VA?—(C—B

Les équations (23) et (25) déterminent L et G en fonction de £ et de trois constantes arbitraires ; (24) donnera ensuite 0 en fonction des mêmes éléments. L'équation

dl + one 0h OA

ee ar ae à

donnera /, et g sera fourni par la relation D FE lg.

190. Transformation des formules. — Désignons par à,,e,,0,, À, et B,

les valeurs de a, e, 0, À et B pour : —o. Les équations (23) et (24) donneront

(26) Vati—e) = Vale) +5 (a Va), (27) = A,costib;

Nous poserons ensuite

(SC l Der) —— À, (28) a c | dd = 4T), d— Cr E"æ)e

Nous introduisons une petite quantité æ, afin de pouvoir procéder à des développements en séries. En combinant les formules (26) et (28), on trouve

! 1— 6? — À Vi—e — W Ti i À, VI + & (29) | ee +aæyi—e(Vi—e—-2)+..., Vers 2 7 S VAI (Grue À) este æVi—ei ne ie é 2e, Faisons encore, pour abréger, : GB db : | ehd(a,e?) — d, se db, =.

0) { (30) due cos He p(a,e?) — 1%, rs ES ne be,

et désignons respectivement par æ,, db, di, 4, 4 Et V, Ce que deviennent ces quantités quand on y remplace aete respectivement par a, et e,. Nous trouverons, en utilisant les formules (20), (26), (28), (29) et (30),

2 AN UE Hd BR Ë —— =: +aVat—e) —ava(—e) |

x? I = el 22 I Ë B = B, + = | (Live) cafe) + .

xml de Vie? —2 A DE + —— x | «Vo, +Vi—e,; ONE Be PE

24 26; 22m [ PR pe A A = re di + ZT % ob, Vie Liste db, SE . , d L 2€; /

A db,

: ë RU SA [atanz(ain — Vi av L A! ) +...

On aura ensuite, en ayant égard à la formule (27),

C—B—A,cose, + B, —B

et, en tenant compte des expressions précédentes de B et de A,,

Cope e

+ m'db, C0S0, — m'x (a + Vie

ou bien

(82) C— B — 2 [Die + D,2° +... + m'(; COS, + E,x + “ee )|:

en faisant, pour abréger,

Faisons de même

et la formule (31) nous donnera

v# m2 (35) A = or Cdt + di Fi +...) Si l’on porte dans l'équation (25) les valeurs (32) et (35) de C — B et de A?, et que l’on ait égard à la relation

L—=xVa—=: aa Ex on trouvera aisément la formule

in! dx 36 Qt 2e a Va Va+avd

a À VA où l'on a posé,

U=m® (di + ki Fix +...) [DE D; x ia (db, cos, + Ex +...)l:

ce qui peut s’écrire aussi | U —U,Ù,

FA = nv [a cos: +æ(s F, + E,) +... | + D,zx + D,x? +...,

N +æ(-F—E, | +... | Me Re eu

Ve \

ID b|S

| nr. [aa sin?

On a aussi les formules

/ 2 | A+C—B— A cost © — 5 Ur, (39) \ 0 +2 Écran - = — U,; \ 2 24 C—B cos 0 — À )

d’où, en vertu des relations (32) et (35),

D,z+D,x?+...+m'(A, cos, + Ex +...)

(4o) cos 0 — m' (au os F,æx +... ) 191. Discussion de l’équation (36). — On doit avoir constamment (41) U,U, > 0,

| car, & étant nécessairement petit, la quantité (1 + æ)U, qui figure sous le radi- | cal de la formule (36), sera positive si l'inégalité (41) est satisfaite, et réciproquement. L'expression (33) de D, montre que cette quantité est petite

NOR Li ; te pie seulement quand >; diffère peu de =; s’il en est ainsi, D, est voisin de a &È proximation,

Va. Si D, n’est pas très petit, on peut prendre, dans une première ap- ! ê Ü, = 2m", cos? de D;æ:

! CRT) ô, U, =2m/", sin? + — D,z.

La formule (36) donne alors simplement

(t'n'— in;) dt —

/ 2m! : 01 3 dot 04 LT + — COS? — Sin 7 D, M) D, 2

432 CHAPITRE XXVY.

On en conclut, en intégrant, et déterminant la constante de facon que x — o 9 ) Ë | pour 0,

Li, {

cos[(i'n'—in)t+0,]— cos0, | :

æ s'exprime donc très simplement à l’aide des fonctions circulaires, et oscille

entre deux limites qui sont de l’ordre de 7’; il en est de même de a et de 7. Les choses se passent autrement quand D, est petit. En supposant petit le

D, de U, et de U, deviennent

rapport — et retenant les termes principaux, on voit que les expressions (38)

1 —— 21N' db; cos? + D,zx Din D:72; U, = 2m db, sin? — — D,x — D,x°.

Les trois termes conservés dans U, et U, seront de l’ordre den’; les termes qui n’ont pas été écrits seraient de l’ordre de »' m', de m°?,.... La formule (36) doit être remplacée par

7 ü ot ac V (ar de cos? . +D,zx nn (am! sin? — Dr D, | \

æ est donc une fonction elliptique de 4. Cherchons à obtenir la forme canonique en posant 2 D, (43) RL.

Nous trouverons aisément

in'D, dy

(44) di —