HO POP NT SOS 2 OU
Il faudra ensuite effectuer les produits tels que 26!" cos(ie — 1e’); soit
pire = Co+ D C;COSJE + D: Sin/E; 1 1 on trouve aisément j=« 2Bcost(e —e") — c,cos(ie — ie!) + > CjCOS[(2+7J)e— ce], j=1 j=® nue dc, COS[(i —7)e — ce], j=1 j= © + D sin [(£+7)e — ce! ], j=1 j= He DAS sin[(z—7)e—ce].
Fl
En opérant ainsi, on arrivera à un résultat de la forme
À =Z22(6 d,c)cos(ie — 1e) + EX (r,c,s)sin(£e — c'e! ):
cet’ sont des nombres entiers; on peut s’astreindre à la condition que r ne soit jamais négatif, z étant positif, nul ou négatif. Les coefficients (4,7 ,c)et (t,7,s)
, ® # ® a È A sont des nombres, déterminés une fois pour toutes: ( <}) sera de la même forme. VAN
Pour donner une idée de ces développements, nous empruntons à la théorie de Vesta de M. Leveau (Annales de l'Observatoire, t. XV) les valeurs suivantes
q'" désignant la masse de Jupiter :
de +; ou plutôt de ins sin 1
ml 7 rs 0
22,897 COS 1e + 37,643sin( e— €!) 6,979 cos(ae — 13,934 Sin( 2€ — 2e) b,m1b COS(:5€ — + 0,374 sin( 3e— 3e) 1,306 COS( 4e — 1,864 sin( 4e — 4e) 0,373 COS( 9e — 9 o,851sin( be-— 5€’) 0,383 cos( 6e — 0,091sin( 6e— 6e) BTO2 COS (TES TE 0,126Sin( 7e — 7e) 0,023 COs( 8e — 8 0,065 sin( 8e — 8c') 0,029 C08( 0€ 9 0,006 sin( 9e — 9e) 0,009 COS(I10E — 10€’) 0,009 SiN(10E — 10€ } 0,001 COS(I1E — 116 0,005 Sin(11e—11€) 0,002 COS(12€ — 12€ 0,001 Sin(12€ —12€)
1,714 COSE + 1,042 $Sine, 0,092 COS2€ 0,064 sin2e
On voit, comme cela a été indiqué dans le Chapitre XVIII (Méthode de Jacobi),
cos , que les termes en & "(e—e') sont les plus sensibles. Sin
156. Introduction de l’anomalie moyenne £! de la planète perturbatrice
au lieu de <’. — Cette introduction est avantageuse pour l'intégration. , a Ja :
Nous avons trouvé, pour x» (à) , .…, des expressions de la forme
D 206 n',c)cos(ie — n'e') + Doi n',s)sin(ie —n'e!
+ Co Ci COSE + Co COS2E +...
re |
+ 1 Sin € + S9 SIN 2€ +...,
où »' prend les valeurs successives +1, +2, ...; nous avons mis à part les termes qui répondent à »’— 0. Par l'introduction de g' au lieu de €’, il viendra
| = >> (Qi, à’, e)) cos(ie — i'g') + + ((a,d',s))sin(ie — tg")
Re PUMA Ar | 6! + €! COSE + Ca COS 2E +...
+ s,sine HS, Sin2e+....
Il s'agit d'obtenir les coefficients du développement (2), connaissant ceux du
développement (1). Pour cela, il faut introduire les fonctions de Bessel. On a [Tome I, p. 220, formules (d) et (d')},
ose cosn'e = n DE s [J-n(r'e ) — Jr, ,(te")],
: sin £’ 2 SIN Sen DE 8 [Jr-w(te ) +Jriw(re)].
On en conclut
D, J;,(te J de :
cotée nie) Zn Ÿ [PE cout — ven = TPE out à | d'A pe 21 00 :
rte) 1 Fe
. . = nie — . bi FT re DEN . . .
Sin (re — 1e") > Es Ne AE Sin tte se')|.
LA
Nous chercherons ((z, v, ci et ((4, ,s)), c’est-à-dire les coefficients de cos(ie — 2’) et de sin(ie — #g'); nous pourrons donc nous borner à
cos(ie — n'e!) — 7 Jin (te) cos(ie —ig')+..., re , n' te ” sin(ie— n'e!) — cr Jin (de) sin(ie —ig')+.... Dans (1), les deux termes
(i,n',c)cos(ie — n'e/)+ (i,n',s)sin(ie—n'e') nous donneront
res (nc) Jin(te) cos(ie— 8"),
| 7 (ü,n',s) Jy n(ie')sin(ie — 1'g').
IL faut maintenant, dans l’expression (1), donner à z#' les valeurs +1, + 2,...: nous obtiendrons des résultats plus symétriques en donnant à »’ les
valeurs D ADR Da ao Diable ls bd de
Nous trouverons ainsi que, dans (2), le coefficient de cos(ze — 1’ g") sera
af
ee sue :
UT) — 7 (éd, cY (tte + DEAR or \ on (5) dou ER RE c)J, (+ e') E nos ue) ed ie l ds.
+ re (a +2,c)dJ, (ve!) + FE (ét2;c)d(r'e ST PE ST TE CE men) De EN pe YOU ef SA LOGO dd cs TR 20 UC (ETC
On aura, en changeant dans les ( } la lettrecens,
rl
[ (GG r,s) = (ais) lite)
t ‘ Real
0 L'un 6 a (a d'+i,s)J i(t'e!) + 5 (Ed —1,s)J;(te!)
RRAU l—2 ,.. CRE (a, d'+2,s)J,(ie!) + re (ü —2,s) dite’)
Remarque. — 11 y a lieu de considérer à part, dans le développement (x), les termes pour lesquels »’ — 1, car, dans les formules (3), nous avons supposé que cosn'e etsinn'e n'ont pas de partie non périodique. Cela est toujours le cas
. ’ $ ; ; : Mie e!
pour sinxe’; mais, quand x'—1, cose’ contient le terme non périodique — = (t. 1, p. 219). Prenons donc, dans (1), les termes
Z(i,1,c)cos(ie — el) + Zi,1,s)sin(ée — e');
‘ e! : ne CRE cos(ie — e’) contiendra le terme — ; Coste, et sin(re — €’) Le terme — > Since. Nous aurons donc les termes
ce AR Lei + Z(i,1,c)cosie — < Z(t,1,s)sin£e,
où nous devrons donner à z les valeurs o, +1, + 2, ..….. Nous trouverons ainsi
SC
LG, c)+(—1,1,c)]cose — . Le r,s)—(—71,1,s)]sine
L(2, 1,C) + (—2, 1, c)] cos2e — … [(2, 1,8) — (—2,1,s)]sin2e
WIR pl
Ces termes devront être réunis aux termes Co + C1 COSE + C2 COS2E +...+ 51 SINE + Sy SIN2E +... de l’expression (1). Il viendra done ainsi
Co — Co — à (o, 1, C),
(D) | bre RAM DONC nc)
Il convient de poser
= = (0,0,Cc)+(1,0,c)CcoSe+(2,0,c)COS2e +...
(A) + (1,0,S) sine + (2,0, S) sin2e +.
+ ZZ (ri, d',c)cos(ie —i'e')+EZ(i,1',s)sin(ie — i'e!),
où 4 varie de — à +0, et z de + 1 à +; de même,
| E— = ((o,0,c))+((1,0,c))cose + ( (B)
