NT RE

e Es NS kVp | —Scosr + ri 2) sin/ |:

Ci ES M7

m' Dai 0.

Remplaçons - Ru S et ET Trrespectivement par => et => et il viendra

ñ 2h VPS Le

GLS sin f + = D (eose + cos f) |

si I ep -$ cos f +(5+ +55 e E sin |:

Soit posé

On déduit aisément des rmules (6)et (7)

debiny oQ 0Q[sin(f +4) Ssinycose cosy || Ar pTe Up | SE cost Y)a x | : ms e je ’ ,

d. ecosy . | 0 08 ou 0, SZ snyens ll, |

0 2 RUE PASS k - : À

ou bien, à cause de

d. ED 082 (LP sine + sine +esin dt : r 2 JE

d.e cos ler à TE = ) P cosv + cos + ecosy , 08 p de \r :

d.he siny ie dt D

: 29 ce dE : 0Q kcose — + | = + SIN © — »

or: 2 dv

d.hRecosy

0Q 1 ro als Sr kÆ? sin de + 4 ( +

Ces formules nous seront bientôt utiles.

150. Principe de la méthode de Hansen. — Nous abandonnons ici la méthode de la variation des constantes arbitraires, pour lui substituer celle de Hansen.

Soient &y, 25, €, Pos © et ©, les valeurs, pour t — 0, des éléments variables

CNE ICONE

Désignons, en outre, par z une fonction convenable de #, et déterminons les quantités k,, r et f par les formules

- ve k £ — €) SÂINE = A9Z + Co Ho Uk, ae VPo (9) re Ie Lee [ee — — ang = —(/ * {ang - €, F disco) = APE \ 7 Je 0 2 1 + e,cos f

Nous déterminerons la fonction inconnue z de façon que

(9 Le Do :

Nous aurons

à De 7e rn =kVP, dv = df;

oo Tite dé Ée he ND PA VPv

d'où, par voie de division,

Faisons en outre (10) Eh 0 Co:

et il viendra

(ei) dz se À dt h(3+v)?

On aura ensuite

Li 72 = ere us Nc),

Hg COS y) - 1 e cos( f + Er à)

NÉE my. P P

Définissons £, et n, par les formules

e COS(Y — Go) — € + (1 — ei) Ë,

(esin(x —®) = (L— 66) M5

6, et n, seront de petites quantités de l’ordre de #'; l'expression précédente de

deviendra ; I+V

a . [rG+ecosf)+(—e)Ercosf+(1—e)nrsinf],

ce qui peut s’écrire

2 Su PO 13 À 2 COS f + —— sin ; qe 1+v ( É & Hem CA f)

Dans cètte équation, À, £, et n, sont des fonctions de 4 déterminées par les formules (12), tandis que ret f sont des fonctions de z, qui résultent des rela-

tions (9). L’équation (11) peut s’écrire

de, v DES) POSER h M h\T y . Dog h ou bien, en vertu de la formule (13), ; PS UE ur (ra) D (=) "> où l’on a posé ; D (199 W = 2e ñ I + * Ëi a COS f + Fa "i a sin f.

Quand on néglige la force perturbatrice, l'équation (14) donne z — 4; on est

conduit ainsi à poser (16) m —Hrr 02,

et 1l en résulte

d vaut mieux calculer T5 les formules (10) et (11) donnent

do h, y \? — (6 GE à h (: 7)

L'équation (13) n’est pas commode pour le calcul de la petite quantité v. Il

dl dl » MhG+ v}?”

ou bien, d’après la définition (10) de v, :

dy ar ho 1 dr

A hd. bras

Or, les formules du mouvement elliptique donnent

dt VP

dr .

— és;

, . dv . .

l'expression de > devient ensuite

1 I AT 7 RE SIETe Ti ae

Æ — =6sin(# y) ="heésin( y),

esinf,

d’où, en remplaçant r et r par leurs valeurs,

: — le sin(f ea -1)(1e cosf)< smflr+ eeos0f te -»)}

ee Lesin(f-+m,— x) — e, sin f + ee, sin(æ — x)].

En ayant égard aux formules (12), on trouve aisément

da 5

(18) are re 0 ge

Posons enfin

(19) tit. A à NE | les formules (15) et (18) deviendront (20) W=r-yT cos f + Y sin f, | & @ | A no (21) Le — - [Ysinf—Y(cosf+e)].

