TOME I

1. Équation générale de la Dynamique. — En combinant le principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a pu condenser en une seule équation symbolique les équations du mouvement d'un système quelconque de points matériels soumis tous, ou quelques-uns seulement, à des forces données.

Cette équation est

ou encore

iT, y, z désignent les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque du système; m sa masse; X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la résultante des forces directement appliquées à ce point. Cette équation (i) doit avoir lieu pour tous les systèmes de valeurs des variations infiniment petites ^a:^ Sy, Bz, ... des coordonnées œ, y, z, ... compatibles avec les liaisons du système; dans cette même équation, le ^ du premier membre s'étend à tous les

points du système, et celui du second seulement à ceux de ces points auxquels des forces sont appliquées.

Les liaisons seront représentées par un certain nombre d'équations, telles que

Les variations Sa?, fy, ... devront vérifier les équations suivantes

dos dy

-^ Ôjc -{- -^ èy -h . . . = o, ôx dy "^

obtenues en différentiant les équations (2) par rapport à la caractéristique S sans faire varier le temps t.

On sait comment, en introduisant les facteurs indéterminés de Lagrange, on tire de ce qui précède les équations différentielles du mouvement des divers points du système.

Nous allons transformer l'équation (i) de manière à en déduire le principe d'Hamilton.

2. Principe d'Hamilton. — Soit, dans le système considéré, n le nombre des points matériels et, par suite, 3/ile nombre des coordonnées oc, y, ...; si "^n — k désigne le nombre des équations (2) de liaison, on pourra tirer de ces équations les valeurs de S/i — ^ coordonnées en fonction de t et des k autres qui pourront être considérées comme des variables indépendantes; pour plus de symétrie, on pourra dire que, en partant des équations (2), il est possible d'exprimer toutes les coordonnées en fonction de ^ et de X: variables indépendantes q^y ^2» ..-, qk''> on aura, par exemple,

x — Y{t, quqi, ..., qk)'

Les variations infiniment petites S^<, ^q^, ..., ^qk pourront être absolument quelconques; quant aux variations ^x, §y, qui figurent dans l'équation (i), on les calculera ensuite par des équations analogues à la suivante

obtenues en différentiant l'expression de x par rapport à la caractéristique S sans faire varier le temps.

Pour arriver au principe d'Hamilton, nous allons considérer les ^i, qui

peuvent être quelconques, comme des fonctions de t, fonctions arbitraires, mais infiniment petites; en partant de là, nous transformerons l'équation (i); les §07, §j, ... seront des fonctions de t déterminées par les formules (3), et nous pourrons écrire

d^x ^ d ( dx ^ \ dx dàx

~d^ ^ ~~dt \di ^ )~~dt dt '

Pour une valeur donnée de t, quand on change a? en ^+ ^x, il en résulte dans

dx 11 ^5» dx I

-jj le changement 0-7-; on aura donc

^dx d{x -{- dx) dx

OU bien

on en conclut

dt dt dt

dèx ^dx

dt ~~ 'dt'

dx dèx dx ^dx , ^f dx\^

Tt dt ~~ "di 'dt'~^ \dt ) ^

et l'expression de -^ ^x devient

De cette équation et des équations analogues concernant j, z, x\ ..., on déduit

On voit s'introduire dans cette équation la demi-force vive du système; nous la représenterons par T :

Si nous posons

(7) Y^{y.hx-r\hy + Zdz)^W,

l'équation (i) donnera, en ayant égard aux formules (5), (6) et (7),

Le second membre de cette équation ne contient plus rien qui se rapporte au

système de coordonnées employé, carT = - ^mi>^ n'en dépend pas, et il en est

ainsi de U' qui, par sa définition même, représente la somme des travaux des forces pour le déplacement virtuel caractérisé par ^œ, ^y, ....

Il en est de même aussi du premier membre de l'équation (8), car l'expression

div 5, dy ^ ds ^ dt dt -^ dt

représente le produit de la vitesse ('du point M parla projection, sur la direction de cette vitesse, du déplacement virtuel h du même point M {h a pour projections sur les axes ^x, Sj, 5s).

