DE LA LOT DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE TIRÉE DES OBSERVATIONS

1. Les planètes, dans leurs mouvements autour du Soleil, obéissent aux lois suivantes, que le génie de Kepler a fait jaillir des observations de Tycho-Brahé :

1° Les planètes se meuvent dans des courbes planes et leurs rayons vecteurs décrivent des aires proportionnelles aux temps;

i" Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer;

3° Les carres des durées des révolutions sidérales des planètes autour du Soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Nous allons appliquer aux mouvements des planètes les théorèmes de la Mécanique rationnelle; ces théorèmes reposent sur le principe de V inertie et sur le principe des mouvements relatifs.

D'après la seconde partie du principe de l'inertie, quand un point matériel est en mouvement, si aucune force nagit sur lui, son mouvement est rectiligne et uniforme.

Considérons une planète P dans son mouvement autour du Soleil; ce mouvement n'est pas rectiligne. Donc une force R agit sur elle à chaque instant pour l'éloigner de la ligne droite qu'elle décrirait si elle était absolument libre; nous nous proposons de trouver les lois qui régissent cette force, sa direction et son intensité. Chacune des lois de Kepler va nous fournir, à ce sujet, un renseignement important. Je rappelle d'abord le théorème suivant de la Mécanique rationnelle :

Si la trajectoire d'un mobile est plane et si le rayon vecteur mené du mobile à un point fixe du plan de la trajectoire décrit des aires proportionnelles au temps, la force motrice est constamment dirigée vers ce point fixe.

En appliquant ce théorème à la première loi de Kepler, nous voyons que la force R, que nous savons agir à chaque instant sur la planète P, est constamment dirigée vers le centre S du Soleil. Le théorème des aires, mentionné plus haut, nous apprend seulement que la direction de la force coïncide avec la droite SP ; pour en conclure que la force R est bien dirigée vers le point S et non en sens contraire, il suffit de remarquer que la trajectoire elliptique de la planète tourne sa concavité vers le point S. La force qui éloigne à chaque instant la planète de la tangente à son orbite tend donc à la rapprocher du Soleil : cest une force attractive.

Puisque nous avons affaire à une force centrale, nous pouvons employer l'expression suivante de la force R

m désigne la masse du point matériel P soumis à la force R dirigée constamment vers le centre fixe S; /'la distance SP et ô l'angle XSP que fait le rayon vecteur r avec une droite fixe SX passant par le point S et située dans le plan de la trajectoire; enfin c désigne le double de l'aire décrite par le rayon vecteur SP dans l'unité de temps; dans la formule (i),on a pris 6 comme variable indépendante.

D'après la seconde loi de Kepler, l'orbite de la planète est une ellipse ayant le point S pour foyer. Soient (fig. i) A le point de l'orbite le plus rapproché du

mc^ (

foyer S, point que l'on nomme le périhélie (A', le point le plus éloigné de S, reçoit le nom d'aphélie); on aura

SP = /; XSP = 9.

Soient w l'angle constant XSA, r l'angle ASP, e l'excentricité, p le paramètre de l'orbite, on aura, par un théorème connu de la Géométrie analytique à deux dimensions,