0 Vi — ei

Bornons-nous aux termes du premier ordre par rapport à m’; nous pouvons

écrire (æ) W=E+Y cosf+W 7 sin, dûdz — à fes (B) es = f W dt, (a) FCosf=altcose ec), : rsinf—a@\r e tlne, (o]

En CSInE— NC.

Les formules (13) et (19) donnent d’ailleurs, au même degré de précision,

kr? h r Res ) ve + (NE cos WT sing),

ni) Rs h CLPLTr nie ) L (NE cs/+ wi sinf),

(h—h)(2h +) Cu kh—h, We et kh se Mis

Il en résulte

(&) Vv= — —;

(r° COS ot y? ï sin).

(y) = [sim (cos er, | |

151. Détermination de la fonction W. — On tire de l’expression (19) de

du dt

dh et, en remplaçant + par sa valeur (8), À LE dt On a ensuite, par les formules (12) et (19),

2h os [Le cos(x — mo) — eo],

D 2h Mille)

y e sin(y —.©,);,

d’où, en différentiant et tenant compte des relations (8),

| | + Où (: ) 00 COST, SiNp — + | - + — dY 2 k? or ER deh?. 00

4 ha ve à 0Q I Se 0 T Au —e) de?

0Q I TA à 0Q

COSD | — COSP — + |[- + -) sine —

dY 2 k2 or fr op dP dt he 6) 0 I

— sinDo sinp — + |- + —

or r p

On peut remplacer # par f + ©; on trouve finalement

dE 00 le

dY a I 7, 2h LE +—) cos + E

7 lc

1 +2ah sin,

Vie a I . +0 0Q = 2h ( + —a) snf — 2ahcosf =

Considérons maintenant la fonction

(23) W=E+YÉ coso+wWË sine, où l’on a n—eSsiNnn—=AnT+c,

= COSW =: COST — €, - sin wo —V1—esinn, (A

Comme les quantités &, Y et Ws’annulent pour { — o, on aura

pour & — o, quel que soit +.

En changeant, dans la fonction W, + en £, et n,w, pen e, f,r, W se changera

W D; dE dY dY

, F2 N. n X LAS EE Pre CR Cr EE rs V =

en W. Différentions l’expression (23), et remplaçons => => = par leurs va leurs (22); il viendra

Orona p= ——— d'où É ecosu —1=—{; il en résulte donc (24) = 2hp sin (f — es a Fe : COS(f — w) + [cos(7— “ | |

On devra intégrer de manière que W s’annule pour £ — o, quel que soit x ou quel que soit w.

On peut ramener le calcul de v à dépendre de la fonction W. On a, en effet,

r r d - cos) d - si a sos Li n a Roy n

— —— sin =" (Co 7 €),

de sorte que l’équation (21) peut s’écrire

r RAS d -cosf da 02 ir dron He dt Or on tire de l'équation (23) De 2W 47 Cc080 : 1 (LE dt 3 dr

: : oW . ; si, dans cette expression de on change + en #, on obtient la valeur trouvée

: dy ne ci-dessus pour — 2 + On peut donc écrire

dy 1 /OW 1° ÉON où Es : Cr ee ee 7 At: ne) ie (Eee

en indiquant par le trait horizontal qu'après la différentiation de W par rapport

à x, on doit faire & — £. On voit done que la fonction W des deux variables £ et + joue un rôle important dans le calcul de Ôz et de v.

152. Calcul de la latitude. — Les formules des pages 472, 473 et 474 du Tome I donnent, en négligeant Le carré de la force perturbatrice,

cos b sin({ — 8,) -= cos & sin(v — 0,) — stangs,, cos b cos(l — 05) — cos(e — 6),

sin b — sin sin(e — 0,) 1-5,

où Let b désignent la longitude et la latitude héliocentriques de la planète. On a d’ailleurs (loc. cit.) s = Qsin(e — 8,) — P cos(r — 6),

dP re I — hr cosiZ sin(v — 0),

. — hr cost,Z cos(e — 6); Z est la composante de la force perturbatrice, normalement au plan de l’orbite. On peut remplacer » par f + &, et supprimer les indices zéro devenus inutiles; on a ainsi

{ cos b sin ({ — 0) = cosisin(f + æ — 0) — stangi, (26) cos b cos(l — 0) — cos(f + & — Ü),

sin

(27) s—Qsin(f+m— 0) —Pcos(f +æ—0),

t =f hr cosiZsin(f + & — 0) dt, (28)

| en hr cosiZcos(f + x -0)dt,

Posons

s=Q° sin(f+m0)—P* cos(f + — 0), (29) R—0Q £ sin(o + — 6) —P P cos(o + — Ü);

t P sin(w + — 6) L ZLhr cosicos(f + æ — 0) dt V0

t — £ cos(o + —0) f Z hr cosisin(f + & — 0) dt.