Multiplions l'équation (8) par dt et intégrons entre ^o et /, deux valeurs quelconques de t', nous trouverons

où le premier membre représente la différence des valeurs que prend, pour

t = tf^ et ^ = ^, , l'expression ^^-^i-^^^ ^-j:^y -^ -j:^^]'

dt dt '^ dt ^ Si nous imposons aux variations ^qi la condition de s'annuler pour / — ^0 et /=/,, il en sera de même des variations ^a?, oy ot l'équation (9) donnera

(10) f (0Ï+ U')ar/ — o;

cette formule constitue ce qu'on appelle \t principe d'Hamilton.

Dans un cas très général, il est permis de simplifier l'équation (10) : c'est le cas où il existe une/onction des forces U, c'est-à-dire où l'on a

" dx ~ dx'"

Zrr:

Jz'

la fonction U est supposée ne dépendre que des coordonnées oc, y, z, x', ... des divers points du système et du temps t qui peut y figurer explicitement.

En se reportant à la définition de U', on trouvera

et l'équation (lo) s'écrira j^

ou, plus simplement,

(II) à f {T -hl])dt — o;

ainsi la variation de l'intégrale / (T + \])dt doit être nulle.

Nous supposerons désormais l'existence d'une fonction des forces, de la nature indiquée, ce qui se trouvera réalisé dans les applications à l'Astronomie dont nous aurons à nous occuper.

3. Equations de Lagrange. — Le principe d'Hamilton se prête très facilement à la transformation des équations différentielles du mouvement d'un système, lorsqu'au lieu des coordonnées rectangulaires on introduit d'autres variables pour déterminer les positions des divers points du système.

Supposons que, à l'aide des équations de liaison (2), on ait exprimé les coordonnées 07, y, s, x', ... de tous les points du système en fonction de t et des k variables indépendantes y,, ^2» •••' Çk- Posons d'une manière générale

df/i

l'expression (6) de T prouve que cette quantité deviendra une fonction de /, de

Çi, q.2^ '--^ Çk et de g\, q\y ..., qj^\ U ne dépendra que de / et de y,, q^ qJ^. On

sait qu'en différentiant par rapport à la caractéristique Z on doit regarder comme constant le temps qui figure explicitement dans les équations de liaison ; on aura donc

puis

en portant ces expressions de SU et de ST dans (i i), il viendra

i\{w.-^w^'''-^--^{w.^wù''']

or on a

ou bien, en intégrant par parties,

"HS)

hqi dt.

Mais, puisque les variations Iq^ sont supposées nulles pour / = ^^ et pour t = t^, il vient

et l'équation (i3) peut s'écrire

àq'i)

àqtdt,

■«/'iP-i^-^-^^^^— [

""[dq'J ^(T + U)

àqk

â^yt ( c/i =: G.

Cette équation doit avoir lieu quelles que soient les variations infiniment petites ^q^, 2^2' ••• qui sont indépendantes les unes des autres; on en conclut que l'on doit avoir identiquement

àqx dqi ~ '

\dq'J ÔT d\}

àq^ àq^

dq\.) d'\ d\]

dt dqk àqk ~ '

car, si ces quantités n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait donner aux

variations Sg,, ^q.^, ••• des signes tels que, pour toutes les valeurs de / comprises entre t^ et /,, chacune des expressions

L dt dqt J

^qi

soit constamment positive, et alors, tous les éléments de l'intégrale (i4) ayant le même signe, cette intégrale ne pourrait pas être nulle.

Les équations (r5) sont dites équations de Lagrange; elles ont été données pour la première fois par ce grand géomètre.

On voit donc qu'aussitôt que, dans les problèmes de Dynamique considérés, on a fixé le choix des variables indépendantes à l'aide desquelles on peut exprimer les coordonnées de tous les points du système, on est à même de former sans élimination, par un calcul élégant et facile, les équations différentielles propres à déterminer les variables introduites.

4. Forme canonique d'Hamilton. — Nous considérons maintenant les problèmes de Dynamique dans lesquels les liaisons sont indépendantes du temps; nous admettons toujours qu'il existe une fonction des forces, dépendant seulement, comme nous l'avons dit, des coordonnées des divers points, et pouvant contenir explicitement le temps.

