Développement de P et de Q. — On a

P=—m'r? LE

et, en se reportant à la formule (17),

| y = ’ , ia ie n°)25(—1)"Q(n,s,s'),vp"!p"nn"#"cosnH.

Si donc on pose (2) 22(—1)P(n,s,s')vpo""nn'#" cosrnH,

on aura, par la comparaison des deux valeurs de P, et en changeant dans la première, d’abord s en s +1, puis ven v—1,

(21) P(n,s,s'hv=—(s+i) Qin,s+i,s )h,v + Q(n,s+1,s'); 1, On a ensuite

Ds A OS __1—n? daQ m' a(i--n) de (1+p}? dv

en ce PL À (1+p} — 1)G(7, S, S')v,vp°p'S pue à

dcosrH dP

MÉTHODE DE GYLDÉN. 387

On pose

0 cosnH po \ ! Sn Sen 2Ven 2V es DR 22(—1)Q(n,5,s"),v Fab Sn de

En comparant ces deux expressions de Q, après avoir développé dans la première (1 + p)-? suivant les puissances de p, on trouve

(23) | O(n,s, sky On, s su an, s 1,54 Æ20 (ns 2,8) 1.

—- Q(n, S, Ca AS —92Q{(n, SES I, S')v—1,v +3Q(n, Si 2, Sa eee .

Il ne faut prendre, dans le second membre, que les termes pour lesquels les indices s et y sont positifs. Nous supposerons, pour simplifier, les inclinaisons nulles ; nous aurons alors

9cosnH

9, de

nsinn(p — 6’),

et les formules (20) et (22) deviendront

P —2m'2(—:) Pan, s,s!),.vpsp's nn" ecosn(e —v!), (24)

l'O—=amni(— rt nO(,s, Shwpr0 nn -"sSinDratr — 0).

Les coefficients qui figurent dans ces formules s'expriment simplement, par les formules (21) et (23), à l’aide des coefficients analogues dans le développement de Q.

Pour voir comment on tient compte des inclinaisons, nous renvoyons le lecteur à un Mémoire étendu de M. Olsson, Ueber die absolute Bahn des Planeten (13) Egerie, Stockholm, 1893.

173. Temps réduit. — Il s’agit de voir comment on exprimera { en fonction de ». Reprenons la formule (b), et posons-y

14 k (25) er

n sera une constante absolue, et il viendra

n dt 1 (1 — n°)?

de (1+p}

Soit (9) la partie de p qui ne contient pas le facteur »° et est de l’ordre de

l’excentricité. On a (p)=meos(e 0):

mais, à l'exemple de Clairaut et de Laplace dans le cas de la Lune, M. Gyldén

introduit dès maintenant le mouvement moyen du périhélie, lequel est de la forme çnt, et nous le supposerons représenté par çv; la longitude du périhélie sera donc égale à & + çv, et nous aurons

(27) (p) == 100 (PC mn);

le coefficient « est extrêmement petit; (0) est ce que M. Gyldén appelle a partie élémentaire de p; n et & contiendront le reste des inégalités séculaires mises sous la forme de termes à très longues périodes; on pose ensuite

(28) p=(p) +R, et R sera de l'ordre de 7’. La formule (26) donnera

nal...

HR au.