TT. — IV
recherches en détail dans les Chapitres XX, XXI et XXII, et c'est la méthode de Hansen que l’on applique aujourd’hui; ce qui la caractérise, c’est le calcul des perturbations des coordonnées en faisant intervenir les dérivées partielles de la fonction perturbatrice relatives à ces coordonnées, et l'emploi de l’anomalie excentrique au lieu de l’anomalie moyenne de la planète troublée; on à recours aussi aux quadratures numériques.
M. Newcomb s’est proposé de développer analytiquement la fonction perturbatrice suivant les cosinus des multiples des anomalies excentriques des deux planètes, en exprimant les coefficients symboliquement à l’aide des éléments de ces planètes. Ce développement converge plus rapidement que l’ancien, parce que le premier coefficient de l'expression de l’anomalie vraie en fonction de l’anomalie excentrique est e, tandis qu’il est 2e quand on considère l’anomalie moyenne. L'emploi des fonctions de Bessel permet ensuite de passer au développement relatif aux anomalies moyennes qui est préférable pour les planètes principales. Nous nous bornerons à exposer les fondements de la méthode de M. Newcomb.
142. Soient r et r’ les rayons vecteurs de la planète troublée et de la planète perturbatrice, V leur angle, s ets’ les distances angulaires des planètes au nœud commun de leurs orbites, y l’inclinaison de ces orbites, R Ia fonction perturbatrice; ona
5 + 7 R=(r?+r?—2rr cos V) *? — — cos V, =
cos V=— cosv cosv/+ sinpsins'cosy, cos V— cos(?'— p) + o?[cos(s'+ pe) — cos(v"—+v)], À I
1 og — Sin — y.
On a donc
(2) R=/ir75 0 V5)
Soient jet f’ les anomalies vraies, n et n’ les anomalies excentriques, w et w’ les distances des périhélies au nœud commun; on a
VE= or Vo He H—/(r Tr, uv fs 6).
En exprimant r et 7’ au moyen des anomalies excentriques, il vient r —a(i—ecosn), r'= a'(1—e'cosn'),
et, d’après le Tome I, p. 222, formule (C),
e E 1 e Pre Jen? a SN 2). 4 14/1 € 2 \i+ÿi—e
Si les excentricités s’annulent, on doit substituer dans R,
na, ['=US É = ins P= 6 + N; V'—=D'4en.
Soient R, et V, ce que deviennent alors R et V; posons, pour abréger,
(3) DO+Nn—S, o'+n—=5}, nous aurons : 2 a RO —(a+a?— 2aa cos V,) ? — 25 cos V,,
cos V, — cos(s'— 5) + o?[cos(s'+ çs) — cos(s'—6ç)]. Soit encore
on aura ne | :
a'(a?+ a'?— 2aa' cos V,;) 2—(1+a—2acosV,) ?
Dr + 1—2X4C0S(ç —ç)+ a —2%02[cos(s+s)—cos(s—s)]l ?.
Faisons Aî—1—2acos(s — 56) + œ?,
et nous aurons
Fo A?— 2@0?[cos(s'+ç)— cos(s — ç)]} ?
a'(a?+ a°— 2aa' cos V;) = At + ao?[cos(s'+ ç) — cos(s/ — çs)] A; 10 ve 7. œo[cos(s'+s)— cos(s'—$s)J?ATS
De æoi[cos(s'+s)—cos(s —s)] AT
On a maintenant
Ar à AU COST ( ç' — e); bE 1) — 0?
On en tire aisément, par des transformations analogues à celles employées
dans le Tome I, Chap. XVIITL, p. 297 et suivantes,
je ] LT ; : .
RO — = D Aïcos(is — ic) — ©
+ B'cos[(t+1)s —(1—:1)s]
(4) Ç | + at D Cicos|(r+2)e —(i— 2)6]
Eee)
+ co
+ D'cos[(i +3)" —(i—3)s]
où les coefficients A/%, ..., D‘ ont les expressions suivantes : ; ; I s à LA bD — = o?« (DE nu A) (bp + LB + bE+2))
of a (bET3) + gb + 9 DEEE DETS)),
F ; x TOR: Fa 5 ; 202 (Bb + pin) Dee ee gas (be 2) 3e ee EP
19 L RES ns Gid (07 Lu DEA),
al I © EI
ob.
L'indice cz s'étend à toutes les valeurs entières, de — æ à + o.
. . — . . , Pour tenir compte de la seconde partie, 7. cos V,, de R(°/, on voit aisément
qu'il faut écrire b) — x, aulieu de b!), Ve, à bi,
(ON PTE (0) b£ a » Die
L'expression précédente de R( peut être mise sous la forme générale
(8) RO — S Sd Apcos(vs + us),
ue
où les indices v et prennent, indépendamment l’un de l’autre, toutes les valeurs entières de — à +. Les quantités A!,, sont des fonctions de et de a et a’: relativement à a et a’, elles sont homogènes et de degré — 1.