Soient ^<, q.^,, ..., q^ les variables indépendantes à l'aide desquelles on peut exprimer les coordonnées de tous les points ; on aura, puisque les liaisons sont indépendantes du temps, des expressions de cette forme

X — V{qr, q^, ..., q^),

y = ^{q\y qi, •■•, qk),

d'où, en représentant comme précédemment par q\ la dérivée -^j

dx , d¥ , dÇ , d¥

dy , d<b , d^b , d^

En portant ces valeurs dans

on trouvera un résultat de cette forme

+ A2,2q'i +'^Ai,iq'^q'^ + ... + iki,kq'iq'k

+ kk,kq'k-

On voit que T est une fonction homogène et du second degré des variables q' \ les coefficients A,,,, A,, 2, ••• sont des fonctions des variables q ne contenant pas le temps explicitement.

Les variables q seront déterminées par k équations différentielles, telles que

^^' dt dqt" dqt'

quand, après avoir formé la dérivée partielle (-<-,p on remplacera ^', , q.^, ... respectivement par -^y -—? •••) on voit que l'équation (17) sera une équation

différentielle du second ordre. Le problème dépendra donc de l'intégration de k équations différentielles simultanées du second ordre.

Nous allons actuellement faire un nouveau changement de variables en posant

nous remplacerons les k variables q'- par les k nouvelles variables/?,. Si l'on tient compte de (16), les équations (18) pourront s'écrire

( Pi = A,,i^'i+ A,,,^; +. . . + A,,A^'^., (19) 1 A = A,,29'', + Aa.a^'j +. . .-+- Aj,;^.^/,,

En résolvant ces k équations du premier degré, on aura les valeurs de q\, q\, ..., q^ en fonction de/7,,7?2» -"^Pk et de q^, q., ..., qk, et si l'on reporte ces valeurs dans (16), on trouvera un résultat de la forme

/ 2T — Bi,,/>J+ 2B,,,/j,/?2 4-. . .-f-2B,,;t/?i/?>t

.g/v I + 82,2/^2 +---+2B2,^/?2/'yt

où les coefficients B,,,, B,^2» ••• seront des fonctions de q^^ q.,y ..., qk.

Quant à la fonction U, elle ne changera pas, puisqu'elle est supposée ne pas contenir les variables q' .

T, qui était d'abord une fonction des variables qi^iq-, devient maintenant une fonction des variables ^/et/j,; d'après ce qu'on a dit plus haut, qi n'entre pas de la même manière dans les deux expressions de T; il convient de désigner

par y- la dérivée partielle de T prise dans l'hypothèse des variables y, et q'i\

la dérivée prise dans l'hypothèse des variables y,- et/?, sera représentée simple-

ment par -j--^ ,

L'équation (17 ), en ayant égard à (18), s'écrira donc

On aura, pour la différentielle totale de T prise dans le premier cas.

et, pour la même différentielle totale prise dans le second cas.

Ad. dqi ^ .dpi

On a enfin, en appliquant le théorème des fonctions homogènes à T,

àq'i ou bien

En retranchant de cette équation l'équation (21), il vient

lO INTRODUCTION.

et, en comparant les deux expressions (22) et (24) de dT, on trouve

[àq^l

àqi

dp/'

cette dernière équation peut s'écrire

dqi dt

~ àpi

On tire,

reste,

et (25),

dpî dt

dqi

àqi

En donnant à i les valeurs i, 2, ..., ^, les équations (26) et (27) présentent le résultat cherché sous la forme de 2k équations différentielles simultanées du premier ordre, d'aspect très simple.

Mais on peut obtenir encore plus de symétrie en introduisant une notation spéciale pour représenter la différence ï — U et posant

H=rT — U;

si l'on remarque que, par hypothèse, U ne contient pas les variables pi, on voit que

àn âT^

âpi ~ dpi

On a, du reste,

àn dT__dV^

dqi "~ dqi dqi'

et les formules (26) et (27) deviendront le type des équations du groupe suivant :

1 dq, \ dt

dpy

dt ~

àqx

l dq,

~^ àpi

dp^ __ dt ~~

àqi

dqk

\ dt

dpk

dt ~~

àqk

Il résulte de là que la résolution d'un problème quelconque de Dynamique

(avec les restrictions énoncées) se ramène à l'intégration d'un système de ik équations différentielles simultanées du premier ordre dans lequel les variables sont conjuguées deux à deux ; la dérivée de l'une quelconque des variables par rapport au temps est égale à la dérivée partielle d'une même fonction H, prise par rapport à la variable conjuguée, ou à cette dérivée changée de signe. Ces équations (28) sont dites ramenées à la forme canonique.

