SE) | 0P

£ f dæw\? d'æ = AnUR L,\0, 0) cosn® | ] —2nkR;-,(0,0) sin dy) ; dv?

rer \ 2 . d?w k à — (3 . . Bin cos(3æ— V) — 38, = 1 Sin(om V) dv p2 \

ds ds ee Up pe AT (3 = eo Ban’cos(3w —V') — 38, a Toner v)

On a ensuite, page 409,

dsw dW de a Ab

et, en ayant égard aux équations (38) et 47), on peut faire D) / AN ; ; : à D = 2W,,-2(0,0)cosnw—26n COS (Om V) = 26 n cos eV) On en conclut div SW T\ RAT 9 T1 mou 2W,,n(0,0)cosnæ + 2pBn cos(3æ —V) + 2H52n COS(3æ —V'),. [4 ) On a posé

SR 1 +0; on trouve aisément

21 0)6nsintiæ V,

ie p.)? — 2 LL (4 SE L) ZW, (o, 0) COS 2W

+4p(i—n)Bin Cos(3æ —V) + Au —LÉn costs eV),

0) —6(1—d)pEW, ,(0,0)cosnw

H1I2U(1— 0d)6, n cos(3æ —V) T2 Br 0), 1cos tie =V).

I faut substituer dans l'équation (23), et garder seulement les termes de la forme et de l’ordre voulus: on trouve

AMAR (60) )2nR,.,(0,0)cosnw

—9R;,-:(0,0) cos3æmx4u(1— B)LBincos(3—V) +B;n'cos(3æ —V')] = Me p) 2h, (0, 0) cosrw

—18u(1—pu)R;,;(0,0)(Bin cos V+ Ben’ cos V'):

-2n Rh, (00) =3R (0, 0) Sin3æ Xau(1—p)[B,nsin (35 — V)+ Ban'sin(3æ—V"] ET 3p4(1 Sue d)R3,3 (0, 0) (Bin COS V— Ban’ cos V'):

SUITE DE LA MÉTHODE DE GYLDÉN. EI de)

— (3 =. — 1) Bin cos(3% —V)——G;ncos(3æ —V) X [(1—0)?— 6p(1— 0) W:,3 (0, 0) cos 3w] —— (1— 0) B,ncos(3æ —V) + 3u(1 —0) W,,,(0,0)B;ncosV;

— 36: La n sin (3w —V) —— 36,nsin(3w—V) x 3u(1—p) W;,-3 (0, 0) sin3w = — ? pi p) Ws,: (0,0) Bin cos V.

Il vient ainsi

a = ——(1—-p) ÈEnR,,,(0,0)cosn« + [3u(r—0)—18p(1—pm)1B,R;;-;(0,0)n cos V + [3u(i1—0)—18u(1—1m)]B,R;-3(0,0)n'cos V' — (1— 0)? Bin cos(3 —V) + ATOS — À 2 mi — p)] B,W:,3:(0,0)n cos V — (1— 0) Ben'cos(3w—V')+ | 3u(r — d) — u(1 — | B2W3,-3(0,0)n! cos V'; on a 3u(1 — À) — . p(i—p) = — . U,

ce qui est très petit, et l’on peut supprimer les deux dernières lignes de l’expression précédente. On trouve ensuite, en ayant égard à la eme an

a R—Z2[i1—n°(1—u)]R,,-,(0,0) cosnw no + (29 — 0) Bin cos(3w —V) + (20 — 8) Ban cos(3æ —V') | — (14+0)(3—0)B1R;,-:(0,0)n cos V

— (1+0)(3 — d)B:R3,-3(0,0)n! cos V’.

Dans les deux dernières lignes, on pourra faire à — 0. La comparaison des équations (5o)et (54) donne

(59) [r Fr LAC Et Re (0,0) DE 2 80,0 (23 — n) Fra Boo (72, — n), (56) (20 — 0 94 —iC;, (30.0) Ci:

C; et C, sont, comme on le démontre, des fonctions linéaires de 8, et de 6, ; de sorte que les équations (56) sont du premier degré en 6, et 6,, et déterminent ces quantités. On trouve ainsi

2(1+ 8) A4,0(2;—3) — Bi,o(2; —3) + = Ao,0(3 — 3)

ms Ur La 20 — à? Be (6:06)

MALT ME RCA er LES

L'équation (55) donne ensuite, pour 7 — 0, Ro,0 (0,0) — 285,0(030) — B5,6(0; 0) ; en combinant cette relation avec la formule (49), il vient

KR, (0,0) == ï B,,0 (0,0) ; So,0(0,0) —

Enfin, la soustraction des équations (50) et (54) donne, pour déterminer (»), une équation de la forme

d(p) dv?

