Premier cas
(45) D? > 8D;m', cos? 2
On peut poser
2 pose QUE nr QE
pire ce 0) D,
ec D? — 8SD,m'A, cos? D? 85m, Sin? —
HIT U TES et, en remplaçant D, par sa valeur approchée 2 5 Var la formule (44) de-
viendra (47) 7 al dy On doi ‘ NOR DAT GR) n doit avoir D ÿ? pe.
En faisant (48) Y?== PA sin 9 + p? Cost 0 —p' (: Le a sin? +) la formule (47) devient d 1 n'adl=— PH oise À + p'?—(p?— p?)sin?o
On en conclut, en désignant par c une constante arbitraire,
[ 3 | date, UE APR (EC), mod. #, un (49) ee.
Ps $ — p'Aamu.
Les formules (40) et (43) donnent
cos — M À, (by + m'eby COS 0, — he
Si l’on remplace y? par sa valeur (48), puis p'*? et p? par leurs expressions (46), il vient simplement cos0 — cos20, d’où Che ee 1 à
On trouve ainsi cet ensemble de formules :
SUR sb
k2 — 9 D? + 8D;m'b, sin? 50 0 2 D? —8D;m'A cos? — 1— k2— 0, D? + 8D, m'b, sin? = 3 LE! L!
0—2amu, de (é+ c) (51)
2D;x—=— D, + 2: + 8D,'2'<b, sin? A amu, T. — IV. 5)
On voit que l’angle 0 augmente sans cesse, jusqu'à l'infini. Lorsque D, n’est pas trop petit, l'expression (5o) de #? est très petite, de l’ordre de #’, et l’on peut prendre les fonctions circulaires comme première approximation, ainsi qu’on l’a fait ci-dessus ; mais, si D, est de l’ordre de Vr', les deux termes de la fraction qui représente £? contiennent le facteur »', et £? est fini, ce qui est un point fondamental.
193. Nous allons appliquer la solution précédente en supposant &'—2,1—1,
de sorte que =$ +o—2£".
Nous considérerons donc le groupe des astéroïdes dont le moyen mouvement est voisin du double de celui de Jupiter. Nous aurons alors
(52) D, =Vc (2 La DL D Va approximativement.
On a, d’ailleurs,
db) a (2) des = en (40 ACT a)
où b® représente la transcendante bien connue. L'expression (50) de #? don-
nera si RS pe — ) + 9? sin? =
2 a 7 21) AiCURE
2 CR 4 — à + of sin’ =
où l’on a fait, pour abréger,
12m/e db) ( 4) 1 Vo 1 das
On a, par hypothèse,
(5) — 2) > ot Her 2 : -
L'expression (46) de p'? donnera, en ayant égard aux formules (52),
u HAE) 06) = ) + 9° sin? =.
Les formules (51) donneront ensuite, en adoptant les notations des Funda-
menta de Jacobi,
: “ | à U — = pra (le 0) == : \ (rn;—2n)+ 6? n/?sin? = (t+ c), (57) :
QT + iq sin EE Ce ne He © 1 + g? K 2(1+g*) ee Fe . ; 0 2D, zx = — D, € D'+8D,m db: sin?
ie 4q Tu 4 q? 2T < (+ cos Ro KE * )
Il faut savoir avec quel signe on doit prendre le radical. Nous supposerons,
pour fixer les idées, Ry on; donc D, <o.
En supposant »' — o, on trouve aisément
T Ty 9, F0, h 0, K=— =;
il est clair que l’on doit avoir aussi æ — o; donc on doit prendre le signe —, et il vient TU q?: 2TU
on met pi à (58) 8x — 2— 3p 2K 1: mr Lt K Ev K
On a ensuite
et il en résulte
n=m(s-#)+S ini A am 2, 2n 2 AR ! T 4q Tu 4q°? 2TU (59) n= m (2 2) + pu ge (1 UE . “es CCE id )
Si l’on remplace A amu par ses deux limites 1 et 1 — 4°, on trouve que l’on
doit avoir constamment
Fr 2 AL (2 2) + 0? lib
na; AIN MER +- Nr a RS CDN 2 ni n
On obtient ainsi les limites entre lesquelles 7 varie. Il est intéressant de savoir si la limite inférieure de nest > 27’, de sorte que l’on ne puisse jamais avoir exactement rz — 2n’. On est ainsi conduit à considérer l'inégalité
NN EN a ee — >) — 9? cos? “| 4,
Ch ni /e- an) — coin"? cos — >(rn—on
Posons pour un moment
m—2n —=pn', = 6? cos? —:
et l'inégalité précédente donnera
(2+p}(p—rR)>p",
APT api.
d’où
k est petit, et l’on en déduit PR
n () 1 0 (E—e) > 9? cos? — + + ot cost À +..
