Précaution à prendre dans le calcul de

— La dérivée () qui entre dans la formule (39)

0Q 0Q T=Ma(oe ) + Nar on

du n° 153 devait être prise par rapport à €, en tant que cette variable était intro-

duite par r'et f seulement. Quand on avait le développement de @ suivant les

. 08 no

sinus et cosinus des multiples de € et e’, on devait, en calculant ( » considé- (a

rer € Comme constant; £ devait donc aussi être supposé constant quand on à

remplacé e’ par g'; mais on a fait ensuite

g'—=c'—cu+ue—muesine,

ce qui à introduit de nouveau €. Désignons par la dérivée complète. On

aura { 09 /99\ 04 | de = ( sister Mere cos); (13) 4 Ne ue MOeAE re de dei à “ITR On à d’ailleurs Q— ZÆZfir,c]cos[(i— vue —(c'—cp)] + 22 Ti, d',s] sin[(é—vu)e—1(c'— cpu); d’où 0 AR Me AU 0.

7 - — 22(i—1u)[e, c', c]sin[(i— due —#(c'—cp)] + 22(1— Dp)fit,s]cos[(é— Mu)e=#(c—cu)]:

Q . — 22v[i,d, c] sin[(t— vu)e—(c'—cp)]

EZiTe, à’, s]cos[(i—cu)e —(c'— cp)].

En portant ces valeurs de 2 et À dans (13), on trouve, après réduction,

A: LEA AS RS en ee te Fe, ( : }= pecoseZZ{i, d', c] sin[(i — me — 1(c'—cu)]

je —é(c—cu)] — Zi ir, c] sin[(é— d'u)e —i'(c'--cp)]

— pme coseZZ if, d', s] cos[(i — i'p)e — 1

+ ZZifi,d',s]cos[(t — cu

En posant

il vient

AZ fi, , ce] sin[(t+i—cue—c(c'— cp)l +AZSE TE, à, e] sin[(t—1—ip)e— (ce —cm)] — A2 i,d',s]cos[(é-+1—u)e—1'(ce —cp)] — AZZE si, d,s]cos[(t—1—é#ple —v(c'—cp)] — 22thur,c|sinmi( t— due —v(c —cn)]

Pi cs lco 1 the cie ch):

i variant de — æ à +, on peut, dans les ËX, remplacer 1 PATLIHI OUT — 1, de manière à avoir partout le même argument; on trouve ainsi

— 2E iii ,c]—dA[E+ 1,0,C|—A[i—1,8,c] | sin[(i—vp)e—c(c'--cp)]

HS finis] dpi cid,s] daté 1,6, s]}cos[(—iu)e—i(c—cu)],

On a trouvé (p. 536)

Q (14) T = D=ma(se)-+Nar ee

de dE dr ?

les valeurs de M et de N peuvent être mises sous la forme M=—B,+2B,cose + 2B, cos2e + 2A, cosn + 2 À, cos(n — E) -+ 2Â, cos(n + €) + 2ÂÀ, coS(n — 2e) — 9D, sine — 2D,sin2e + 2CGsinn

+ 9C, sin(n—e) +20 ;sin(n+e) + 20 sin (n — 2e);

Il faut maintenant porter les expressions(r15) dans la formule (14), dont nous écrivons ainsi la première partie

(19) (%)= 266 ',c) cos (0 + &),

SUITE DE LA MÉTHODE DE HANSEN. 499 en faisant (é—iu)e—(c'— cn) —0,

donnant d’abord à & la valeur 90°, et posant (17') (de) = d,c]—dAfi+r,d,c]—d'ALi— 1,6, c|;

on fera ensuite & —o, et l’on changera la lettre ce en s. Il faut faire les

produits de a (Se) par

nBre0$6, -2B; 60826"...

Faisons complètement l’un des calculs : nous aurons

2B,cosea Be dE \= = B,220 (6, &',c)[cos(8 + à + €) + cos(0 + & — e)], & variant de — œ à +, on peut, dans le second membre, changer £ en à — 1 ou ent +1, de manière à ramener les arguments 0+a+eet 0+ax—eà06+u, ce qui donnera

Q 2B, cose a (Se

je) —B,2216(i+1,8,c) + G(i—1,i,c)]cos(0 + &);

| | il faut maintenant faire &« — 90°, puis « — 0, en changeant c ens, d’où il ré- | sultera 0Q nn 2B,cosea (TS) ——B;22[G(i+1,0,c) EG(i—:1,7,c)|sin0, HS OC Er, ds) 02 — 1.0, s)l cod On trouvera ainsi

BG(& 1,0) + B,G(i+1,d,c) + B;G(i+a,r,c) |

‘2Q Me( ) = — 22 sin[(t—ip)e—&(c'—cu)] j + Pot io emo Pol PACE NE" PAS 29 (1—2,4,

(An G(i—i,r,c)+AG(ë rc) |

De ler! £ (oc! ! ) f 22sin[(i—tu)e—t(c'—cp) ee or mp

(A, G(i+i,1',c)+AoG(&t,c) |

— >>: As re en . .

