CIE

Fi Ml amy) + m'[6yT + 8yS/1ncosV

Spa [ ne nie 6) + sys | n! cos V’.

— HS

On peut supprimer la partie constante, ce qui reviendrait à une modification de la constante a, remplacer n cos V par p et poser

(5) B—im'|6yol es, fe 4 :

(6) — y=m Ea( +6) +8] On trouve ainsi, en mettant (p) pour la partie élémentaire de p, d?

(7) EX) La Bye) = ya/eos ft — pBe)v —w"T:

Nous aurions pu faire le calcul ci-dessus en nous aidant des résultats obtenus au Chapitre précédent; mais il y avait de l'intérêt à le faire directement.

176. Intégration de l'équation (7). — Soient e’ et w’ l’excentricité et la longitude du périhélie de Jupiter; ona vu (t. I, Chap. XXVI) que e’ et w', en tenant compte des inégalités séculaires causées par Saturne et Uranus, sont déterminés (‘) par les formules

{ e'sinw'—x"sin(gt + G) + x, sin(gié + Gi) + x, Sin (get +

Ga);

| el cosw! = x'cos(gé + G)+ x cos (gré + Gi) + 4, COS (Sat + Ga)

Les coefficients g, g, et g, sont très petits; nous donnons leurs valeurs plus loin. Posons

(9) ne ar Er 0 les formules (8) deviendront

(8) {e'sinw'— x sin(ps!e + L') + x, sin(ps;e LEE x smtper la);

| e'cosw!= x cos(uce + L') + x, COS(pe ? + F\-raecos(uer CF).

Le coefficient x’ est plus grand que la somme des valeurs absolues de x», et

(1) En laissant de côté les perturbations causées dans le mouvement de Jupiter par Neptune, Mars, la Terre, Vénus et Mercure.

de x,; donc (t. I, p. 418) sv + [est la partie non périodique de w', de sorte que, si l’on fait

(10) et NUE SA

& se composera seulement de termes périodiques, mais de périodes très longues ; la quantité £’ définie par la première des formules (9) est donc identique à la quantité ç’ introduite antérieurement. Si l’on met ñ'au lieu de e’, on déduit aisément des formules (8')

{ n'cos(m" —T')— x" + x! cos[(ue, — us')e + —7] + #3 COS[(H 6, — pe!)e + TL, —T'],

Fa n'sin(æ' — [') — 4 Sin (Us ue)? —T'] \ + *, sin [Que —uc)e LT — [’].

On peut écrire aussi

n'Cos[(1— pe)e — w/] — x" COS[(1 — pe')9 — T'] + x cos[(1 — PSS CES VE ES

RG nee ess ne he Tes Seche T Te.

moyennant quoi l'équation (7) devient

Lea TE) FU —B)(p)= yx'cos[(1— pe')o — 1]

+ ya COS [(r — pue )e — I" ] + Ya COS[(1 — us,)o— T!].

C’est une équation linéaire du second ordre, à coefficients constants, et avec second membre. On sait que son intégrale générale sera de la forme

| (Dex cos(oVi—B—T)+acos[( — us) —F] + a1COS[(1—ue,)o—T] + a: COS[(1—pe,) 6 — T1],

où x, et l'sont deux constantes arbitraires. D'après ce que l’on a supposé, p.568, on doit prendre

14) Vire, Dé cr

Les coefficients a, a, et a, s’obtiennent en écrivant que l'expression (13) vérifie identiquement l'équation (12). On trouve ainsi sans peine

à [1 —6)—(1— pe} ]—=yx, As) —(i—ps,)]=yx,

EE et a 6m 1 A

té nest dan uns

Si l’on pose encore

T—-—6 — ) n n [A n To é dj ie (19) D à [A :

FA nm ES S2 Gore REY n° n

on trouvera que la formule (13) devient

et ee — a a en (16) ne à cos[(1— oc); —T] | = Cos[(1 — c)r2--F, |:

177. Détermination des constantes arbitraires x, et T. — Reprenons l'équation (16), en l’écrivant ainsi (17) (p) = x Cos[(r — s)e — T] + D a; COS[(1 — o;)e — F;],

8 A bn 0 no de ot

On doit avoir aussi

(19) (p)—=ecos(s — IT),

en désignant par IT la longitude variable du périhélie. En égalant les coefficients de cose et de sine dans les deux expressions (17) et (19) de (6), on trouve

. e COSII — x, cos(se + FT) + Za; cos(o;e +),

| esin—x,sin(se + FT) + ZXa;sin(o;e + TV).

