PES
MÉTHODE DE GYLDÉN. 391
on aura de même
(36’) n't+A'—= 06 + en 2B;sinc(e — c'e —m')+ W'—X, (37') Nr 2 feos(s'—s'")dn' sim — 2 fsin('—s"e d.n'cosw”’. 174. Expression de ‘’ en fonction de v. — KEliminons # entre les équa-
tions (35’) et (36’), et posons pour cela
(38) U—= —; B —A'—kHA, U=p(W—X)—(W'—X);
nous trouverons
à = È I FR :
2B;sinc(o—çe—w) ee ZB;sinc(e — c'e — 5).
(39) s'=pe +B+U +
Il s’agit de tirer de là l'expression cherchée de e en fonction de ». Posons
(40) p—çsr—m=V, p— uv —w — V', ï LHeuwreB EU, D pl
nous aurons c'e —ç'(ue +B+U+...)=prs+...,
pt —ç'oe —m —=V'—H,
et l'équation (39) donnera
: Re I A AE D 2 SD cimeN — 2h ainsi); ee Fe c’est de là que l’on tirera H en fonction de w, v et #'; on pourra employer la méthode des approximations successives; on aura d’abord
Mes 1 RU Eee a 0 ME H we SE siuiv — ; 2Bisin { éw—{V— É- 2B,sineV); I — 6 [ — 6 —
et ainsi de suite. Nous nous bornerons à
2 2 (41) H = + ne n sin V + - - n'sin(æ — V').
Te 6
On en conclut, au même degré d'approximation,
27 : 2n . ‘ cos n H — cos nr w — ÊE n Sin V + A n'sin(æ — vr| sin w, c =
; ; an , | sin 2 H = sin x w + EE ñn sin V +
n! sin (æ — vr)| COSn2Ww,
nl Al
ou bien
n | cosn H = cos rw — = n cos (rw — V)+ Ê ui cos(nw + V) S ie
(42) re n'ose 0m = VTe n'cos[(a —1)æ + V'];
Par
n sin(næw + V)
(43) ve sin [(x row. : — n'sin[(x — 1)æ + V'].
| sin x H — sin rw — ñ Sin (aw — V) +
Il s’agit d'en déduire les développements de P et de Q. La seconde des formules (24) donnera
Q—=—92m'ÈnsinrH[Q (2, 0, 0),0 + Q(2, 1, 0)0,0 2 + Q(2, 0, 1)0,0P°];
on doit remplacer p et p’ par
D nCos Vs p—=n'cos(æ— V'), ce qui donnera, en négligeant & et ç’ dans les diviseurs,
sinnw — pnnsin(nw — V)+pnnsin(rw + V) + nn'sin[(r +1i)æ—V']— nn'sin[(r —1)æ + V']
— = —2nQ(n,0,0), |
m — 2nsinnwQ(n,1,0)0,0 0 C0SV
— 2nsinnæwQ(n,0,1)o,0nCos(æ — V'), si l’on pose
A,,0(2, —n)sinnw + Ai0(2 +1, —n)nsin(rw + V) + Aso(n—1,—n)nsin(næ— V) + Ain, — n+i1)n'sin[(n — 1) + V'] + Ao1(7;, Reis 1)n/sin[( + 1)æ — V1
On trouvera sans peine, en comparant à l'expression précédente de
| A,o(72, —n)—=—2nr Q(n,0,0)0,0»
Aso(n+i1, —n)—=—2upnrQ(n,0,0)00 — 2Q(n, 1,00) Aio(r—1,—n)=+2pn Q(n,0, 0)o,0 — RQ(AR, 1, 0)0,0) Aoatn,—n+1)=+2 n°Q(n,0,0),0 — RQ(n,0, 1)o,0»
| Aou(n,—n—1)=—2 n'Q(n,0,0),0 — 2Q(R,0,1)00:
a © ae
MÉTHODE DE GYLDÉN.
On a ensuite, d’après la formule (23),
Q(z, 0, O)o,0 il 2(n, 0, O)0,0
Q(n, 1, 0)o,0 = (7, 1, 0)0,0 — 2Q(7, 0,0)5,) Q(n, O, 1 )0,0 = 2(n, 0, 1)0,0 d’où, en ayant égard aux formules (19), Q(n, O, O )o,0 en nur, QE ok Car a) y AE Qt dihot Qtrh 7
Il en résulte enfin
Ao(ni, —n)— (n?+aon— S En pe je AR.
(46) lAs(n—i,—n)= (nt+2n+apn)yf +2nyr:
A5:(7, —n +a) = (n2— n)y$) — any", Ait, —n—1)=— CR7E ue RU Es 21 Y : : mans Au lieu de y”, il faut prendre y, — = «*.
On aura de même EN 2 — Boon, n)cosn#, m :
(47) + B;o(2 +1, — n)nCcos(r# + V) +Biotn —1,—n)ncos(nm— V)
-B,,(n, —n+r)n cos[(r —1)# + V'] + Bon, — nr —1)ncos[(r + 1)æ@ — V'];
et l’on trouvera assez facilement
AE
Boo(7, nan
Bifnpr,-n)=( mr Tt Fe (—4n—6+4pn)y} —8y;", MF Mn) (6 nm ni PR CREER kpn)y® — 8%,
( B,,1(22, Se Le (n° n)y® + de 67" A ay), én, =n—=1)=" (an + m)yN ECS GS QU Ca
[1 faut remarquer que, pour r — 0, les expressions des B doivent être divisées par 2
Remarque. — Soit à l'argument général du développement de Q; S sera une combinaison linéaire, avec oi bidS entiers, des trois arguments partiels w, T. — IV. 50