Ron VE RE 400) HAN LESC UC / 8) | Se | BG(it,s) + B,G(i+1,1',s) + BC 2, 5))] + EXcos[(i—éu)e— '(c' =cu)] oG\ st , j(È+ . )} B,G(i—1,1,s)+B,G(i—o0,i,s) |

ù ee Re | enr D L \ lee

FA Gr, sec GE LS) (i—1,1,s)+A2G(i—2,c,s)|

1—1,0,5)+ASG(,r,s) | +i,t,5) +AG(it+o,,s)|

| + ZZcos[(i—éu)e—{(c'—cp)

Si l’on fait ensuite

ZE Ai, 1,c)cos[(t — tue —i'(c'—cp)]

+ ZEC(i,1',s)sin[(i — dupe —c(c'—cu)l], on pourra écrire, comme précédemment,

0Q tb +. :

ar sr — ÈXE (1, v,s)sin(0 + @),

et l’on trouvera

[N ee DE sin -1u)e-r(c cu | INGrT = EC Le ( b) ei C(i+i,t,c) —D,@(i+2,1,c)|

Ye r/: «| ET —(C- C(i— ren fe L ,C) — C CAS DEC DE PE à on. 0) He DO Ua © ,

— XEsin[(i—vu)e—r(c'—cup)—n] Re 7 l

LC eC-uren BGO- 2,10) 1! D, C(i—1,8,5) +D,E(—02,8,s)) Debré ts) Cuers) —QC(r,s) 7] —C S(i+i,i,s)—Ge(i+2 7.

+ EXcos[(t —'u)e—t(c'—0c p) +)"

(D S(E +1, L',s) + C € (£, l', | +ZËcos[(i—#p)e—t(c—cp) rene | S(i—1,t ete S(i—2,t ons 1 2 —— 2 FES 2270)

Il reste à ajouter les expressions (18) et (19), ce qui donnera

adW de On est conduit à poser

F(ir,c)= B,G(&t,c) +BiG(i+r,c,c) +B;G(i—1,5,c) + BG(i+2,1,c) + B:G(E—2,1,c) | —D,e(Gi+ir,i,c) +D,e(—:1,1,c)

) Di A G(i+i,t,c)+AG(i,c)+AG(G—1,r,c)+AiG(i—a,r,c =

+0, S(Hi,r,c)+Qe(G,t,c)+Ge(i—7r,r,c)+Ge(—2,1,c),

) ) { H(&c ,ce)— A iG(i—i,t,c)+ASGÇ(&r,c)+AG(G+i,d,c) + AG(i+2,6,0)

(c # ne — CS, dc) — QO(st,c)—GSG+i, c,c) — GQe(G+2,r,c).

On aura des formules toutes semblables pour définir F(4,r,s), G(i,v,s)

et Hz, r',s); il suffira de changer c en s dans les ( ) des GG, v,c) et S(,1,6):

(a!) ESS) =R (ar ,s) +..., (b°) Gars) NS Or Er nsr Ce’) HS) GI CS) ee

On trouvera ainsi

[AW

— — ÈZF(i,1',s) cos[(i—i'u)e—1'(c'—cp) ]— F(,c',c) sin[(i— cé u)e—i(c'—cp) ] e HR Gi, i',s) cos[(i—du)e—i(c'— cp) —n]—G{,v,c) sin[(t —sp}e—i(c'— cpu) —n]

\ Hi i,s) cos[(—u)e—i(c —cu) +n] —H(ic,c) sin[(é—u)e—i(c—cp)+nl].

Remarque. — On tire des formules (a), (b) et (c), F(d,ce)+ 2 [G(+1,8,e) + H(i—1, à, c)] —=(B;, + A:)G(, d,c) + G À + Bi: + : A.) [GC —1,#,c) +G(i+i,r,c)] + (5. +- - A) [GE —2,1,c) + G(i+2,i,c)] + (- : Co + D, + : Ci) [S(i—1,1,c)—e(i+i,t,c)] + (D 10)le6—21,9—e(+a, 0e].

Or, les relations (16) donnent

[ J I B,+A;, —=—1, 0 Die 0 B:+ - A 1=0,

C0, Dre 10"

I I Die 2

= Co = Di =

Il en résulte donc

se | Far, s)i=— - [GG +, d,s)+H(i—:1,5,s)] — Ge c',s).

Les formules (a”) pourront remplacer (a) et (b) pour le calcul des F, connaissant les G et H.