PAR LA MÉTHODE DE JACOBI

~ "^^^^VM— ShU-Â^ ^^^ '^ •'^

41, Ces équations, qui ont été données au n° 28, peuvent s'écrire

d^x d\S dt'' "~ dx'

d^y dV

dt^ ~ dy '

d^z dt^

en posant

'* \Jx^

ce sont les équations différentielles du mouvement d'un point matériel libre, de masse i, la fonction des forces étant représentée par U.

Si nous nous reportons au n^ 7 de l'Introduction, nous voyons qu'il nous suffira de trouver une fonction S de t, x,y, z et de trois constantes arbitraires a^, «2» «3» vérifiant identiquement l'équation

alors on aura, pour déterminer ce, 7, z, les formules suivantes :

r^\ ^S Q ^S o dS ^

Pour trouver plus commodément la fonction S, il convient de remplacera?, j, z par les coordonnées polaires r, ç^, s, rayon vecteur, longitude, latitude, au moyen des formules

(0 iT r^ /-cos^ cos(^i, 7 = /• cos^sinç',, ^=:/-sin5.

On trouve sans peine que l'équation {b) doit être remplacée par la suivante :

Cette dernière ne contenant explicitement ni / ni ^,, nous ferons S, ne renfermant plus explicitement ni ^ ni ^, ; nous aurons

de ~ ""'' dr ^ âr' dp, ~ ^'' ds~~â^

et l'équation (2) deviendra

fd^.y , «1

(4) ( ^ ) + -^ -Zi = -T- + 2a,.

âr J r^ ~ /•

Il nous reste à trouver une solution de cette équation, fonction de r, s, et d'une nouvelle constante arbitraire oc^; nous pouvons faire

\drj ^ r'

s'il est possible de vérifier ces relations, l'équation (4) sera elle-même satisfaite. Or on a

as y * cos-'.v

la première de ces expressions ne dépend que de s, la deuxième que de r; on peut donc prendre

S,=/y/aI-^^^.H-/y/2a,+ ^-^^,-.

Adoptons zéro et r, comme limites inférieures des deux intégrales; nous trouverons, eu égard à la formule (3),

. + 7^ /-.+ ^ -^rf'-+/ y/"?- ^*-