Nous avons RO fe) a
Ru = UP; von, 5).
IL faut donc remplacer dans R(° ce, a'et a
par VV T OL à
Posons p'=logr", B'—loga', d’où
On aura oF(2, a): "oRa;a) OF(a, a) ,,2F(a, a), de ous. EU da! ?
| si la fonction F est une fonction homogène et de degré — 1 de a et de a, la | relation connue
a a + a! 2 +F—o da da!
| donnera OF. dE | Si l’on pose symboliquement
0 L2 LOS Ô D — 08 2 D — 08’ 2 la relation précédente pourra s’écrire
| On a maintenant
p =6 +log(i—ecosn) 6 +®(e,n), pl=8B'+log(1—ecosn')=6B'+®(e',n).
On a d’ailleurs
De + 2 sinn+...—6+Y(e,n), 1+V/1— e (11) un pl ç+ ——— sinn +... = +Wi(e',n').
(12) R = (BP; B', ss’, e,e',n,n', o?).
ra tVr- ce On peut écrire On aura
il en résulte, en désignant par m2, », m' et n’ des nombres entiers positifs quelconques,
d'+n'+ n+n'R d'+ m'+n+nl R
3 a ——— - ; ee (Qi ) de” gr" 0p" dp'" dc" Qc" 06” 06" >.
cette relation exprime un théorème important.
144. Expression générale des dérivées relatives à l’excentricité. Posons
e —— ) 1+\/1— € d’où 2€
Ce D 1+ €?
L'expression de f au moyen de n, donnée à la page 314, donnera
. I £ I £ f—=n+ 2\(esinn + ; © Sin2n + ;esinän +...) On a ensuite lreCONn—I— — COSN —= —— (1 eENT) (1 Env), 1 + e? 1 + €?
logr — loga — log(ri+ e?)+ log (1— sEnv—) + log (1—:E nv), g* ef e?
= loga—(e— À + 3 +...) —a (ecosr + cosan+...); il en résulte
| p—=B— 2e cosn + Ee?(—1— cos2n) + e° (—3c0s3n) + €* (= 2 coshn) (15) (
+ (— coin) He (= 5 = 70086n) +e(-— 2 cos7n ) +...
? as 2 \ P—=çc+2eEsINn + E° sin2n + zesinèn (16) |
I ï he e* sin 4n +
Re 12 pre E e5 sin D n + 3 ef sin6n + = eTsin7n + ....
On a ensuite
OR OR dv. OR ôp Rte, Pin rl, co),
de ia dep dE d0 de’ Rte, en A, ns €, ', B, D a), ou bien, d’après le théorème général,
OR OR 0e | OR d
dE Os de 0B de
Soit posé symboliquement il viendra
on entire OR (& 0"R n dv d0!-1R F4 | denti — S\de der 10e der it nm 2 n— | ce pis n d?p 1R
de O8" ‘ 1 de de
Posons R=RO + RO + RO) +... Her RO) +..., (18) P—P HE HE +... HE p, +..., is DDR EE pad PU eRD M on aura j / An :
de” €E—=0!2 oh) (1 nat ) 9) é dE" Je—0»
En faisant donc € — o dans l’équation (17), il viendra
Di a ST ne à 20):
| + Dép RO + 299 RD + 3, RD +. + (RH) pays RO].
Cette équation permettra de calculer de proche en proche R‘ en partant de R®, puis R°, ..., R, .... Partons de l’expression (8) de R(, que nous écrirons
R(0) 22 Y A'cos(us + vs’), ou, plus simplement, “ne (21) R(0) — A’ cosN, N=—mes + vs’.
La formule (20) nous donnera, pour r — 0, R® —D.(#, A’ cosN) + D(b,A' cosN);
nous écrivons simplement D au lieu de Ds. On a d’ailleurs
fi =2Sinn, Pa = — 2 COS; il vient donc
R® — — 2uA'sinnsinN — 2cosn cos NDA' —=(pA'— DA')cos(N + n) — (4 A’ + DA') cos(N — n).
On peut écrire symboliquement (22) RE — (pp —D)A'cos(N +n)—(u+D)A'cos(N—n). On trouvera de même, en faisant — 1 dans la formule (20), 2R® =D, (9 RO +29, RO) + D(p, RA + 2p, R(0)), On a
V2 =Sin2n, fa —1—cos2".
Il vient donc
2R®%— D,[2(p—D)A'sinncos(N + n) —2(p + D)A'sinn cos(N —n)
+2A'sin2ncosN] + D [—2(px — D) A'cosn cos(N + n) + 2(4 + D) A'cosncos(N —n)
— 2A'(1+cos2n)cosN]; 2R® —— 2(p2—uD)A'sinn sin(N+n)+2(u?+pmD)A’sinnsin(N —n) —2pA'sin2nsinN
— 2(pD — D?)A'cosn cos(N + n) + 2(u4D + D?) A'cosn cos(N — n) — 2DA'(1+ cos2n) cos N; cela peut s’écrire
2R®%—(u—D)(p—D+1)A/cos(N +2n) —2[(p— D)(u + D) + DIA'cosN +(u+D)(x+D—1)A'cos(N —2n).
On continuera ainsi.