Cette fonction R, qui dépend de 4 et de 7, s'annulera pour { — o, quel que soit +.

On trouve immédiatement dR = Re

tar) de —Lhcosi®rsin(o—f).

Cette équation, en tenant compte de la remarque précédente, détermine complètement R.

En désignant par R ce que devient R pour + — 7, les formules (29) donnent immédiatement

(ai | u= R.

On peut obtenir une autre expression de w, qui sera utile au moins pour la vérification des calculs. On a évidemment, d’après la formule (30),

LE SE d- sin(f+® — 0) dt

A de — L ZLhr cost cos(f + & — 0) dt ot DA

d= cos(f + — 6) t ee . Zhr cosi sin(f + & — 0) dt.

En intégrant par parties, après avoir multiplié par de, il vient, après simplification,

be OR en de r fe (A) a QE snç7+8—0 PE cos(f+m— 0);

on a donc l’expression cherchée

£ ne Le 0R (58) == : (à) dt.

153. Transformation des formules. — Au lieu de la variable £, nous introduisons € par la relation

(34) Ee—esSine = Al+C,

oùe, net c sont des constantes absolues. Nous aurons

dt — — de, na

et si nous posons

les équations (24) et (31) nous donneront

Q - +. : | 2p cos (f (De

ET cost? sin (wo — f).

et il en résulte

Pa 92 na. 0)

{ +20 cos(f | UVi—e— Z cost PT Shop).

Les formules

| TiCosf — a(cose— ec), r —a(i—ecose),

(37) . | ne ; | r Sinf —.a\V:—e sine, ang = f— É tang = €

donnent or 1

— —=aesine, = dE

d’où 0 avi a 09

ee — He SiNe

an : of de TE r

0Q P 0Q er sine 0Q 38 ee ( ee eo DE a Re

es “L90 07 08 0f

de, Vi—e Ôr

Nous avons mis des parenthèses à la dérivée de Q par rapport à e, parce que,

quand on introduit e au lieu de £ par la relation (34), e se trouve introduit de ; ; : j 0Q ue UT deux façons, d’abord par r'et /, ensuite par r' et f'; te désigne la dérivée de Has : 0Q Q par rapport à e introduit seulement par r et f. Portons la valeur (38) de ->

dans l'expression (36) de T, et faisons

nous trouverons

DORE Ma(1—e?) —2prcos(f—«) — r?-

nn. [cos(f — w)—71], Na Vr e — 2psin(f—0«)

esine (

| A pu EE A &, em ei wo) —1]}.

Il reste à remplacer r et f par leurs valeurs (37) en fonction de €, et o et w par les valeurs analogues

p COS — a(cosn —e), psinw—aVi—eæsinn.

Nous trouverons d’abord (1—e)M = 2[(cose — e)(cosn —e) + (1 —e?) sine sinn] — (1 — e cose)?

1 — eCOSE 2 à 3 1 — €?

[(cose

e)(cosn—e)+(1-—-e*)sinesinn — (1—ecose)(1—ecosn)].

I ; ue (1 — e)M = 2 LC: = a) COS(E— nn) + et cos(e EF n)—ecose —ecosn + a |

I = e? L 26 COSE — : € COS2€ + 2(1 — e COSE) [ COS(E — n) — 1],

d’où l’on tire aisément

: 1 be (1 — e)M —- 8 (a a 26 COSE — — € COS 2€ + e* COS (n + e)

+ (4 —e?)cos(n —E) — ecos(n — 2e) — 3ecosn.

On trouve ensuite, pour le calcul de N,

2e SinEe

PPSIRC PO) Ep cos (7 + 0) Vi—e?

2P COS a e 2p Sin Nr dine =" ginel(cose —e)| — Css ee e Sin? €)

Je COSE Vi—e I — 6e COSE = 29 COSG > -— 2p SIN COSE

Ve 24 : \ 9 :

= fsine(cosn 6e) (1-e?)costsinr];

VAR eA

| on voit que le diviseur 1 -- e cose a disparu. Il vient ensuite

({1—e)N—2sinecosn — 2(1 —e°) sinn cose — 2esine —esine[—1+ecose + 2(Cose cosn — 1 + sinesinn)], (1 —e)N—esine—-esinn — - e*sin2e + e?sin(n+e) ; 2

— (2—e)sin(n—e)+esin(n— 2e).

