Détermination de la constante €. — Ona
on à d’ailleurs
DU Do de | ne
; Aube ds . . Paie sam ; en laissant de côté Te et . dont il serait d’ailleurs aisé de tenir compte, on peut
prendre dô
en 1e on,
pour l’époque d’osculation des éléments. Soit 0, la valeur correspondante de 0: À l'équation (3) donnera
(7) Cu—2n)} = m'h(c + cos0,)
En portant la valeur de c qui en résulte dans l’expression (6) de Æ?, il vient
Û (8) en / Ne ( wL UE ot?
QE ô, 4 Se D 6m'e (4 paie A.
oœ . he Peu 5 n° : ° 0, Dr A : — COs* —.
| ! 9 ab® 2 6m'e (ape 2 Ge \ da )
Il y aura libration dans le cas de #2 > 1, Ce qui donne la condition
(n r'l6me * db) 0 (9) (a ma à) <e a? (soc DEC . COS” - °
I . , ke On peut calculer la valeur du second membre par & — — qui répond à :
2 à n, —=2n". On trouve ainsi
ee - 0 (10) [ri —on| <56" Ve cos =
En posant
[= 56” /e cos .
on peut construire une petite Table à double entrée donnant la valeur de I, avec les arguments e et0,; la voici :
360° 330° 300° 210 240° 210° 180° ou es ni a Ut tan dm | 480 [/ LA LA 1 LA [4 1!
GO OL. .5 EL AO 9 12,1 10,8 8,8 6,3 3,2 ,0 DO MIO:.. 17,9 17,1 19,9 12,9 8,8 4,6 ,0 6019... 0 21,0 18,8 15,3 10,5 66 ,0 — 020244 2000 24,2 DA WA 129 6,5 ,0 CON 2 2000 27,0 24,2 19,8 14,0 FANe :
En se reportant au Tableau 11, p. 419, on voit immédiatement que les 8 planètes pour lesquelles n,< 22° remplissent la condition du mouvement révolutif sans qu’il soit besoin de calculer 0,. Il en est de même des planètes (2), En, @, Gs), (8), @2), (9). Gi), Gis) et G05). Il faut calculer 0, pour les planètes GD, GD, @3), (1) et Go. Je laisse de côté les trois premières, dont les découvertes sont peut-être encore trop récentes pour que l'on puisse bien compter sur leurs éléments, et je trouve que la libration n’a pas lieu pour G; et G08) ; cependant, il s’en faut d'assez peu pour cette dernière, qui reste une des plus difficiles. L'attention des astronomes se trouve appelée tout naturelle-
ment sur les planètes PERS EN > G), @D « @.
1 faut remarquer toutefois que ces trois planètes n’ont été suivies que dans une opposition, et que la première était de 15° grandeur et n’a été observée que sur des clichés photographiques ; ses éléments sont très incertains; cependant il n’est pas impossible que l’on découvre des planètes présentant le phénomène de la libration pour l'argument
USE 10 > O—£ +m —2£".
On peut remarquer que le coefficient de #, dans le développement de 0, est, pour # << 1,
I Omnte] db?) \ ———— — : V (a, — 2n") + ANS MP Le + a )
TANERe Cu AN Te a JA pie:
Lis FN CH
il tend vers zéro pour # — 1, car le dénominateur 1 + es k£? + ous k* +. est alors infini; ainsi se trouve ménagée la transition entre un coefficient fini et un coefficient nul. Je ferai observer encore que, quand il y aura lieu d’appliquer la théorie des fonctions elliptiques à des planètes voisines de la limite de
séparation des deux genres de mouvement, comme Gos), le module sera loin d'être petit; il pourra même être voisin de 1:
187. Je crois devoir reprendre par la méthode ordinaire des approximations successives l'intégration de l’équation (1) que j'écris ainsi
9 AE (11) a — p Sin 6, P= Em ne Je développe 0 suivant les puissances entières et positives de p,
(18) O— po + pri+ pra + pie + po, +...
d’où
| sin 0 — sin, + —— - 0 po + D? + 03)
(13) { ue cos — — (p?p2+opip,p,) — | 119 (PsPEE 2 PéPa la) HOT
En substituant les expressions (12) et (13) dans l'équation (11) et égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de p, il vient
dv, : dv, — — sin? nn — MANCOSS eh) : de 1
— — 2 COS Po + = p?sinpo;,
! Ë J L 7 — — V3 COS Po + Pi Va SIN Pp + G pi
On en tire successivement, en désignant par & et os deux constantes arbi-
traires, sin # . __ Ssin2®
Vo : at + dt, Pa RES 2
I I à 4 V3 = ——| -sin3e —5sinm) 8 sa (3 0 de
Lie à 7 Sin 4 Po — 4 sin2e
Il en résulte
/ ; D 0 = 69 + La SIN Po + = Sin 2 P,+ = = (sin3#, — 15 sin) (] (14) “ — sin 4F, —16sin2# ra 71H 256 co ( #Vo o) ae
(19) Po —=X-+ot, P=> mn.
La convergence de cette série (14) n’est pas démontrée; la forme est diftérente de celle que nous avons obtenue plus haut pour 0, à l’aide de l’expression classique de amu; il pourrait se présenter des cas où l’emploi de la formule (14) laisserait à désirer.
