DETERMINATION DES ELEMENTS DE L ORBITE. II
sinSr",
dt
OÙ c désigne la quantité essentiellement positive v/f[ji/>, qui représente, comme on l'a vu, le double de Taire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur r de la planète.
Il suffira de démontrer l'une des formules (39), la dernière par exemple; soient r" la projection de r sur le plan des ce, y, ^" l'angle que fait r" avec Oar, S" l'aire décrite à partir d'une certaine position par le rayon r"\ on aura
x-=. /•"cosS-", d'où
, dy dx
dt -^ dt
On voit que C" représente ± le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon r", suivant que —rr est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant
que le déplacement de r" s'effectue dans le sens xy, ou dans le sens yx. Mais
S" l'aire S" est la projection de l'aire plane S décrite par r; le rapport -r- est donc
égal au cosinus de l'angle que fait le plan de l'orbite avec le plan des xy, et l'on a, au signe près,
(4o) C" = ccos(Q5).
Or, si l'angle (Q^) est aigu, le mouvement de r" s'effectue dans le sens xy; il s'effectue, au contraire, dans le sens j^ si l'angle (Q-) est obtus; donc C" et cos(Q5) sont toujours de même signe, et la formule (4o) est générale.
Si l'on considère maintenant les triangles sphériques QN^ et QNj, N désignant le nœud ascendant de l'orbite, et si l'on remarque que QN = -> l'application de la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique donne immédiatement
[ cos(Qj7) = siiKp sin9, cos(Q/) — — sincp cosô;
(40 \ on a d'ailleurs
( COS(Q z) =; COS9.
Les formules (39) et (4i) nous fournissent donc les relations chercbées,
^'^^Tt-'-dt-^^" ^f|-/>s^«9sm9, va; < C' = 5-^ X -f- =^ — v^f |jL/? sin <p cosô,
dt dt
^"^""Tt-y^t^ v/fl^cos9.
ii8
Nous allons écrire de nouveau les intégrales (C) du n*' 29, mais sous une forme un peu différente, en remarquant que l'on a identiquement
^,dz dy dx ( dx dy dz\ f dx"^ dy^ dz^\ dr dx
dt dt \ df^ dV- dt^ y dt dt
nous trouverons ainsi
X dr dx
' /' dt dt
Cela posé, les formules (^) et (C,) appliquées à l'époque t^ donnent
1^ C =70-30 — -So/o»
L = -Sq a^Q XqZç^,
ce qui détermine, en fonction des données, les valeurs des six constantes C, C, G", F, F, F"; on aura ensuite
(m) v/f|ji/?sin9sin9 = C, 0"/j(./)sin9 cos6 = — C, y^f ///? ces 9 = C" ,
d'où, sans ambiguïté, les valeurs des quantités/?, <p et 6. La formule (7), appliquée à l'instant t^, donne d'ailleurs
(n) l=,l lo
d'où le demi grand axe a de l'ellipse ; on a ensuite
(o) e^ — i-lp^
ce qui fiait connaître l'excentricité.
Nous appliquerons maintenant les formules (C<) au moments où la planète passe à son périhélie; nous désignerons par X<, Y^, Z, les coordonnées de