5. Théorème d'Hamilton. — Supposons que l'on ait intégré les ik équations différentielles simultanées (28); on aura donc exprimé les variables qi et Pi en fonction de / et de ik constantes arbitraires c,, c.,, ..., Cg/t; on pourra exprimer de la même manière la fonction H. Cherchons, dans cette supposition,

la dérivée partielle ^; nous aurons

àcr

(?H dp, dR dp,

ôpi âCi âpi Oci

^ dR dpk

dpk àci

dR dq, ^ dR dq, ^

dqi dCi dq, dCi

ÔR dqk

dqk dCi

ou bien, en tenant compte des équations (28),

dR dq^ dpi dq, dp, dqk dpk

dCi dt dci dl dci ' ' ' dt dci

dpi dqi dp2 dq, dpk dqk

dt dCi dt dci ' ' ' dt dci

ce que l'on peut encore écrire

^H d / dqi dq^ , dqk

n Y' dt

dci~ dCi\' dt ' "^^ dt ^" dt

d ( dqi dq, dqk

-dtV^^,''-P-^-dt,-^---^P'-d^i

ou encore, à cause de la relation (23),

dR idT d ( dqx dq, dqk

^•- 'd^~dt\P'd^t'^P'-'dr,'^--'^P'dci

On en tire, en remplaçant H par T — U,

d(T + U) d ( dqi dq, dqk\.

de, -d-t[P^d^,-^P'd^-^---^P'-d^J'

Multiplions cette équation par dt et intégrons entre les limites /« et t, /„ étant

supposé indépendant des constantes c,; nous trouverons

les indices t^ et t placés au-dessous des parenthèses indiquant qu'il faut y remplacer i successivement par ^ et ^o- Posons

cette fonction a été appelée par Hamilton Jonction principale; elle est, d'après ce qui précède, exprimée à l'aide de t et des -ik constantes arbitraires c, , Ca. '■■■, Ci, ..., C2A. Donnons à ces constantes des variations infiniment petites 5q indépendantes les unes des autres ; désignons par Iqi et oS les variations correspondantes de qi et de S ; nous aurons

aCi dc.2 dài oc^k

0^,=:^ÔC.-i-^-ÔC, +

ùg

Désignons par (pi)o, {Çi)o* {^9i)o ce que deviennent les expressions de/;,, ^, et oqi quand on y fait i = ^0 i si nous multiplions l'équation (29) par ôc^ et si, attribuant à l'indice i les valeurs i, 2, ..., 2k, nous faisons la somme des équations obtenues, nous trouverons

(31) oS=piOqi'rPièqi + . . .+ /^A-â^A— (/?! )o(â<?i )o — (7^2)0(0^2)0 — • • • ~ (/'a)o(%a)o •

S était d'abord, comme nous l'avons dit, une fonction de / et des 2k constantes arbitraires; or, en désignant par *(, une certaine fonction de / et des constantes, on a

(32) qr—Kiit, Cl, Co, . . ., cu),

d'où l'on déduit

(33) {qi)o — Ki{io, Ci, Ci, ...,cu).

On a k équations telles que (32) et k telles que (33); on en peut tirer les valeurs des 2k constantes c,, c.^, ..., Cja en fonction de t, /„, y,, q.,, ..., q,, et de

INTRODUCTION. l3

($'()o» (^2)0' •••' (^a)o <^t les reporter dans S, qui deviendra une fonction des mêmes quantités; on aura donc, en remarquant que dan&J,Q'»aleuLde §S on ne

doit faire varier ni ^ ni t^, /^^ or thi ^r\

UNIVERSITÏ 1

En comparant les expressions (3j) et (34) de (5S, on trouve

.„,. , as , as , , as , ,

On peut maintenant, si l'on veut, regarder les 2^ quantités (ç'Oo» (72)0. •••' (^/f)o» (/^))o' (/'2)o' •••» (/^/f)o comme de nouvelles constantes arbitraires pouvant remplacer les anciennes c<, c.,, ..., c^^; alors les 2^ équations (35) et (36) seront les intégrales générales des équations (28). En se plaçant au point de vue spécial du problème de Dynamique considéré, on pourra dire que les équations (36) sont les intégrales de ce problème; car, à elles seules, elles donnent les valeurs de Çi, q.^, ..., ^^et, par suite, les valeurs des coordonnées de tous les points du système exprimées en fonction de t et de ik constantes arbitraires. La forme remarquable sous laquelle se présentent les équations (36) donne lieu au théorème suivant, dû à Hamilton :

Les inlégj'cdes d'un problême de Dynamiqiiey dans lequel les liaisons sont indépendantes du temps et où il existe une fonction des forces indépendante des vitesses^ peuvent toutes s'exprimer en égalant à des constantes les dérivées partielles d'une autre fonction S prise par rapport à d'autres constantes.