Faisons enfin une transformation analogue pour U; en partant de son expression de la page 336, nous trouverons

U — a*Zcosi(i — ecose)[sinn(cose — e) — sine(cosn —e)]. Si l'on pose

Q — (1—ecose)[sin(n —e) — esinn +esine], il viendra

U= OZ tcosr.

L'expression précédente de Q peut d’ailleurs s’écrire

mi Re SES ET Q—esine — -e sin2e— -esinn+{(1i+-e sin(n — €) 2 2

Fe e?sin(n + €) — s eSin(n— 2€).

Il convient de faire un Tableau d’ensemble des formules obtenues. Remarquons d’abord que si l’on détermine les quantités r et f par les formules E— esine = nt+c-+n 02, rcos/ —a(cps:—e), r sinf — aÿ1i— e sine,

D +), et les formules précédentes, en écrivant E au lieu de €, seront

E —esinE = nt + c+ n 02,

R COS (PDA SE — C A it )—a(cosE— c), Fi É — —— einem) —aUT—eeME.

I+V di V * On aura ainsi cet ensemble de formules :

U= QaZuosi,

MÉTHODE DE HANSEN POUR LES PERTURBATIONS DES PETITES PLANÈTES. 339 L I I | ({i—e)M = —3 (: ue «) + 26 COSE — = e?COS2eE — 3e COS'Nn + e? COS(n +E) + (4 — e) cos(n —Ee) — e cos (n — 2€),

2 1 À à (Gi—e)N —esine — - e*sin2e — esinn +e?sin(n +e)

c) | Co | — (2—et)sin(n —e) +esin(n — 2e), | : CRT Due pe re | Q=—esine— - e*sin2e — - esinn + re sin(n — €) | 2 | I ee +; eésin(n+e)—-esin(n— 2e), EE (d) de= f W dt, | 0

re Po (e) V = — : re

On aura ainsi, en négligeant le carré de la force perturbatrice, les valeurs troublées des coordonnées polaires r, / et b.

E —esinE —nt+ce+nûz, | (f) ee (OUR), | : eur Lu | —; Sin(p—m) = aVi—esinE, ne nl er | : ÔT | (8) | SU, | cos b sin ({— 6) — costsin(e — 0) — stange, (h) cos b cos(l — 0) — cos(r — 8), sin b = sinésin(e — 0) +.

—-RRS—

SUITE DE LA MÉTHODE DE HANSEN. — DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

154. Formules préparatoires pour le développement de la fonction per-

5 el de Z.

On a, en désignant par H le cosinus de l’angle formé par les rayons ret r’ menés du Soleil à la planète troublée M et à la planète troublante M’,

turbatrice. — 11 nous suffira d’avoir les développements de Q, der

Om (: — —,; ul) ) Are pe 0 prb:

on en conclut 0Q . I I x r? 7 7 or “AS r!'3 A5

Considérons maintenant les nœuds ascendants N et N’ des deux orbites sur le plan fixe, et l’un des points 1 d’intersection de ces orbites; nous choisirons le nœud ascendant de l'orbite de M sur celle de M’. La formule générale

zl = ml " SR 1 4 Fm DZ na Z cn / 1 %)

donnera, en prenant pour plan des æy le plan NI,

Soit J l'inclinaison mutuelle des deux orbites IM — f + Il, IM'= j'+ Il;

les quantités IT et Il sont des fonctions des éléments elliptiques qu’il est facile de calculer. On aura ensuite

H = cos(f + IT) cos(f'+ If) + sin(f + I) sin(f'+ IT") cosJ, 3!=— r'sin(f'+ Il) sing,

et il en résultera ces formules

| I r OR A m' a H, 0 1 pa T2 I I 7 ! [A (4 LP = mm HA or 2 A D A Se (æ) : ; Z=— m'r'sin(f'+1I)sinJ A m' PE sin(f'+Il)sinJ,

H = cos(f + Il) cos(f'+ If) + sin(f + I) sin(f'+ Il") cosJ, \ H = & cosf cosf' + 15 cos f sinf'+ € sinf cosf'+ ® sin sin f'.

On voit que l’on est conduit à chercher les développements de

I I 47 à Sir Cosf : ‘Sin fr fl: mr.“ Irocosf., rom, ‘r Sin PF 008), Le ie