h ecostv
on obtiendra les points de la branche considérée en supposant que mp varie de — (tx — arccos- J à + (tt — arccos- J; toutes les valeurs de r seront positives.
MOUVEMENT HYPERBOLIQUE. Il5
Cela posé, pour obtenir les formules du mouvement hyperbolique, nous pouvons partir de celles du mouvement elliptique
u — eswiu r=r -î— ^ {t — t), a\a
r =^a{i — e cosu),
et nous les transformerons en posant
a 1= — ai, a r-
a^ désignant une quantité positive et m, une quantité réelle. Soit E la base des logarithmes népériens; nous aurons
SinM:=: , C0SM:=
2 sj — I 2
tang
et il en résultera, en choisissant convenablement le signe du radical qui figure dans tang- ,
E". — E-». i/fu ,
w e H- I E"i — I tang — =: 4 / =; — —
On peut introduire, au lieu de w,, une variable auxiliaire § définie par la formule
d'où
E«. rotang. , ,
E". + E-». = -^ , E»> — E-». = 2 lang#.
si l'on introduit en outre la quantité auxiliaire r<, = 4 /-Ç et s^cnr — /i,t,
I l6 CHAPITRE VI.
on trouvera, en partant des formules (c'), cet ensemble de relations
e tang^ — log tang (y + - j = w, ^ + s — gt,
\cos#
v — rn /e -+-1 §
tang — ^^ ^ \/ - — ;■ tang - ,
X = r [cosi9cos(p — 9) — sin 9sin(p— B) coscp], y = r [sin Qq.os{v — B) + cos9sin((' — B) COS9], \ ^=/-sin(p — 0) sin©.
La seconde de ces formules permettra de calculer l'inconnue auxiliaire § qui remplace l'anomalie excentrique; on obtiendra ainsi les coordonnées rectangulaires héliocentriques exprimées en fonction du temps t et des six éléments hyperboliques 0, cp, xs, e, a,, z.
38. Détermination des éléments du mouvement elliptique d'une planète, connaissant la position et la vitesse de la planète à un moment donné ^o- — Cette question se présente très souvent en Astronomie. Soient •3^0» Jo> ^o> ^0 == v/^J + Jo "+" ^0 l^s coordonnées de la planète à l'époque /<,, et a?J = (-^j> y'^^ i-^\ y z\-=i-j^\ les composantes de sa vitesse
Vo = ^^'^ +y^ -^ -20% au même instant. Commençons par une question accessoire :
Exprimer, à Vaide des éléments du mouvement elliptique y les trois constantes C, C, C" des intégrales des aires, intégrales (A) du n** 29.
On a donc ces formules
, . . .^ dz dv ^, dœ dz ^,, dy dx
^^) ^-y-dt-'ti' ^^'-di-'^dï' ^"^""dt-^dt-
Soit Q le point où la sphère de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du Soleil, est percée par la normale au plan de l'orbite, menée d'un tel côté qu'un observateur placé les pieds en 0 et la tête en Q voie le mouvement de la planète s'effectuer de sa droite vers sa gauche. Je dis qu'on aura, dans tous les cas, en grandeur et en signe, les formules
(39) C^ccos(Qa^), C'=ccos(Q/), C'r= ccos(Q^),