Donc, si cette inégalité est satisfaite, on aura toujours n > 2n'. On pourrait
avoir à un moment donné n — 2’, si l’on avait
6, | ÉC04 COS — + gi cos*
Mais, les deux limites de (ee — 2) sont tellement voisines, vu la petitesse de 5,, que, pratiquement, elles peuvent être confondues, et nous pouvons ad- . ñ .
mettre que, dans notre premier cas, = restera toujours au-dessus de 2.
Soit n, le terme constant de »; on aura, d’après la formule (59),
(60) ne (-2)+3r fi re
Ÿ Fi
+ diet pete ee “A se (61) n=m+8p mg (cos or
On en conclut, en intégrant et tenant compte de l’expression (57) de u,
hq (62) fra=mt+ |
194. Occupons-nous de déterminer la constante c. Nous pourrons écrire à volonté l’une des conditions
CP 0, pour {= 0.
En représentant par w, la valeur correspondante de w, les équations (57) et (58) donneront
Tu TRUE q° | Tu (63) 0, — RER AR ? Ci en K 26 K 219") K n T 4.q Tu Cie 2TU o0=——2--3p —|[1+ ; n 2K 1+ q? K 1+ g* K
à 2 ; lin : deu n' on = ne 22 GES n 2 A
: et Q Tu ha? 2TU (64) a—esin = (+ M cos ee AE og +).
Les équations (63) et (64) donnent la même valeur pour 4, ; nous emploierons la première, qui se prête mieux aux approximations SuCCessives.
Il convient maintenant de procéder à des développements en séries suivant les puissances de #?; nous emploierons pour cela les formules connues
(en k* 21 KS Le 3148 ?
0 No l'AS à) re (Leo
La formule (63) sera réduite à
— Tu T0 + autcin ee | (Ps K + 4q sin K + 2qsin 5 on en tire TU - = —4gsin0, +6g'sin2 0, 6 the me ls ae (65) K = 0; G (+7) sin 4, + a sin 2 4.
Si l’on pose
He Ü ; . 1 (n —2n'} + ci n° sin? .
— LATE T LE (66) m=3pln = é : = | 1+ | — ee k* 2 2.4 on aura (67) REA Re?
438 CHAPITRE XXY.
Les formules (57), (65) et (67) donneront
0 —0, + mt + . [sin(mt+ 0,)— sin@;]
2e E [16 sin (mt+06,)— 16 sin0, + sin(2mt + 20,)+3sin20, —8 sin 0, cos (mt+ 6,)]
Nous nous bornerons à
pin
(68) 0—6+mt+;
[sin(mt + 0,)— sin8,].
(ri —2n} + o?n/?sin? :
On aura ensuite, en partant de (61),
(69) R=Nn+ : AT [cos(mé + 0,) — cos6,],
8 1\2 EIRE À (rn—2n'} +oin Sin? —
cinin COS,
8 Mr (nr —2n')? + 0? n°? sin?
(70) Ni = MN:
La formule (62) donne de même
I cirn!
(72) frdt=nt+s
sin (mt + 6;).
(rm — 2) + o?n"°sin? =.
Lorsque 2, — 2n' n’est pas très petit, les formules (69) et (71) peuvent être réduites à cinn'
[cos(mt + 0,) — cos, ],
1 iVoonan ; ARLES Sin(mt + 0).
Î 8 8 (n—2n'} rar
Il est intéressant de voir que les petits diviseurs 2, — 2n’ et (nr, — 2n'} sont, dans la théorie actuelle, remplacés respectivement par
Re T an (/Ca—an)+ o jsin? 2 et (1 —92n'} + 0? ie Il y aurait lieu de présenter ici le calcul de &: mais, pour ce point, je ren-
verrai le lecteur au Bulleunr astronomique (décembre 1895).
