RECHERCHES DE LACRANGE SUR LE PRORLÈME DES TROIS CORPS
La quantité a est donc nulle; les formules (36), dans lesquelles S, 2', 2" ne peuvent jamais être négatifs, donnent
il en résulte
ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe. Les trois équations (54) se réduisent à la suivante
où l'on a fait
i fP^ F 2 dt^ ~ ^ ""'
m +- m' -\- m'' -j- m"{(xv — fJi-'v') A" mx, m'x', m"xj
di
Multiplions l'équation (67) par 2^^, intégrons et désignons par H, une constante arbitraire; nous aurons
On trouve ensuite aisément
f! — ff!! — i^— ^ —^
le- ~~ A'^ ~ A^ ~ ^ ''' (70) \ ~^'~ V-' '^ \^' ~ l
on a d'ailleurs
A'K\"^= (^ + fji') (^ + fjL") = p,2 + (^p.'+ ^^a"-f- f^V") = ^' ;
ce qui permet d'écrire aussi
Xifi
XfT"
l54 CHAPITRE YIll.
On trouve, en continuant l'application des formules,
dt
do"
En substituant dans l'équation (D) les valeurs trouvées ci-dessus pour p, w, v! , u", V, v', v", r, r', r", on obtient, toutes réductions faites,
d'où il résulte
\m m ni
(7.) pf = £.f=^. ■ .
On peut prendre, si l'on veut, k"=\, d'où ^ = r"; les formules (69) et (71) donneront donc
r"dr" dL— >
On voit par là que le point C décrit, dans son mouvement relatif, une ellipse ayant pour foyer le point C, et la décrit conformément à la loi des aires; le demi
