a) — sin9o sin(p — Ôq);

\ cos B sin (L —Oq — T) = cos9oSin(p' — 9o) — - [sin 90 cos 9 + cos 90 sin 9 cos (a — Oq)],

1 cosBcos(L — Ôq- T) = cos(p — 9o)h — sin9 sin(o-— 0o)>

1 sinB =sin9oSin(p — ^0)4- 5;

,Q Q p. (cos9n+cos9)sin((r— 0o)^

(i H- coscp„cos9) cos(o- — 0n) — sin9oSincp

cos(9 — 00 — r) =

Du.

On calculera F par l'une ou l'autre des formules

Le but cherché est atteint, car on pourra construire trois Tables donnant les valeurs des premières parties des seconds membres des formules {g), savoir coscpo sin(ç' — 60), cos(^ — Oo) et sinÇo^j^(^ — Oq); on entrera dans ces Tables avec l'argument (^ — Oo; les parties complémentaires des seconds membres des formules {g) sont petites, car elles contiennent en facteur la quantité s qui est de l'ordre dem'sincpo? en effet, si l'on supposaitm' = o, on aurait <p = Ço» a' = cro = Oo et la relation (/) donnerait 5 = o ; a — Oo est de l'ordre de m'. La valeur (e) de

X est égale à

I + COS90 COS9 — sin9oSin9 = i + cos(9o + 9),

en négligeant m'^; en négligeant^', on peut prendrex= i -h cos2cpo = 2cos'^cpo-

TRANSFOKMATION DE HANSEN. 4?!

On verra d'ailleurs dans un moment que F est de l'ordre de m"^; si donc on peut laisser de côté les termes en m'^, ce qui arrivera souvent, les formules (^) pourront être réduites à

IcosB sin(L — Oq) = coscpoSin((^ — 9q) — «tangtpo, cosBcos(L — 0o) = cos(p — 0o).

sinB := sincpo sin(p — 9o) + *;

ayant construit les trois Tables dont on a parlé, il suffira de calculer dans chaque cas la petite quantité ^et l'on obtiendra ainsi, avec la plus grande facilité, LetB.

205. Dans le cas général où l'on conserve les formules (g), Hansen trouve encore le moyen de présenter les résultats précédents sous une forme plus simple en introduisant deux quantités auxiliaires P et Q au lieu de cp et cr, par les formules

P = sincp sin(or — ôo);

Q =r sincp cos((T — 9q) — sincpo;

P et Q seront de l'ordre de m' sin Ço- L'expression (/) de s donnera, en y remplaçant V — a par (^ — Ôq — (a— Go),

s = [sin 9 cos (a — Ôq) — sin9o]sin((^ — 9o) — sincp sin(<T-- 9^) co^(^— 9o'\ ou bien

(0 s=Qsin{i'~9o) — Pcos{v—9o).

La valeur (e) de x pourra du reste s'écrire

X = 1 + COS90COS9 — sin(po(Q -+■ sinço), {m) X = coscpo (cos<po + cos9) — Q sincpo-

On aura ensuite

sincpocoscp 4- côS9oSin9 cos((t — 9q) = sin9oCOS9 + cos9o(Q + sin9o)

— ^[cos9o(cos9oH-cos9) -Qsm9o] H ^^=xlang9o ' ^

cos9o^ "-'"■' COS90 °'" cos9c

de sorte que les formules (g) pourront s'écrire

l cosBsin(L — 00— r) = cos9osin(p — 9o) — 5(tang9„H — ),

^"^ j cosBcos(L — 5o— r)= cos{i^ — 9a)+s^,

1 sinB = sin9o sin(p — 0o) -f-5,

Calculons -^ et ^ en partant des relations {k); nous trouverons

/ I -^ =cos9Sin(o- — 0o) ^ +sin9Cos((T— 0o)^'

2^ [ -^==cos9COs((T-9o)^ ~sin9 sin(CT-0o)^j

d'où, en remplaçant -^ par cosç -^ et -^) -7- par leurs valeurs (û?),

l -77 = — «'' sin(p — Qa)yy coscp, (o) / ' ^

! -^=— -^^'"COsCp — 0o) Wcoscp.

Il nous reste à faire connaître une expression remarquable donnée par Hansen pour la quantité F. On tire des formules (A)

tanff(0 — 9— r)= (cos9o+cas9)sin(o- — 0o)

(1 H- coscpocos?) cos(o- — 60) — sincpoSin9' en dififérentiant et réduisant, il vient

dQ ' ^r [J + COS90COS9 — sin9osin9cos(a — 9o)] (coscpo-^ COS9) -^ +sin9oSin(!T — 0o) ^ dt dt [i -H COS90COS9 — sin9oSin9 cos(o-— 0o)]^ '

il y a. un facteur commun que Ton peut supprimer; on peut aussi remplacer

dt pt il Pn rpcn Ifp

coscp dt

par -V- et il en résulte

■T rrkc m Ht

dY sincp — sincp„cos(cr — 0n) . da . . , r. . do

^' -di = œ"^^ '^" ^ ^ - ^^" ^» ^^" (^ - ^« ) i-

Portons dans cette équation les valeurs de -^ et -^ tirées des formules (20) et il viendra, après réduction,

ou simplement, en vertu des relations (k),

^dP dQ

dT ^ dt dt

^'^ dt XCOS9

Si Ton remplace -^ et ~ par leurs valeurs (o), on trouve

dr /w', Qsin((' — 0J -Pcos(i'— 0„) „,

al IX X '

OU bien, à cause de la relation (/),

Clt [X -x.

Cette expression est de l'ordre de m-, à cause des deux facteurs — et ^; il

résulte d'ailleurs des formules (A) que, pour / = o, on a T == o. Donc T est une très petite quantité de l'ordre de m"^ : elle est aussi du second ordre par rapport aux inclinaisons. On pourra écrire

En négligeant m'\ cela se réduit à