D'après la manière dont la fonction S a été introduite, il semble que, pour la connaître, il soit nécessaire d'avoir préalablement résolu le problème proposé; il paraît en effet nécessaire d'exprimer d'abord T -h U en fonction de t et des

ik constantes c,, d'effectuer la quadrature / (T -h \})dt et d'exprimer ensuite

le résultat, en fonction de t, des k variables ^,, q.^, ..., q^ et des k constantes (^Oo» (^'2)0' •••' (Çk)o'^ heureusement, on peut opérer autrement. Hamilton a prouvé, en effet, que cette fonction S vérifie une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Pour le faire voir, remarquons que l'équation (3o) donne

l4 INTRODUCTION.

D'après ce qu'on a dit plus haut, S est une fonction de ty des variables q^ et des constantes (^/)o ; S contient donc le temps explicitement et implicitement, et l'on aura

'di ~ Tt Zà'dqi'di

ou bien, en tenant compte de (35) et (37),

ou encore, en ayant égard à la formule (23),

at Posons comme précédemment H = T — U, et nous aurons

La fonction U ne contient que le temps t et les variables ^,; mais T dépend des variables qt et q\ ou bien des variables qi et/?/; on peut donc écrire l'équation (38) comme il suit :

-j-^-^n{t,qi,q^,...,qi,.',Pi,Pi,...,Pk) — 0,

ou encore, en ayant égard aux formules (35),

as „/ as as as .

as\

On voit donc que la fonction S est une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, dans laquelle figurent les k-\-i variables indépendantes t, q^, q.,, ..., q^-, cette intégrale contient les k constantes (^<)o. (^2)0' •• ' (^a)o' sans compter la constante qu'on peut lui ajouter directement, puisque l'équation (39) ne contient pas S, mais seulement ses dérivées partielles.

Remarque. — L'équation (39) est du second degré par rapport aux dérivées

-r— , -r- > •••'3—; cela est une conséquence des formules (16') et (35).

6. Réciproque de Jacobi. — Il y avait lieu de se demander si, en prenant pour S une intégrale complète quelconque de l'équation (39), on aurait encore les intégrales du mouvement sous la forme remarquable exprimée par les équa-

INTRODUCTION. l5

lions (35) et (36); c'est ce qu'a fait Jacobi en démontrant le beau théorème suivant :

Soit l'équation

(40) -^-f-H=ro,

dans laquelle H = T — \] est une /onction de t et des ik variables q^, q^., ..., qi,^ Pi, Pi, ..., pk', en faisant pi = ^-~, on obtient une équation aux dérivées partielles

Oqt

du premier ordre contenant k -\-\ variables indépendantes t, ^,, q^, ..., qk- Supposons que l'on ait obtenu une intégrale complète S de cette équation, c est-à-dire une solution Jonction de t et des k variables q^ et contenant k constantes arbitraires, a,, aa, ..., a/t, indépendamment de la constante que Von peut toujours ajouter directement à S ; alors les équations

diX2

àçz

dans lesquelles P^, [^2, ..., ^^ désignent k nouvelles constantes ^ seront les intégrales générales du système des ik équations différentielles simultanées

Différentions en effet les équations (40 complètement par rapport au temps: nous aurons

/ dq, ^H \ dt dpx *

dpx dt "

àqx

[ dqk an

^ dt dpk

dpk dt ~

àqk

à'-^ a^S dq, ^2s fi^^ ^2g ^^

doLx dq\

dq\ dt

^2 S dui dq^

dq, dt

^2 S dcf.<, dqi

dqx dt

d(X2 âq^

dq,

âcckdqi

dqi

âockdq^

dq»

âoci dt âoci âqi dt dexi dq^ dt doci dqk dt

rr-S ^2 s fia ^2 s dq. f}2S dq,,

(44) / doi^dt doi^dqx dt dcn^dq-i, dt d/Xiàq^ dt

d'» d^?, dq, a^S dq. ^2 s ^

doi^dt dcckdqi dt dcxkdq^ dt ' dcckdqk dt

Si, dans l'équation (4o). on suppose S remplacé par sa valeur en fonction de t, des variables q^ et des constantes a^, on aura une identité; on peut donc différentier relativement aux constantes a^ ou par rapport aux variables q*^. Fai-

l6 INTRODUCTION.

