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grand axe de l'ellipse est -■, l'excentricité v/^~~"W ^' ^^ moyen mouve-

ment 7^-

La trajectoire de C" est naturellement une ellipse bomothétique k la précédente.

Pour que les trois corps restent ainsi toujours en ligne droite, il faut d'abord qu'ils aient été placés en ligne droite à l'origine du mouvement; il faut ensuite que les vitesses relatives de C et C" aient été primitivement parallèles, entre elles, et proportionnelles aux distances r\^ et /;,; mais il faut de plus que la condition (66) soit vérifiée.

Supposons, pour fixer les idées, qu'à l'origine le point C se soit trouvé placé entre C et C" ; on aura donc eu

On a d'ailleurs, en faisant A"= i.

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l55

il en résulte donc

Avec les valeurs (5o) de [x et v, et les valeurs ci-dessus de A et A", on trouve aisément que la formule (66) donne, après réduction,

OU, en chassant les dénominateurs et ordonnant,

Cette équation est du cinquième degré; elle n'a qu'une variation : donc elle a une racine positive et une seule.

Si donc, les masses m, m! , m" étant données et pouvant d'ailleurs être quelconques, on place à l'origine les trois corps en ligne droite en Go,C'„, C'^, le point Co étant entre C'^ et C^, si l'on prend

A' désignant la racine positive de l'équation (72), si l'on imprime à C'^, et C'„ des vitesses relatives parallèles qui soient entre elles comme i et A', les trois corps resteront constamment en ligne droite, et l'on aura pendant tout le mouvement

ce - "^ •

Il nous reste un mot à dire sur la détermination des constantes F, x et H, en fonction des données initiales.

Nous prendrons pour ces données : le rayon vecteur initial r„, la valeur initiale u^ de la vitesse relative du corps C et l'angle r\^ que fait cette vitesse avec la droite CoC,,; la formule (68) donne

(73) F = m + in[ + m" \^^^^^ - j^^ on tire de (70)

l56 CHAPITRE VIII.

on a enfin

et, comme (69) donne

dr"

-^ ] — MoCOSTDo,

jl en résulte aisément

(75) H, = (2F-xA-;)A';sin*Yî';;

les formules (73), (74) et (73) résolvent la question. Dans le cas où l'on aurait