+. (1 — di) (p) = ban'cos V'; mais nous ne nous arrêterons pas à l'intégration de cette équation, qui a été considérée en détail au commencement de ce Chapitre.

On obtient ainsi les résultats qui concernent la première puissance des excentricités ; M. Brendel détermine ensuite les termes du second degré; mais les calculs sont plus compliqués et ne sauraient trouver place 1c1.

182. Nous ferons cependant une remarque importante: dans les diverses approximations, S est déterminé par des équations de la forme

— ZA, sin(À,r + H,),

où À, contient »’ en facteur; si À, est aussi de l’ordre de #', on voit qu'il en résultera dans S un terme d’ordre zéro.

En calculant W par l'équation

on trouverait un terme contenant =’ en dénominateur. Ces termes ont êté nommés par M. Gyldén Ayperélémentaires ; ils seraient très génants, mais heureusement ils se détruisent. Une circonstance identique s’est présentée à Laplace dans la théorie de la Lune. Pour ce qui concerne les termes hyperélémentaires, nous renverrons le lecteur aux travaux de M. Gyldén et aux Mémoires suivants de M. Backlund :

Ueber das Auftreten von hy perelementüren Gliedern in der Siürungstheorie (Bulletin de l’Académie de Saint-Pétersbourg, t. VI, deux Notes). Ueber die kleinen Divisoren bei den elementären Gliedern in der Theorie der Planetenbewegungen (Astron. Nachr., n° 2920 ).

Parmi les termes dont se compose l’expression de # en fonction de ?, notons les suivants, trouvés par M. Brendel,

(56) nt—...-+ 239,67 sin — 220,59 sin db, + 20°, 38 sin db:,

où les coefficients &, &, et A, sont de la forme «ep + x’, &« étant extrêmement petit. On ne peut s'empêcher d’être frappé de la grandeur des coefficients ; cette grandeur tient à ce que l’on a intégré une expression telle que

acos(gt+b)+a,cos(git+ bi) + a:cos(goé + be),

provenant de la théorie des inégalités séculaires; l'intégration introduit les très petits diviseurs g, g, et g,. [l nous semble que des expressions de cette nature ne devraient pas être intégrées sous cette forme dans l’état actuel de nos connaissances. La période du terme en sin & n’est pas inférieure à 27000 ans, et les autres sont encore plus grandes. Dans ces conditions, nous pensons qu'il serait préférable de développer en séries sin &, sine, et sin, suivant Îles puissances de # ou de #, et de ne conserver que le terme en £ et peut-être celui en £? [je trouve qu’au bout d’un siècle, le terme en #?, dans la première partie de l'expression (56), est inférieur à o”,2]; tous ces termes à coefficients énormes n’auront pour effet que de modifier la longitude moyenne de l’époque et Île moyen mouvement.

M. Charlier avait cru ( Véerteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft, t. XXV, p. 196) que l'expression de rt devait contenir un quatrième terme ayant un coefficient de 45°,61. M. Gyldén a montré (même Volume, p. 315) que le coefficient du nouveau terme est seulement de 13°,8, quand on fait un calcul correct. Quoi qu’il en soit, il nous semble que les termes dont il s’agit doivent être évités; c’est ainsi qu'on n’a pas cherché à exprimer l’accélération séculaire de la Lune avec une série de termes à très longues périodes, ce qui serait facile cependant, car la variation de l’excentricité de l'orbite de la Terre, cause de l'accélération, s'exprime, comme on sait, à l’aide de termes de cette nature. Il resterait enfin à considérer la question de convergence des séries de la forme (56); on sait, en effet, que M. Poincaré a démontré que la convergence absolue n’existe pas.

La méthode de M. Gyldén paraît devoir être importante dans les cas de commensurabilité très approchée; le savant auteur introduit alors les fonctions elliptiques qui sont utiles, sinon nécessaires ; cette manière de voir sera confirmée par ce que nous dirons dans le Chapitre XXV. Le Mémoire de M. Harzer sur la planète (08) Hécube ('), dont le moyen mouvement diffère peu du double de

(1) Untersuchungen über einen speciellen Fall des Problems der drei Kôrper (Mémoires de l’Academie de Saint-Pétersbourg, 7° série, t. XXXIV ; 1886).

: , (n L\à . Por pt celui de Jupiter (a — 2-7); est ce qui a été fait de plus complet sur ce

sujet, et nous regrettons beaucoup de ne pas pouvoir le reproduire, non plus que celui de M. Backlund, Ueber die Bewegung einer gewissen Gruppe der kleinen Planeten (Mémoires de l Académie de Saint-Pétersboure, 7°série, t. XXX VIII, 1892). Dans ce dernier travail, qui se rapporte aussi aux planètes dont le moyen mouvement est à peu près le double de celui de Jupiter, l’auteur a choisi le temps comme variable indépendante, et il a imité la théorie de Laplace pour les satellites de Jupiter.

Remarquons en passant que le cas de : — y voisin de 5 est plus difficile que celui où &.est voisin de parce que les planètes sont plus voisines de l'orbite

de Jupiter dans le premier cas que dans le second, et que les inégalités à longue période sont du premier ordre relativement aux excentricités ; elles sont seulement du second ordre quand x est voisin de

M. Gyldén a publié récemment le premier Volume d’un grand Ouvrage intititulé Traité des orbites absolues des huit planètes principales, dont nous ne pouvons rendre compte ici; nous renverrons le lecteur à l'analyse qui en a été faite par M. Andoyer (Bulletin astronomique, t. XI, p. 79).

Nous n'avons abordé directement qu’une portion de l’œuvre considérable de M. Gyldén, et nous n’avons formulé qu’une critique sur la considération des orbites absolues : il nous semble que, dans l’état actuel de la Science, vu le nombre restreint d'années d'observations dont on peut disposer, l’ensemble des termes à très longues périodes, telles que 20000 ans et au-dessus, devrait être remplacé par a + be + c£?, les termes périodiques pouvant remplacer avantageusement les termes séculaires, seulement dans un avenir éloigné.

RECHERCHES SUR LES CAS DE COMMENSURABILITÉ TRÈS APPROCHÉE ENTRE LES MOYENS MOUVEMENTS DES PETITES PLANÈTES ET CELUI DE JUPITER.

183. Distribution des petites planètes d’après la grandeur de leurs distances moyennes au Soleil. — En nous reportant à l'Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1895, qui donne les éléments elliptiques des 390 premières planètes, nous avons pu dresser Le Tableau suivant, qui donne le nombre des planètes dont les moyens mouvements diurnes sont compris entre 400” et 430”, entre 430” et 450”, ..., entre 1170” et 1190 :

TaBLeau I.

Planètes. Planètes.

AOOAD OR Lee I $ 1 REPOrE. 0. 299 ADO OO! en ere npi ts I D10— 0900 -FUN rRE 26 DOOmATO NN, da vies desde 3 890 6000 RE 17 JO OO MOTTE 0 800 10700 4 Penn 15 AO RON A eee 0 990 00024 demie 6 DORE de ua ads (0) 00001069 sers (0) MIO D0OE : sr ms doc 2 DOG, ie end 10 DOC TO da res dun 7 M0 0002 MI 19 700 OP te cree elite I DDOAOTOS eee 18 HO BAO naine ee I Q7 DO: ru a 13 Ciosbio nee 15 JOSLONON re 7 630-000 conmara ein 43 TONO= 1090 morte 6 GO 0n 5 2 hr à 18 1090-1000 ne me: 3 670-000: 2 ne 15 1000-1070 Rae 2 OO THON NE Ie 7 1070100007 AURA 9 DO TIO. 2 diner 20 TOGO ÉTED sys ue à 5 JO DOI Dee side aies 10 LS Ce DO PP I DOI LS Rae 25 FRIOTIOD Min () AO TOD etes one 46 POP 0E. Postes e) TOOL ane ob 17 TOR PTEDO sp erates I

A? réporter... 1232 Totale 390

On peut remarquer que les moyens mouvements ne sont pas les valeurs moyennes qu'il faudrait adopter, mais les valeurs osculatrices à des époques T. — IV. 09

déterminées; toutefois, les différences n’atteignent, dans chaque cas, qu'un petit nombre de secondes.