sons-le d'abord par rapport à a, : nous trouverons

dt dot-i dpi dxi dpi 0<Xi ' ' ' ôpk dci OU bien, en tenant compte de (42),

dt ôoci dpi dqi âcxi dp^ àfjî c'a, ' ' ' âpk dqk àiXi

On trouvera d'autres équations toutes pareilles en différentiant (4o) par rapport à a^, aj, ..., a;t, et l'on pourra écrire cet ensemble d'équations

dt âoii dqi âoci âpi ôq^ doci ôp^ ' dqk doci dpk

^^s ^^s dR (^^s an ^*S dR

(45) { dtdoCi dq^dci dpi dq^dor^ dp^ '" dqkda.^ dp/,

dtd<Xk dq^dxk dpi dq^dcc/- dp^ ••• dqkdo-k dpk

On va comparer ce système d'équations avec le système (44); on sait que l'on a

d^% <^'S dcf-i dt dt doLi

dqidccj doLj dqi^

il en résulte que, si l'on considère, dans les équations (44)» -jr^ -§f-> " '■> -Sr

comme les inconnues et si l'on prend pour inconnues, dans les équations (45),

dH dn dR , ,^ A 7 ' ,' } ■ A ' ^

y-) -^> ■■■■, j-, on aura deux systèmes de k équations du premier degré a

k inconnues. Dans les deux systèmes, les coefticients des inconnues et les termes tous connus seront les mêmes; donc les inconnues correspondantes auront les mêmes valeurs dans les deux systèmes. On en conclut, d'une manière générale,

^^^> -Tt- djt^

la première moitié des formules (43) est ainsi démontrée. Partons maintenant de l'équation

dqt

nous en déduirons

dpi d^S ^^S dq^ <)^S dqj, d-'è dq^

dt dqi dt dqi dqi dt dqt dqt dt ' ' ' dqi dqu dt

OU, en ayant égard à (46),

dt ~ dqidt ^ dqidqi dpi ~^ dq^dq^ dp^ "' dqtdqk àpk Or, en différen liant (4o) par rapport k y,, on trouve

ou bien

dt dqi "^ dqt ~^ âpi dqt dpi dqi ' ' ' dpk Ùqi '

d^% (?H a^S d\{ d^% dH

(?^ (?^t dqt dqi dqt âpi '" dqk dqt dpk

en remarquant que (42) donne

dpj d^'è

dqi dqjdqi

En rapprochant cette équation de l'équation (47)» on obtient

dpi <?H

dt dqt'

donc la seconde moitié des formules (43) est démontrée.

On voit donc que les équations (40 et (42), qui déterminent les 2k variables Pi et qi en fonction de t et des ik constantes arbitraires oli et [5J/, sont bien les intégrales générales des équations différentielles simultanées (43).

Remarque. — Les équations (4i) déterminent ^,, q., ... et, par suite, les coordonnées de tous les points du système en fonction de t et des 2k constantes arbitraires; elles suffisent à résoudre le problème proposé. Les équations (42) déterminent ensuite les inconnues auxiliaires/?,, p.,, ...; on les appelle m/egrales intermédiaires.

Tout problème de Dynamique dans lequel les liaisons sont indépendantes du temps et où il existe une fonction des forces (pouvant contenir le temps explicitement) se ramène, comme on l'a vu, à un système d'équations différentielles simultanées, tel que (43); on peut donc en conclure que la solution de chacun des problèmes de Dynamique considérés plus haut se ramène à la détermination T. - J. 3

l8 INTRODUCTION.

d'une intégrale complète d'une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Cette équation n'étant pas linéaire, on n'a pas de méthode générale pour en trouver une intégrale complète; on peut néanmoins l'obtenir dans un certain nombre de cas et, par suite, résoudre le problème correspondant, comme nous le montrerons dans la suite de ce Traité.