Soient e, et s, les valeurs initiales de e et de IT à1 ÿ — 0; on aura

époque qui correspond à

eo COS Do — %0 COST + Za, cosF,

e, Sinw, = *%, Sin V + Za; sin F;

Fe { x CosT — e,cosw, — Za;cesT;,

(x sinT —e, sins, — Za;sinl".

En portant ces valeurs dans la formule (17), il vient

(p)}= ecos[(1—<s)e— mo] — > a; Cos[(1 — s)e — T°]

EE > à; COS[(1 — 5;)9 — F;];

ou bien encore

(PS) 50e mess 0e + 2Zaisin (

Pendant un intervalle de temps pas trop grand, mais qui peut être cependant de plusieurs siècles, on est en droit de se borner à

La formule (23) devient alors, en remettant pour a; sa valeur (18),

(p)=ecos[(i—5)e—m] +6 D Ti — ES) p ME

on pourrait même prendre

=> 24) (p)=ecos[{i—<) —m] + = ve Ÿ yxisin fe

Mise en nombre des formules :

ace,

x, == + 0,003.057 Ge —. 197.90 ,28

Ces nombres sont empruntés au Mémoire de M. Max Wolf, Sur les iermes élémentaires dans l'expression du rayon vecteur (Annales de l’observatoire de Stockholm, t. IV); l’auteur applique ses formules à Cérès. On a, page 9 (loc. Cu..),

EYE 2,987:28, LYS — 20774010 Le ,355 00, 1 YA 26, 708.01,

SUITE DE LA MÉTHODE DE GYLDÉN. Aot

Onan— 770,411, en un jour; les valeurs de g, g,, g, sont exprimées en prenant l’année julienne pour unité ; done on doit prendre

on trouve ainsi La—5,198.21, lo —5,902.86, Lo, —5,004.33 ;

5,5, ets, sont, comme ç, des nombres abstraits. On a ensuite

e) = sin 4°22!37", Le, —2,882.6, et il vient Éto)== C2:882.62 cost 2) — 0] — (6,741.36)vsin LC: — — p — r' | (25)

2 (6: 307.99) sin lt — HAE 77 2 1

Fa G:596.49)esin | ( T — AS )o r, |

On peut remarquer que, dans la formule (17), les coefficients a; sont relativement considérables, à cause des diviseurs 5; — ç qui sont très petits. On a, en effet,

g —0;000.018.49, 5 —ç6ç——0,000.188.67, Ji —0,000.079.06, Ti—$S——0,000.122.14, Ca == 0,080! 010,10; Ca2—ç——0,000.192.00,

ét 0000020810, et il en résulte

| (o)=%c08[(1—ç)6—T]+ (2,465.66) cos[(1 —s }e — ['] (26) { (5 ,2r4.07) coslti = c)e 21] | + (8,313.19) cos[(r — 0)? —T,].

C'est après la détermination des constantes arbitraires que, dans la formule (23), a, se trouve multiplié par le facteur

“+ OÙ me 2SInr-

qui, même pendant plusieurs siècles, est très petit. Ainsi, pour Cérès, eaugmente 1 4) 51

de 78,165 en un an; au bout d’un siècle et de cinq siècles, le facteur 70 »

268 — y atteint les valeurs respectives — 0,026 et — 0,128. M. Wolf a,

dans son expression finale, des coefficients voisins de ceux de la formule (26), et non pas des coefficients réduits comme les nôtres.