Ce qui frappe dans le Tableau précédent, c’est l'existence de deux maximums principaux, vers n — 640” et x» — 780”, et de deux minimums principaux, vers n — Goo” et n — 900”. Or, le moyen mouvement diurne de Jupiter étant d’environ 299”, on voit que les lacunes principales, dans l’anneau des astéroides, répondent à des régions pour lesquelles le moyen mouvement serait exactement le double ou le triple de celui de Jupiter. La première lacune est moins prononcée que la seconde, soit parce que l’anneau est réellement moins dense à sa limite supérieure, la plus voisine de Jupiter, soit parce que, dans ces parages, les planètes étant plus éloignées de nous sont plus difficiles à observer. On aper-

: “us ns n À çoit d’autres lacunes moins importantes vers 7 — 7$0"(& - 2. = 500"(% =; ): U /

cn n—1000"| = — a on 2

C'est M. Kirkwood qui a attiré le premier (en 1866) l’attention sur les lacunes de l'anneau des astéroïdes, en les rapprochant des vides de l’anneau de Saturne, qui répondent à des régions où le moyen mouvement d’un satellite serait le double du premier ou du second satellite. Quelques astronomes ont été ainsi conduits à penser que les petites planètes ne pourraient pas subsister si leurs moyens mouvements étaient exactement commensurables avec celui de Jupiter, le rapport étant exprimé par le quotient de deux nombres entiers simples. Ce ne serait, dans tous les cas, qu’une présomption, car il pourrait se faire que Îles petites planètes n'aient jamais existé dans les régions dont il s’agit, sans qu’il ait été nécessaire de recourir aux perturbations pour les faire sortir de ces régions.

D'autre part, Gauss faisait remarquer à Bessel, en 1812, que le rapport des moyens mouvements de Jupiter et de Pallas diffère peu de la fraction ;,, et il ajoutait « que l’attraction de Jupiter doit maintenir exactement ce rapport, comme cela arrive pour l'égalité des durées de rotation et de circulation de la Lune ».

Citons encore l'opinion de M. Newcomb (4stron. Nachr., n° 2617) : « On s'imagine volontiers que, dans ce cas (celui des moyens mouvements exactement commensurables), les perturbations ne manqueraient pas de croître au delà de toute limite, de manière à compromettre la stabilité du système. Or, cette conséquence n’est nullement nécessaire; il n’y aurait probablement que des oscillations plus ou moins irrégulières, et l'équilibre se rétablirait incessamment. »

184. Ces opinions diverses montrent que la question n’est pas tranchée entièrement; avant d'aller plus loin, il convient de donner avec plus de détails le Tableau ci-dessus, dans le voisinage des deux lacunes principales :

Taszeau IE.

Lacune correspondant à n=2n",

Planètes. n. e. a (co) SA AR er RE A EN 551,6 0,110 6,3 SES MORE RP ER EN ADI ET SP PL RET :11082:9 0,125 7,6 Go TP A NE et — 19976 0,106 33 OR LR A RL LR Es 562,5 0,170 2,0 LOI) NPA E EAN EEE EEE IE AS . 564,5 0,152 22 ARR A Re ae cute one 566,9 0,217 10,7 JE MORE BE care nr ete NO 0 0,264 20,7 RO NOR NE da 0aRRsR O7E,0 0,071 4:55 > A EE ER A ete 605,4 0,377 2,0 GRH R RARE CES BU REDON RE LEE 483 AOL OS D 0,106 12,0 DDR de dt PU le 614,7 0,041 1,6 D Ne ee dre 614,9 0,202 de DO nt Pie em ie eee nr AE à 615,0 0,149 8,6 OBS ln de ets ou 616,6 0,101 4,4 SO ir AE Mi Tor or lee 617,4 0,042 0,8 D Re a not 620,5 0,079 21,0 DO dre DS LE NAT Ce re 621,5 0,012 720) D HO) PS AE PE EN CREER EE CS EE 622,5 O,071 10,9 MR ne ar ee 623,3 0,073 1 An die ae et ce 624 ,2 0,102 9,9 ie MR E RMENEr Ae A os 624 ,5 0,168 22,6 DO ea ea 5x 020,4 0,169 100 SO OR NUS ER 6.1 0,131 253 RO ee te “5 0206 0,179 4,6

TapLceau III.

Lacune correspondant à n —=3n".

Planètes. n. a .

GR NDS NN Aie 868,8 0,064 14,4 Ode a a te mon ….::809 ,0 0,074 6,1 D PT Me Ut AN TA on vécut 869,4 0,219 7,8 DID RAS AUS a Dee cui 870,2 0,175 6,1 CC AR A Ne EN ne 870,8 O,I81I 16,2 SORT RNA RUE AIME 876,6 0,108 4,3 DOS Cure CT EE ee 881,9 0,031 14,9 AO SNS A ARR tes 833,6 0,164 > ,3 TDR da eee IE Le Na 888,8 0,342 24 ,0 (835) De D eo ED re CEE : 910,1 0,175 5,1 F0 RO M RE ae ne OIL, 1 0,026 16,1 ER Se A ee 912,06 0,129 230 DR A D DS NT TENUE ee 913,2 0,066 3,8 ne Re Nr EU RER C OU 919,0 0,014 1,9 DOS Re Re anne ects de 919,9 0,227 9,3 PAR pan np LR PE ns nt Da 923,6 0,099 4,6 OO er On on CA ire 925,0 0,036 2 es dt MORTE AMAR ee 024,7 0,162 3,2 LC: MEL REASS MORE ILE ETS PE: AC 0,194 4,6 DO rate ut LMOSO 0,159 1,0 [. RE AT EN af ARE ee 930,9 0,226 8 ,6 LA LS CSS A De ARR AS OR RARE 931,0 0,106 2,9 PE ner Ne ee 931,9 0,161 Eds