7. Cas où la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement. — T est déjà supposé ne pas contenir le temps explicitement; il en sera donc de même de H = ï — U, et l'équation aux dérivées partielles sera

En désignant par a une constante, nous poserons (49) S=:-aM-S', •

et nous supposerons que S' ne contienne pas le temps explicitement; on aura

et l'équation (4^) deviendra

(00) «(^"'^-•••''^^'-aY.'ôi^,'---'.^.)"-^"-

s contenant déjà la constante a, il suffira de trouver une solution S' de l'équation (5o) renfermante — i constantes arbitraires a,, y..,, ..., a/,, ; on aura ensuite, en désignant par p,, flo» •••- Pa-i» P» ^ nouvelles constantes arbitraires,

^^ — ft ^^ -r< ^^ — ft

A — — Pi» • • • ' 1 — pA— 1) -^ — P>

ce qui devient, en remplaçant S par sa valeur (49)»

On voit donc qu'on est ramené à la recherche d'une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles contenant k — i variables indépendantes au lieu de k.

Voyons ce que deviennent les résultats ci-dessus dans le cas de n points matériels entièrement libres.

Nous supposons toujours qu'il existe une fonction des forces pouvant contenir

le temps explicitement, mais ne dépendant que des coordonnées des points considérés.

Soient iP/, y,, z^, rrii les coordonnées rectangulaires et la masse de l'un quelconque de ces points; on aura ^n coordonnées et 3/i équations différentielles, telles que

,. - d}yi dU

Soit 2T la somme des forces vives des n points du système; on aura

en posant

dxi

(^ïi

dZi

dt ^

Puisqu'il n'y a pas de liaisons, on pourra prendre .r,, y^, ^, pour les variables q\ on tire de (53)

les variables/? seront donc mix\, rriiy-, rriiZ..

On aura

, d^ , d^ , as '

ox/ ■ âv, àzj

et la formule (53) donnera

l'équation (4o) sera donc, dans le cas actuel,

où U désigne une fonction connue de t et des 3/? variables indépendantes ix^it y if z^.

Pour obtenir les mouvements des n points du système, il suffira donc de trouver une solution S de l'équation (54) aux dérivées partielles contenant le temps /, les 3n coordonnées a?,, y^, z^ et 3n constantes arbitraires a,, ol^, .... a.,^; après quoi, en désignant par [3,, '^.., ..., '^3,,, 3n nouvelles constantes arbitraires, les

intégrales générales seront fournies parles formules les intégrales intermédiaires seront

da^i as dvi as 6?:;/ as

dt dxi dt dyi dt dz/

Si la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement, ce qui arrivera si les points matériels sont soumis seulement à leurs attractions mutuelles, on devra considérer, au lieu de (54), l'équation aux dérivées partielles suivante

îi„U(i!.)+(i)'+(0]="

où a désigne une constante arbitraire, et en trouver une solution S' contenant les 3w variables xi, y,-, z-i et3/i— i constantes arbitraires a,, ol^, ..., 0L^n-\ f^" dehors de la constante a ; les intégrales générales seront

aa, -^" aa\"f^^' •••' â^^, -^^"-" âa-^"^P'

8. Relations de Jacobi. — Nous allons démontrer un théorème qui nous sera utile dans la suite.

Soit S une fonction de n quantités ^,, ^o, ..., ^,( et de w autres a,, aa, ..., a,j; posons

Pï— X"' àq-t

(iqn

^^-aa,'

as aa„

On pourra tirer de ces équations

M, pt, ■■■, Pu^

\qi, q^, ..., q„j

en fonction

et, en portant ces valeurs dans les équations (h), on aura des identités que l'on pourra différentier par rapport à l'une quelconque des quantités a et ^. On pourra tirer aussi des formules {a) et (^)

/ai, «2, ..., a,A ( pu Pi, />„

en fonction rie \Pi, P2, •• • , P«/ \q,, r/2, 7„

et, en portant ces valeurs dans les équations («), on aura des identités que l'on pourra différentier par rapport à l'une quelconque des quantités/? et q.

Il on résultera, en désignant par i et k deux indices quelconques de la série 1, 2, ..., n, des dérivées partielles, au nombre de /\n^, de l'une de ces formes

âpi dp, dq,- agi ^""^ àoc,/ â^,/ doc,' d^,'

et un second groupe de 4^^ dérivées partielles de la forme

, dc(j, dx,^ d%^ r)j3/,.

dpi' dqi' dpi' dqi'

Les relations suivantes, dues à Jacobi, permettent d'exprimer d'une manière fort simple l'une quelconque des dérivées (c) au moyen de l'une des dérivées {d) ;

^^^ da,- dqc' ^^^ d<^,- dpi'

(f\ ^ -^ (h\ àqi d^u

^^^ d^k- dqt' ^'^ doc,- dpi'

Tel est le théorème qu'il s'agit de démontrer.

