COLE

,c)sine — T(2,c)sin2e —...

1, S)COS(Ee — n) + U(2, s) cos(2e — n) +...

J(r,c)sin(e— n)-—U(2,c)sin(2e — n) —...

+ V(o,s)cosn — V{o,c)sinn + Vi, s)cos(e+ n)-+ V(2,s)cos(2e

— V(i,c)sin(e + n) — V(2, c) sin(2e + n) +... On déduira aisément les valeurs des coefficients T, U et V des coefficients ®(7,s); on trouve, en particulier,

= er s I ons Lo, Sù— 5 ®( » $) — = D (2,5), V(o,s) — — MODE D(2,s), 2 un 2 En d’où résulte la relation (20) LTo,5—=—e\{(o,s):

En intégrant l'expression (19), 1l vient

T(3,s) sin3e +...

r : I — (2,5) sida 3

TP Lu € T(2,c)cos2e - 3 T(3,c)cosie +...

+ U(i,s) sin(s — n)- U(2,s) sin(2e — n) + à U(3,s) sin(3e — n) +.

+ U(i,c)cos(e — n) + - U(2,c)cos(2e — n) + : U(3,c)cos(3e — n) +... +eV(o,s)cosn —eV(o,c)sinn + V(i,s) Sin(e + n) + = V(2,s)sin(2e+n)+ > V(3,s) sin(3e+ n) +...

I T T9 9 + V(i,c)cos(e + n) + = V(2,c)cos(2e+n)+ > V(3,c)cos(3e + n) +...

On’a-du:reste u:—=1R;, d'où

-UÜ(G,c)+V(o,s)ecose— V(o,c)esine

de ET she : U (2, s)] sine + LV(8) +2 T(2,5) + 5 U(3,s)| sin2e

Mes) U(4.s)| ne de [TG e) + = U(?, °)| cose

Si l’on pose

fe NÉE T(, s) + 2 U(25), I 1 (4) ] Y(2,5) = Va,s)+=T(2s)+ 3 U(,5) VD Vs) DG.s) OU) 2 9 4 As T{r, €) + 5 U(2,c), (Æ")

Ve) =V(rose = T(2, 0) + 5 Lére),

il viendra enfin

— =U(,c)—eV(o,s)e — V(o,c)esine + V(o,s)ecose F È :

Œ) + Y(r,s) sine + Y(2,s)sin2e + Y(3,s) sin3e +... + Yi, c)cose + Y(2,c)cos2e+ Y(3, c) COS3E +.... 165. Ensemble des formules. — Réunissons maintenant les formules (D)

et(D,), (E)et(E,), (F)et(F,); nous aurons finalement | na= n+C+ | R(0, c) + K — : ki | €

+ (: — Let) H(o,s)esine + H(o,c)ecose

H(o,s)esin2e — ; H(o,c)ecos2e

H[RG,c)—H(o,c)+K,—eK]sine

ALOPEOLC +K|cose

Flo

Le | R (2,0) +- seH(o,c) se eki | sin2€ # Cf

— LR (2,9 & eH(0,s) — = ek, | COS 2€ è 4

+ R(3,c)sin3e— R(3,s)cos5e + R(4,c)sin4e — R(4,s)cos4e

LL SER(s,d,chsin[(é —dp)e -1(c—cn)l __ SER(i,d,s)cos[(é —iu)e—d(c'—cu)l].

2C'— eH(0, s)e — H(o, s)e cose + H(o,c})esine [Q(:, c) + H(o,c)—K;]cose + [QG,s)+H(o,s) —K,]sine

I ‘ Q(2,c)cos2e + > Q(2,s)sin2e

29 (1, 1,c)cos[(i— vh)e— fe cu)]

22S(i,d',s) sin [(i— vue — d'(c'— cu)].

= U(G,c)—el—eV(o,s)e + V(o, s)ecose — V(o, chesine + [Y(, €) + L]cose

V0. c) COS 2€

+ REX (22 S)sint(e— d'u)e—c(c — cu)]

+ AZY (it, c)cos[(i — d'uje—i(c'— cp).

Dans ces formules, &’ prend les valeurs + 1, +2,.... Onaenfin

(L) ST - nl+C—=E—esine.

166. Détermination des constantes arbitraires. — Ces constantes sont au nombre de sept, savoir :

K,.K,; K. GC, 0 et L:

Nous les déterminerons par les conditions W — o, quel que soit + ou n (vor le n°150, d3—0,v— 0, et enfin R — 0, quel que soit n. Soite, la valeur initiale de &, déterminée par la relation

En esiné, = c.

En réunissant les expressions (A)et(r5) de W, et exprimant que leur somme est nulle, quel que soit n, on trouverait des relations propres à déterminer les constantes dont il s’agit; mais il vaut mieux procéder comme Hansen le fait, car les calculs sont plus rapides.

Nous supposons que les éléments a, e, wetcsont osculateurs à l’époque 4 = o.

On a vu (p. 333) qu’en partant de la définition de W, on doit avoir W— 0, pour { — 0, quel que soit +. En réunissant les expressions (A) (p.358) et (15) (p.366) de W, on a une expression de W, qui est de la forme

W= A + 1 cos n + 2 sinn,

où À, # et 2 sont des fonctions de e; soient 4, w, et 2, leurs valeurs pour = o,oue—'e,, €, étant défint par la relation — es -+C, on devra avoir db5 + Vo9 COS Nn + Co Sinn — 0, quel que soit +, ou quel que soit n. Il en résulte les conditions

C2) Aie O0! UE 0; Su Où

La première de ces conditions donne la relation

> ARE I 0—=K + à H(o,s)e, + Fr, c)coses + = F(2,c)CcoSs269 +...

Ù [ = al PARTS Le] w Le LA un me = re) D om ©

+ F(r,s)sines + -E

+IY Par —— sin[(t— pe, —i(c'—cp)] 2e » per cos[(i— ue —1'(c'—cu)l; “Re pr >0S |. 0 J

la seule constante K, qui figure dans cette relation, se trouve donc déterminée. Les deux autres formules (21) donnent de même

{o=K,+H(o,s)e, + [G(i,c) + Hi, c]cose + [G(r,s)+ H(i,s)]sin &

+ - [G(2,c)-+ H(2,c)] cos 2 eo + = [G(2,5)+H(2,s)]sin2e

(8) a ete On OO EP RCE OBS 1 JA Er RS TEE EU End ds D re A A + be -- . : SIn[(t—1'H4)80 CE

Oo PE or ee Re | . > E rs — cosf[(é—iu)es —t(c'—cu)]; lo—K,—H(o,c)s + [G(Gi,c)—H(r,c)]sin &— [G(r,s) —H(1,s)]cos & ne = [G (2, c) —H (2 cIsinse— = [G( (2,5) — H(2.s)]cos2e, PR rene mn Polee toner duat de 0 rien e A re ei

(7) GE, 0H é,0

AU ed AU ee de Le 2 Me sin[(t—tu)e0 —t'(c —cp)] = DISC cos —dpe (een)

Les équations (B) et (7) donneront séparément les constantes K, et K.. Pour {4 — 0, nz + c doit coincider avec nt + c; donc alors, 3 = £, et la for-

mule (G) (p. 371) donnera

(d) 0 = C + LR CO, €) + K — : ek: | Én dus

et cette relation détermine la constante C, puisque K, K, et K, sont maintenant connus.

On doit avoir aussi v — 0, pour t = 0; l'équation (H) donnera done

CE) o—20— eH(o,s)e, + ...,

ce qui déterminera C.

En réunissant maintenant les expressions de R, données aux pages 362 et 370,

R mn on trouve que —— est de la forme $ COSt

—, A+ Vb'cosn + L'sinn.

On a vu d’ailleurs (p. 335) que la fonction R doit s’annuler pour £ — 0, quel que soit; si donc, on désigne par 4, W, et ©, les valeurs de , w, © pour € — €, On devra avoir

db, + Vb, Cosn + ©, Sinn —0,

quel que soit n; il en résulte, en particulier,

di 0 et GE 0, et ces deux relations donnent

po=l+eV(o,s) + [UÜ(i,s)+V(i,s)lsin & + [UG,c)+V(r,c)]lcos &

| +2 [U( 2,8) + V(2,s)|sin2es + = [U(2,0) + V(2,c)|cos2e, CAE PP LE CHE OA EN ee Ur Ce ee ee ec (n) | Uti és) + VUE 1, LS) + Lits) 2 ae Ho à > S— MA en sin[(i—cu)e —{(c'—cn)] U EE V Er e . , +- >> ae ; SA

Sr lF-

[o—=l—eV(o,c)+ [U(i,c)—V(i,c)lsin & — [U(r,s)— V(r,s)]cos &

à = LU (2, c) — V(2,c)]sin 260 — =[U(2, s)— V(2,s)]cos2e,

(£) RS RATS Rd tt te Ne Le de nr de TS ete be Ce nte de De de D FE RA = V( L LC ; è :

Me ira l; sin[(i= pu) es —1#(c— en) (ad,s) — Vii,i!,s) Lo re DU ; Es oe Cos [(i— tu) Er (ec — cu)];

on déterminera ainsi séparément les constantes Let Z,.

167. Nous aurions à parler d’autres Mémoires de Hansen, mais ce serait sortir du cadre de cet Ouvrage. Bornons-nous à citer :

Le Mémoire sur les perturbations de Jupiter et de Saturne, que nous avons mentionné déjà, page 313; il est très intéressant et présente un caractère d’élégance qui ne se retrouve pas toujours dans les écrits de Hansen.

Le Mémoire intitulé : Ermittelung der absoluten Stôrungen in Ellipsen von beliebiger Excentricidt und Neigung, Erster Theil, Gotha, 1843, dont une traduction française par Mauvais a paru en 1845. L'auteur s’est proposé de donner une méthode pour le calcul des perturbations des comètes périodiques. Les arguments des formules sont des multiples de l’anomalie excentrique de la planète troublée et de l’'anomalie moyenne de l’autre; les coefficients sont purement numériques. On applique la méthode au caleul des perturbations de la comète d'Encke par Saturne; la convergence obtenue est suffisante parce que le rapport

+ est assez petit. En somme, c’est la méthode exposée dans Îles trois derniers

Chapitres, qui repose principalement sur la considération des fonctions T et U. Pour les perturbations de la comète par Jupiter, le procédé serait extrémement laborieux, sinon impossible; du reste, la seconde Partie du Mémoire n’a jamais paru.

Enfin, le lecteur pourra consulter, dans les Astronomische Nachrichten, n°5 166-168 (1829), le premier Mémoire de Hansen : Disquisitiones circa theoriam perturbationum que motum corporum cœlestium affictunt ; il y trouvera les premiers rudiments des Méthodes que Hansen a appliquées durant toute sa carrière à la Lune, aux petites planètes et aux comètes; tout y découle d’un même principe.

Le Tome IV des Astronomical Papers de Washington est consacré entièrement à la théorie des mouvements de Jupiter et de Saturne; l’auteur, M. Hill, astronome du plus grand mérite, dont nous avons retracé les recherches sur la théorie de la Lune, a appliqué pas à pas au cas actuel la méthode de Hansen pour Îles perturbations des petites planètes, en ayant égard aux termes du deuxième et du troisième ordre par rapport aux masses; le succès a couronné ses efforts. Pour en parler utilement, il nous aurait donc fallu ajouter à ce que nous avons dit de la méthode de Hansen tout ce qui concerne le calcul des inégalités qui sont du second ou du troisième ordre par rapport aux masses; nous ne l’avons pas fait de peur d’allonger démesurément ce Volume.

168. M. Gyldén, l’éminent directeur de l’observatoire de Stockholm, a élaboré, depuis quinze ou vingt ans, une méthode nouvelle pour calculer les perturbations des petites planètes. Il a été suivi par de nombreux élèves parmi lesquels nous citerons : MM. Backlund, Harzer, Bohlin, Charlier, Masal, Brendel, Max Wolf, Olsson, etc. Il serait impossible de rendre compte de tous ces travaux dans l’espace, forcément limité, que nous pouvons leur consacrer 1e1, et nous devons nous borner à donner une idée des choses les plus importantes.

Il convient toutefois de dire dès à présent que les méthodes de M. Gyldén ont pour but d'empêcher le temps de sortir jamais des signes sin et cos, comme cela arrive dans les méthodes de Le Verrier et de Hansen, et elles donnent le moyen d'obtenir ce résultat qui avait été atteint dans un cas spécial, la Théorie de la Lune, par Delaunay. On sait maintenant le démontrer par d'autres voies dans le cas des planètes, comme on le verra dans le Chapitre XXVI de ce volume.

En outre, M. Gyldén prend pour variable indépendante non plus le temps, mais la longitude vraie comme l'avaient fait Clairaut et d’Alembert, et plus tard Laplace et Damoiseau, dans la Théorie de la Lune.

Dans le cas de la Lune, l'expression du développement de la fonction perturbatrice est assez simple, relativement à la longitude vraie de la Lune, parce que les arguments qui contiennent des multiples élevés de cette longitude sont affectés de coefficients très petits; cela tient à ce que la distance de la Lune à la Terre est petite par rapport à la distance de la Lune à l’astre perturbateur, le Soleil. Quand 1l s’agit d’une petite planète, la planète perturbatrice principale

5 ; . sue ‘| qui, dans le cas de la Lune, était voisin de ==; est

a ici compris entre 0,4 et 0,8. Néanmoins, le développement est plus simple que quand on emploie la longitude moyenne au lieu de la longitude vraie.

M. Gyldén et ses nombreux élèves se sont préoccupés surtout de déterminer les orbites absolues des astéroïdes ; ce sont des orbites dans lesquelles on a tenu compte des termes séculaires et des termes à longues périodes, de sorte que, si

MÉTHODE DE GYLDÉN, 397

elles sont déterminées avec précision, on pourra s’en servir pendant très longtemps pour caleuler les positions de la planète, qui ne s’en écarteraient que de petites quantités périodiques. Ce serait un point d’une grande importance, car le nombre toujours croissant des découvertes d’astéroides empêche de consacrer à chacun d’eux une théorie complète.

Remarquons encore que la condition que l’on s'impose, de ne jamais faire sortir le temps des signes sin et cos, implique que les perturbations séculaires des éléments de Jupiter doivent être représentées, non plus par des développements de la forme

do + lt+ al +...

rapidement convergents pour un assez grand nombre de siècles, mais par un ensemble de termes périodiques tel que

sin sin db + db dE + G —+- bo CPYA G, Alerts 0 re (gi 1) . (got + G2) + ;

cet ensemble résulte, comme on l’a vu, Tome I, Chapitre XXVI, de l’intégration rigoureuse des équations différentielles dont dépendent les éléments des grosses planètes, en ne considérant que les termes séculaires du second ordre par rap-

PR à Pre or DT Ia ; port aux excentricités et aux inclinaisons; les périodes => = +: des divers ü1

termes sont d’ailleurs extrêmement longues, au moins 50 000 ans.