On remarquera que le nombre des planètes pour lesquelles r est compris entre 27 — cet 2» est de beaucoup inférieur à celui des planètes pour lesquelles » est compris entre 2n' et 2n°+ 06. Ainsi, pour o = 48”,4, le premier nombre — 8, et le second = 57 (toutes ces dernières n’ont pas été inscrites au Tableau). Il est vrai que les premières planètes sont plus éloignées, donc plus difficiles à observer que les secondes.

La même chose a lieu, mais d’une manière moins prononcée, pour le groupe voisin de z = 37.

La planète (46) Hestia a fait l’objet des études de M. Brendel; Gos) Hécube a été considérée en détail par M. Harzer.

Les Tableaux précédents seront utiles à considérer pour les jeunes astronomes qui désirent faire la théorie d’une planète. L’une des plus difficiles serait sans fo peut-être découverte depuis trop peu de temps pour que son moyen mouvement soit connu avec précision.

Nous avons mis dans les Tableaux l’excentricité e et l’inclinaison :, parce que les trois facteurs importants, pour la difficulté de la théorie, sont les valeurs

z , nie y A ñn Q Q doute G%), car l’excentricité est très forte, et 7T—=2+ 7; Mais cette planète est

. n n È plus ou moins grandes de — — 2, — — 3, eetc.

Ô n! mn:

Il semble que la méthode usuelle, celle de Le Verrier, ou plutôt celle de Hansen, pourra être appliquée à toutes les planètes qui ne sont pas comprises dans les Tableaux IT et IIT, et même à un assez grand nombre de ces dernières.

Pour les autres, en assez petit nombre jusqu'ici, on pourra imiter l’application de la méthode de Gyldén au cas de (Go) Hécube, par M. Harzer, en la simplifiant peut-être, ou la méthode de M. Bohlin dont nous aurons occasion de dire quelques mots plus loin.

Nous allons examiner analytiquement ce qui arriverait à une petite planète dont le moyen mouvement serait à peu près le double ou le triple de celui de Jupiter.

185. Première méthode. — Considérons, dans la fonction perturbatrice provenant de Jupiter, le terme d’argument

0 L + — Du On à, en ne prenant que la partie principale du coefficient,

On peut écrire

d’où d'0 . an de dx dt dl di? de On a ensuite dan 3 OR dt do et il en résulte

d 0 3 x2m' (4 à de do

Re — DO ESInd he ee

dt? > d'a “+ dar: + de: ‘ dt’?

de d’'w ° f. i 1, l , li d’ : : an US contiennent le facteur m°; on peut les négliger abord, sauf à en tenir compte ultérieurement.

d? 0 I I tm 4° sin0 (1) de 2! ’ 3n'? dot2) a h2 = — e (466 ee) a — —:

ne da ) a ); c’est l'équation diffé-

Laplace suppose X constant et discute l'équation (1) en multipliant par 2 db,

rentielle du mouvement du pendule simple; on en tire, intégrant et désignant par e une constante arbitraire, do

— m'h(cos0 + c),

(3) di?

— do 4) NM dE + C V Vcosô + c 0 varie toujours dans le même sens et croit au delà de toute c’est le cas général de la Méca-

S1lomac +, limite; le mouvement du pendule est révolutif : nique céleste.

Sil'onac? 7, Ô reste toujours compris entre deux limites déterminées, sans pouvoir atteindre la valeur x si c > 0, ou la valeur o si co; le mouve- E est oscillatoire. En Mécanique céleste, c’est le cas de la Abration.

men Considérons d’abord le premier cas : nous pourrons écrire

(] hUm QG +e)(t- Dh do = /: — k? sin? — 0 2

(6) il en résulte = 9 am |: hVm'(1 + c)(£— 0],

TC re .

Ê = Te hYm'(Qi+c)(t— 1) + des termes périodiques ;

22 CHAPITRE XXY.

2 do o Vi — sine