Différentions les n équations (a) par rapport à -q-, puis les n équations (b) par rapport à ol,\ nous trouverons

d^S d-?) dot, a^s f)^

dqi dqi dqi da.y dqj dq, dof.^ dqi

(55) \ ^'-s ^îg j^ ^2 S jof,

dqi. dqt dqi doc, dqt dq^ dx^ dqt

d''^ a^S dq, d'-^ dq^

doL, doc, doc, dq, doc, doc, dq^ doc,

(56) <; a^S d'-^ dq, d''% dq.

doc<i doc, doc^ dq, doc, doc^ dq^ doc.

■JZ" +.-.= o,

En multipliant les équations (55) respectivement par —, j^-- , .• et ajoutant, il vient

o— '^'^ 'hl ^-S dq. doc, / a^S dq^ ()^S dq,

dqi dqt doc, dq^dq,- doc, '' dqi\dqidoc, doc, dq^doCi doc,

doc^ / d^'è dq, <)-S dq.

dqi \dq,dc(.i doc, dq^doc^ doc.

ce qui, à cause des formules (56 ), se réduit à

^ r)^S dq, d'^ dq, / ()^S doc, d'S doc,

~ àqidqt doc, dqt dqt doc, '"' \doCi doc, dqi doc^doc, dq,

SI l'on ajoute et si l'on retranche -^ — ^ — > on peut écrire encore

ocf.k\dqiJ dqi\da.,J

OU bien, en ayant égard à (a) et {h),

dpi ^,

c'est la formule {e).

Différentions les n équations {h) par rapport à (3/^; nous aurons

dxi dqi â^/c doci ôqz d^k

()^S dq^ ()^S dq^

dcx.idqi di^k da^dq^ d^k

d^^ dq^ , a^S dq^

dakdqi d(3/.. dcf.kdq^ d^k

Multiplions ces équations (37) respectivement par -r^S Jp^? ••• et ajoutons, il

viendra

do-k dqi / (9^ S f?ai ()^S ^«2

dq^ ( (J^S àoL^ ^*S <?a2

^(3^: \ dcL^ dq^ dqt ôoc^ ôq^ dqt

ce qui, à cause de (55), se réduit à

àqi~ \àqvdqi d^k àq<i.dqi dq^ ■•)— d^,\dqi}' d|3/,'

c'est la formule (/).

Différentions les équations {a) par rapport à/?., nous trouverons

dqx da^ dp, ()qi da^ dpi ' ' '

dq^ ô(Xi dfi âqz da^ dpi • • • - - ^ >

dqt âxi dpi dqt dcK.^ dp.

Multiplions ces équations respectivement par —-, ~> ••• et ajoutons, cela

nous donnera

àq, , ^1 / <^'S dqt â'^S âq.2 \

d^k "" dpi \dqx âoii â^k âq^ âxi â^k '" )

^ àoc./ â'è Oq, ^ (PS àq, ^ \

àpi \àqi dcf.^ d^k àqi àcf.^ â^k J

en vertu des relations (57), cela se réduit à

âqi dcxk d'^k" dpi' c'est la formule {g).

Multiplions enfin les équations (58) respectivement par —-y .— > • ■ • et ajoutons, il viendra

dqi dof.^ ( d^S dqx <)^S dq^

ày.k àpi\dqydai ôak âq^àxi ôock

âx^ f â^S âq, d^S âq^

dpi \dqiâ<x.2 doik dq^ôa^ dcf.k +

ce qui devient, à cause des formules (y^'o).

dqi

d^^ da,

à- S dx2

dpi\da.k) ~~

ào^k

dxidxk àpi

doc^âock dpi

dpc'

c'est la formule (A).

On pourra faire usage des relations {e), (/), {g), (h), quand on aura intégré les équations d'un problème de Dynamique par la méthode de Hamilton-Jacobi; en effet, les conditions (a) et (b) seront bien remplies, S étant une fonction de Çi, q.2* •y Cm ^o «2, ..., a,j et de ^; en prenant les dérivées partielles, on n'aura pas, bien entendu, à se préoccuper de t.

r,n.\ï>ITRE I. — LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE.