Soient {fig- i
G, G', G" les positions des trois corps à l'époque t\
r= G' G", / = G"G, r"= CG' leurs distances mutuelles;
m, m' , m" les produits de leurs masses par la constante f de l'attraction.
Soient encore
X, y, z les coordonnées de G" par rapport à G' pris pour origine;
ces coordonnées étant comptées parallèlement à trois axes fixes rectangulaires. (*) Lagrange, Œuvres, t. VI.
KECnERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROLS CORPS. T 29
Si Ton forme les équations différentielles des mouvements absolus des points C, C et C", et qu'on retranche deux à deux celles qui correspondent h un même axe, on trouve
/ <Poc , , ,,^ X ( X x' x"\
~dt^ + ('" + '''-^ - ) pi - ^n' (-3 4- p, + p^j -o,
(2 ) S' + ('^^ -^ '''' + '"") "^-3 - '"' (^ + pi + ^^) ^= «'
dC" ^ ' ' r'^ \ I
, dt^ ^ ' ' r"^ \r
On a d'ailleurs
(5) X -^ x' + x" =zo, j- + j'+j''^: o, :; 4- s' -1- 5" =z O.
Quand on aura déterminé les valeurs de x' , y' , z' \ x" ,y\ z" , on connaîtra les mouvements relatifs de C" et C par rapport à G, ce que l'on cherche en xVstronomie, s'il s'agit, par exemple, de déterminer les mouvements de deux planètes C et C" autour du Soleil C ; on n'a introduit £r, y, z que pour avoir des formules symétriques.
Soient a, h, c trois constantes arbitraires; les intégrales des aires seront
'lï - ^>\ ^ ' (.. dz' , dy'\ , / ,, dz" .„ dy"
[mVdt-'dtJ'^m'V'dl-^ IHJ-^Jn/'Y^t-^ "rf^V =" "'' /AN ] i ( dx dz\ I / , dx' , dz'\ I / „dx" „ dz"\ ,
I 1 / dy dx\ I / , dy' ,dx'\ i ( „ dy" „ dx"
On le vérifie en différentiant, remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs tirées de (i), (2), (3), et avant égard à (5).
l3o CHAPITRE Mil.
Posons ensuite
^djc'- dy' dz' „__r/x'- df' dz''^ ,n dx"- dy"- dz"'-
^'^ '' -dl^^dJ^ "^ ^' " '--dI^-^'dF~^~ dï^~' " - ~dt^ ^ ~^ '^~dF
et désignons par h une constante arbitraire; l'intégrale des forces vives sera
(8) \ Y + -^, —i{ni + m' ^m")(
m" \mr m' r' . m" r
on le vérifie de la même manière que pour les intégrales des aires.
Si l'on tient compte des relations (5), on voit que la solution du problème dépeud de six inconnues qui doivent être déterminées en partant d'un système de six équations difFérentielles simultanées du second ordre; on connaît les quatre intégrales (G) et (8); il en resterait huit à trouver.
43. Lagrange décompose le problème en deux autres : il cherche d'abord à déterminer en fonction du temps les côtés du triangle formé par les trois corps; en supposant cette question résolue, il lui reste à fixer la position du plan du triangle, et l'orientation du triangle dan^ ce plan. Il introduit les notations suivantes :
(9) TTï - jji --^ q, y.7,i ~ -, ^ g', -, - ^,3 = q",
d'où ces identités
Soit encore posé
(il) —p = a:'a:"-hyy'-hz'z", - p' = x" œ + y" y -\- z" z, — p" = xx' + yy' -\- zz' ; on en conclut, en tenant compte de (5),
(13) pz=z , p'= , p"—
Si l'on difïérentie deux fois l'expression (4) de r\ on trouve, à cause de (7),
L ^1l1 — f^^ ^''/ ^^^^ 2 dt- ~~ "^ ~di^ '^ ^' ~diF '^ ^ W^
d'où, en remplaçant dans le second membre les dérivées secondes par leurs
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PRORLÈME DES TROIS CORPS. l3[
valeurs (i ), ot tenant compte de (i i) et (J2),
d'après (9), les coefficients de rnp' et de mp" dans le second membre sont égaux respectivement à — In^j' et ^-h^q". On aura donc ainsi
/ I d^ r^ m -+- m' -+- ni" ■
Ces équations font connaître les valeurs de ir, u'-, u'"^, en fonction de r, r' , r", et des dérivées premières et secondes de ces quantités par rapport au temps. On en conclut
m m' ni" ^ 2 m dt^ 2 ni' dt^ 2 m" dt-
\mr m r m r )
OU bien, en ayant égard à (8),
I f/^ fr'- r"- r"'\ . . .,, / i i i
2 dp \ni ni ni" J \nu- m 1 ni' r" J
Cette formule coïncide avec la formule (10) du n" 15 lorsque, dans cette dernière, le nombre des corps se réduit à trois : c'est l'une des équations fondamentales du Mémoire de Lagrange.