La différence, très sensible comme on voit, tient sans doute à la façon de calculer les constantes arbitraires x, et T. L'auteur emploie, pour cette déter-

mination, les équations

(P )o = €o COS (Po — Do)» (4) — — € Sin (Po — Do)» FA

e, désignant la valeur de # à un moment donné. Il en résulte, d’après la formule (EP), #0 COS[(1 — 6) 0 — T1] + Za;cos[(1-— o;)r9— T5] — €0 COS (fo — So)

— x(1—6ç)sin[(r —ç)v0—T]— Z(1—0o;)a;sin[(r— 05)#0— Ti] — 60 Sin (9 — So):

Ces deux équations donnent, quand on néglige dans la seconde les petits facteurs 1 — ç el 1 — 5;,

x COST — e, cos(mo— 60) —Za;cos[(o;—s)#,+T],

x SinT — €, cos(m, — 6P9) — Za; sin[(o; —s) #0 +],

et ces valeurs peuvent être considérées comme pratiquement identiques à celles que nous ont fournies les formules (21).

Nous remarquerons au surplus que la formule finale de M. Wolf, pages 49 et 5o (loc. cit.), donne pour (b) une expression composée de vingt-neuf termes dont les quatre premiers ont les expressions suivantes (après des simplifications insignifiantes ) :

(p)— (2,612 50) cos[(1 —ç) v—T] . (2,471 73) cos[(1— os) e —["] + (2,225 98)cos[(1 — a)» —T'] + (3,328 88) cos[(r — oc)? —T,]

Les termes suivants, qui n’ont pas été écrits, ne sont pas égaux à la — partie de ceux-là. On aura, pendant un temps assez long, une valeur très approchée de (2) en négligeant 6, 5, o, et o,. On trouve ainsi

(= (2,612 50) cos(o —177035/) + (2,471 73) cos(p — 25054!) F5 (2,225 98) cos (v — 306246!) + (3,32888) cos(r — 97°52').

Mais le premier terme est fautif parce que M. Wolf, dans le calcul des constantes x, et L (page 19), a confondu la longitude #, avec l'anomalie vraie

(#, — ©,). En rectifiant cette erreur, on trouve l.x, — 1,0947 LL = 99 20a peu près, et le premier terme de p devient

(1,0347 ) cos(v — 157024).

L'expression de (2) peut alors se mettre sous une forme voisine de (p)=e cos(r — m5) — (2,882 62) cos (P — 149° 22’).

On peut remarquer l’analogie de ce qui précède avec ce que nous avons rencontré (p. 56 de ce Volume) pour les satellites de Jupiter; des coefficients considérables, quand on emploie des expressions rigoureuses avec des termes à longues périodes, se réduisent à de très petites fractions quand on embrasse un intervalle de temps limité, en développant suivant les puissances de £.

Remarquons encore que l’on à

De sie

FF he pa (oi op ne 2 2{

(ane

Le rapport du second terme au premier, qui est ur valeur absolue,

reste encore inférieur à + au bout de mille ans.

178. Calcul des termes à courtes périodes de #. — L’équation (A) du Chapitre précédent sera réduite ici à

(27) PR pa$- Pre d>

dv dv

s—— fQ4r.

dé dUphare, A ee a nsin[(i—çs)r —w].

On pourra prendre

P est développé en une série de cos, Q en une série de sin; done le second membrè de l'équation (27) se développera en une série de cos, et en appelant, comme précédemment, B le coefficient de n cos[(1 — 6)9 — |, on aura une équation de la forme

d'p DS

Ge Ds +GU—B)p=2H,,(2, n'hssnn* Coss, | S —=(v+p'+ ns + nie }OEA, (29) A=nw+n'o+71'B,

v+vw+tn+n—=0o, s=|n|+26, s'=|.n | + 26".

La signification des diverses quantités est la même qu'à la page 394, sauf que v et v remplacent « et a’, nr et n' remplaçant aussi 6 et G.

4o4 CHAPITRE XXIV.

En faisant (50) P=(P) TR, et défalquant du signe E, dans le second membre de l'équation (28), le terme pour lequel $ = (1 — ué')e — ©’, on trouvera

(at) ie BR == 2H; (2, #'); nn" cosS.

