DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DE L ORBITE. II
ce point, et par r, = a (i — e) — sJX] -h YJ -h ZJ la distance périhélie. Nous aurons, à ce moment, ^ = o, puisque r^ est un minimum. La formule (7) donne d'ailleurs
d'où
L^-v;=f,(-;-l)=-fe^
Les formules (C,) donneront donc , , X, F Y, F' Z, F"
Remarquons en passant qu'il résulte de là une représentation géométrique simple des constantes F, F', F''; ces quantités sont, en effet, les projections sur les axes d'une longueur égale à f[ji.e portée sur le grand axe de l'ellipse à partir du foyer 0, dans la direction du centre.
On déduira des formules (42) les cosinus directeurs du rayon mené au périhélie; mais il est préférable d'obtenir la longitude rs du périhélie. Or les formules (d) donnent
— =cos0cos(cT — ô) — sinO sin(cT— 0) costp,
(4^) { -7Î =: sinô C0S(5T — 0) H- cos0sin(cT — 9) COS9,
— = sin(sT — 6) sinç;
en portant les valeurs de — et de ^ dans les deux premières formules (42), et
résolvant par rapport aux inconnues e cos(gt — 0) et esin(îïT — 0), il vient
/ f/jLecos(GT— 6')=— Fcosô — F'sinô,
(P) W • / ûx Fsin0 — F'cosô
[ ^ cos©
On aura donc sans ambiguïté e etnr; la valeur ainsi trouvée pour e devra coïncider avec celle qu'a donnée la formule (o).
Reste à calculer la longitude moyenne de l'époque, e; on aura, en désignant par Uo l'anomalie excentrique et par Vo la longitude dans l'orbite,
pour t=.t^.
tang -- —K-—- tang
e = CT — /i^o + ( "o — ^ sin Mq ) •
Il n'y a plus qu'à trouver Coî or on tire aisément des trois dernières formules (û?) '
(') \ . , û, — ^oSinô-h rocos9 ^o
/'o sin ( ('o — 0) = = -^— »
( cos(|) sincp
ce qui donnera ç^o et aussi To qui est déjà connu.
Les formules (/), (m), (/i), (o), (/?), (^), (r) font connaître les valeurs des éléments cherchés, a, e, (p, G, cr, £.
La solution obtenue ne laisse rien à désirer au point de vue de la rigueur; il est possible d'abréger les calculs numériques et d'obtenir des vérifications des calculs, autres que celles que nous avons indiquées ; mais nous n'insisterons pas.
39. Détermination des éléments du mouvement parabolique d'une comète, connaissant la position et la vitesse de la comète à un moment donné <o- — Les données devront vérifier la relation
Les formules (/) et (m) détermineront sans ambiguïté les éléments ©, 6 et
On trouvera de même cr sans ambiguïté par les formules que l'on déduit de (/?), en y faisant e = i , savoir
{ ffjt cos(cT— 6) =:— Fcosô — F'sinô,
kP\) W • / ûx ^ sinô — F'cos^
/ ta sin(Gj — &) = ;
\ coscp
si coscp est petit, on pourra, pour avoir plus de précision, calculer par la formule
F" (/>2) f/jisin(nj — 5) — —
sin^
HODOGRAPHE. 121
qui se déduit de la dernière des relations (4^)> en y remplaçant — par
Les formules (r) donneront v^^, après quoi on tirera de la première des formules (g)
le problème sera donc résolu par l'ensemble des formules (/), (m\ (/?,) ou(/72), (r)et(;^,;.
