C))COS2E

+ ((1,0,5)) sine »0, S)) SiN2e +...

ie + ZZ((r, 1, c))cos(te — 8") + EX((r,1,s))sin(ie — gl},

où 4 varie de — à +, et r de + 1 à +00.

Les formules (5), (6) et (7) donneront

(oo; c))= (0,0, cc) 21" (0; 10): À!

((1,0,5))—=(1,0,5s) NS) EE 1,S)], (D) | (20 26, 0) IG rs CR) È i', c))— : (ë,&',c)J(i'e!) La : Fe (E) + nr (GË+1,6)d (ie ) | + (bé —r,e)Fi(ie’) PEUR da er RE te de $ | (CE, 2°, s)) — . (cs, 2,5) dJo(t'e’) CÉES MON 20 CF) ] Re (EE tr, ss) tien FL + (tr, s)(ie)

| Tata etes ee ferie aboUedielte ais Atale lee ee ,

Ces séries seront très convergentes parce que les fonctions J,,(7’e') dimi-

nuent très rapidement quand À augmente en raison de la petitesse de e’. Q

- et Z[for-

; : 0 Il faut maintenant passer aux développements analogues de Q, r T

mules (x) de la page 341].

On a d’abord

D ei) cosi' 2

On peut donc former le développement de r?—7r?et, par ce que Hansen ne : $ ; | r— r?

nomme la #uliplication mécanique, on aura le développement de —; la forme (B).

On a ensuite

' Et — €) SE 2. cos f' + ; 12 12 ‘ 2 2 cos f" + ® Us :sing')|.

Les formules (n) (t. [, p. 227) donnent

Cost Dre Cret Le sinf= Vie l'Jy (te) sinvg".

On aura donc aussi le développement de -; H suivant la forme (B); on aura

soin de remplacer &, 1, ©, ® ete’ par re valeurs numériques. Donc, en se reportant aux formules («) (page 341), on aura, sous la forme voulue, et avec des coefficients purement numériques, les développements de

or Reste seulement à obtenir celui de a?Z; il dépend des développements de

= cos f’ et sin. Op, ona (Lt. 1, D. 220)

aQ et ar

+ © ; 3 4 - cos cg" cop et Dire).

sin?’ g'

— sinf = Vi — re (re — a à V FE

où la valeur # — o est exceptée.

Done, finalement, on a, sous la forme (B), les développements numériques des quantités

0Q du, ar 1 Da é or 157. Nouveau changement de forme, en vue de l’intégration. — Pour

intégrer, il faut avoir une seule variable. Or, on peut exprimer aisément g' en fonction de €. On a, en effet,

é —esine = Né +6, g'=N't+c;

On entire, en éliminant £,

N' à Fe (— ec+e—esine).

Soit posé N' (8) K = Il vient g'=c'—cu+pe—pesine, d’où cos(ne—de')— cos[(n --iu)e — i(c'— cu)|cos(iuesine) Lo) — sin[(r — iu)e—'(c'— cu)] sin(i'pe sine), sin(ne—cg! )— sin[(r —rup)e—c'(c'— cu)|cos(iuesine)

+ cos[(nr — sus - i(c'— cu)]sin(ipe sine).

Or, on 2 (1.1 p.200) cos(æ sine) = J,(x)+23,(x)cos2e+2J,(x)coshe+..., sin (æ Sine) — 2J,(x)sine +2J,(x) sin3e +..

On en tire cos(ipe sine) = Jo(ipe) + 29, (ie) cos2e + 27,(1me)coske +...,

sin (i'uesine) — 2J\(ipe)sine +2J;(ÿpe)sinèe +... En portant ces expressions dans les formules (9), faisant i'(c'— cu) =6, et écrivant simplement J,, J,, ... au lieu de J,(#e)..., il viendra

cos(ne—ig')— Jicos[(n — ue —6] + J, cos[(n + 2 —iu)e — B] + J, cos[(n — 2 — i'p)e —B] + J, cos[(n + 4 —iu)e —B]+T, cos[(n — 4— rp)e —6] (10) A el de SD NE de 0 he

+ J, cos[(n + 1 — iu)e — B] —J, cos[(n — 1 — rue — 6] + J, cos[(r + 3 — i'u)e — B] —J, cos[(r — 3 —rp)e — 6]

et aussi

sin(ne—g')—= J,sin[(r —u)e—6] + J,sin[(x + 2 —c'p)e — B]+J, sin[(r — 2 -— iu)e —B]

+ J, sin[(n +4 — rue — 6] +7J, sin[(x +

+ Ji sin[(n +1i—ip)e—68]—J,sin[(n - J,sin[(n +3 —u)e — B] —J, sin[(r — 3 —u)e — 8]

Nous aurons à multiplier

Cos(ne-1%4) par! ((2,7,c)) sin(ne—tg') par ((n,c',s)),

à faire la somme, et à donner aux entiers n» et à toutes les valeurs indiquées cinu a 0Q

dessus. En désignant par F l’une des quantités aQ, ar 5. Cet a?2Z, nous

avions

(12) F—Z2Z((n,1',c))cos(ne — 29") + ZE((n,1',s))sin(ne — ig'):

il viendra maintenant

" (F— 23fi,, el cos[(i— d'u)e —B)] La | + 22 [r, d, s] sin[(i — sue — B)].

Dans les formules (10) et (11), donnons à » les valeurs

line, ee

et retenons chaque fois les termes d’argument (4 —#w)e — 6; nous trouverons aisément CC Cr) +((1+ 02, 7, c))L + (Ci — 2,5, c))J, ++, + ((i— 4, ,c))

Mel 0) = (er 1 ch RUES do) (Cr,

Rappelons que, dans ces formules, toutes les transcendantes J dépendent de l'argument ue.

CEE de