188. Examen correspondant à la seconde lacune, pour » voisin de 37.
"OH at réel j ji =$ +om—3$£); on en tire = T7 - mh"? sin 0 — — : m!h"? sin(0 + 18o°), 4 © \ pu -
En opérant comme précédemment, on trouve que la condition pour qu'il y ait libration est
D] . < 9 n nat db) d2bG)\ (HAE ne Se sin : (210 +100 :
do L da?
d’où, en réduisant le second membre en nombres pour la valeur a = -—; qui
J Là \ Vo EépONd 27, 17 :
[ri — 3n!| <52'esin .
On trouve que, sur les 23 planètes du Tableau III, p. 419, 22 donnent LA dm) 5276 <02"esin donc il n’y a pas de libration, sans qu’il soit
besoin de calculer 4, ; il n’y a que la planète 439 pour laquelle le caleul de 6, soit nécessaire. Je trouve 0, — 69°,2, 3n —n,<10",1; or 3n°— n, = 8”,6; done la libration existerait pour la planète 1%) qui se signale ainsi à l’attention des astronomes ; toutefois, on est bien près de la limite, et des calculs plus complets seraient nécessaires pour affirmer l’existence de la libration.
Les considérations précédentes, empruntées en partie à Laplace, ne peuvent être admises qu'avec une certaine réserve, et dans une première approximation. M. Gyldén, en tenant compte des termes que nous avons laissés de côté, arrive à une équation différentielle de la forme
PS à dt — IN RSI (0 À y BE Es Sin(ô+A)+v,
dans laquelle À et v sont de petites quantités variables; 2 n’est plus constant, 1 4 4
420 CHAPITRE XXY.
Il s’est occupé de l'intégration de cette équation dans son beau Mémoire Untersuchungen über die Convergenz der Reihen, welche zur Darstellung der Coordinaten der Planeten angewendet werden (Acta mathematica, 1. IX). On peut consulter sur le même sujet le Mémoire de M. Harzer sur la planète Go) Hécube, dont nous avons déjà parlé (p. 415), et le travail de M. Backlund, également mentionné (p. 416).
Nous allons maintenant confirmer les résultats précédents par une autre voie que nous avons indiquée il y a quelques années (Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. CIV, P- 250, et Bulletin astronomique, t. IV, p. 183).
189. Deuxième méthode pour les cas de commensurabilité très appro- Chée. — Considérons, pour simplifier, le mouvement d’un astéroide P de masse nulle, se mouvant dans le plan de l'orbite d’une planète P’ (Jupiter) supposée décrire autour du Soleil un cercle de rayon 4’. Si nous prenons pour plan fixe le plan de l'orbite de P’, les éléments de P seront au nombre de quatre seulement, &a,e, © et €.
Soit R la fonction perturbatrice provenant de l’action de P’. On aura les formules connues
Cdar.à :0R des Vie 0R di nd d dt — nae 0
dm __Vi—e dé. 2 0h
dt nae de’ dE na da
£ FE at Aie oar Cos(P — L")
NU), ML MER a
set {sont les longitudes des deux planètes. L'argument général du développement de R est une combinaison linéaire de £, £' et &, ou plutôt de £ — wet £'— ®, et l’on peut écrire, en désignant par # et :’ deux entiers quelconques dont l’un peut être pris positif,
ane. J DUR R—-—— 22 Cr cosli(C— 5) —# (LU m)].
Remplaçons a, e, Gete par les nouvelles variables L, G, let g, définies comme il suit
Nous trouverons aisément les formules
xX°m FRE ÿ ÿ Crrcos (ET 2»), 2 a! vit ( £&)
dE, oR dû 0 dl 01 dt 0.
CS A EU a oo Si l’on pose DR 2e Lu el Es ER R —=R - TE xWa(r—e), on obtient sans peine dE. 48 dG JR | | ER re 17 ( 7) . Le nn dg OR dt dl CT Re #Va(r—e) x?m! Eee Pau (18) R— nn ne DD Cr cos(ul+rig).
Les équations différentielles (17) admettent l'intégrale de Jacobi, R = const.
Considérons le terme non périodique de &, et un terme périodique déterminé; nommons &, l’ensemble des deux, de sorte que
o DER NES Dsl 2m!
pa x AC km X°m ‘ .
Re Val D) Re o C;,;s cos(Ü+rig).
3 1 1 ! 0, 2 / , le) a a Va 24 a
Nous allons montrer que l’on peut intégrer rigoureusement les équations (15), en y remplaçant & par &,. Nous choisirons # et ” de manière que l'argument + r' gcorresponde aux inégalités à longue période; c’est en somme la méthode de Delaunay que nous allons appliquer. On sait que le coefficient C;; dépend
a . . Pa du rapport « — = et qu'il contient le facteur e*, À désignant la valeur absolue de i — x. On peut écrire
Ci,» — ed (x, ë) Co, = @(æ, ee); o et Ÿ désignant des quantités de la forme
A+ Aie + Aset+...,
où À,, A,,... sont des fonctions de «.
A 23 CHAPITRE XXY.
On aura donc | Ro—=—B — À cosb, O=il+ig—iRL —v£'+(l—1)s,
m ; ‘ . À — EE ehp(a, € 2) (Re T),
k — — [5 avan ] +- . ot, e?),
d6 oR Ain lo
vu a d do OR o.
diet 0G Les deux premières équations (21) donnent
7. | PRES LE RE (22) =. =—1A#sind, Pr = i'Asin6, d'où cette intégrale
(23) = = L + const.
L'intégrale R, — const. des équations (21) donne d’ailleurs (24) À cos +B—C,
en désignant par C une constante arbitraire. Si l’on élimine 0 entre la première des relations (22) et la formule (24), il vient
dL