L'expression de R sera de la forme RE ZR,y(n nn n "cos,

En substituant dans l’équation (31), on trouvera, pour déterminer les coefficients R,,(2, n').,, la relation

A, (2, no.

see À,v(z, n')

où Avr, 7) 1—6—(v+vup+ns+ n'uc).

On pourra prendre le plus souvent (34) bwCn,r')=1—(5 + pu),

Donnons d’abord à x et x’ les valeurs zéro; s et s’ seront égaux à o, + », +4,..., et, si nous négligeons le carré des excentricités, nous pourrons prendre s—0,s =—0; par suite

S = (v + pv!) 0 + v'B.

La relation v + v' + 7 + n'— o donnera d'ailleurs

= y, d’où S=v(1—u)e — VB.

Il en résultera

| R — Ro,o(o, 0)o,0 ne R;,-: (o, 0)o,0 cos[(r er b.) or B] (35) + R2,-2(0, 0)o,0 COS[(2— 2u)v — 2B] | + R,-3(0, 0)0,0 COS[(3 — 3u)v — 3B]

Donnons maintenant le détail des termes du premier ordre par rapport aux excentricités ; s et s’ devront être au plus égaux à 1 ; donc

Sen DR PAR LS

en outre, l’un des nombres entiers » et n’ devra être nul, et l’autre = +1. De là les combinaisons suivantes :

I. R,y( o, 1han'cos[(v+pv'+us')0 ++ v'B], v+v—— 1, IL. RovGiis ohomeoslt Punec) pm ob + v—=— 1, IL. Roi) cos ue) Cube V+HV—=+ I, IV. Rouet, cohencosfé Prec) ee vBlL DU ER On peut convenir de prendre toujours v > 0; laconditiony+v = 1 donne alors VO Up: VER v'—— 2; din v'= — 3;

We 0, Vas DT, We 0; V0, v'——1);

On trouve ainsi, en réduisant en un seul les termes dont les arguments sont égaux et de signes contraires, et omettant les arguments employés dans la formation de (o),

UR=. R ,(10o)onecoslh-2prce)rte 281 LR (ohne use +e—Ss8B]

+R (—r,ohoncosf(i—n—<)r—0— B| Ris (—1,0)ion cos[(u —s)e —0ù +<B]

(36) + Rio, 1h cos[(i—2u+m')r+s —2B]

Re (0, 1)aincosl( 3 +) +e 48]

+ Ro,-1(0, — 10,10 COS[(2—p —ps'}9 —w — B] + Ron (0, —1)onn cos[(u—us') v—w'+B]

MAR A Era enetene ere Meme ner pese ere ie) ve ee lens gene er eee STE ee nee ete

La valeur de R sera la somme des expressions (35) et (36).

M. Masal a construit (Annales de l'observatoire de Stockholm, t. V) des Tables donnant les valeurs de R,,(0,0),, pour les valeurs 0, 1, ..., 5 de v avec l’ar-

«a . .s Q 5 gument logo = log = qui, pour les 250 premières petites planètes, reste com-

pris entre 1,600 et 1,850; d’autres Tables donnent les autres fonctions R;; qui figurent dans la formule (36). Quelques-unes de ces Tables ont dû être calculées avec plus de précision que les autres; par exemple, R,,,(0, 0), accom-

pagne l'argument (2 — 2u.)e — 2B; pour les planètes, très nombreuses, dont

le moyen mouvement diffère peu du double de celui de Jupiter, pr est voisin de 55 l'argument en question diffère peu de » — 2B, et son coefficient se trouve fortement agrandi par l'intégration; il en est de même de R,,;, car l’argument (2—3u+uc)e + — 3B diffère peu de » + æ — 3B, quand y est voisin de ce qui correspond aux planètes, nombreuses aussi, dont le moyen

mouvement est à peu près le triple de celui de Jupiter. Enfin, M. Masal a calculé des Tables donnant les quantités fondamentales 6 et y des formules (5) et (6), qu’il représente respectivement par

Ciot— T, 0)1,0 == R;,0(— 1, O)1,0