Deuxième cas

(72) D? < 8Dim'd, cost 21.

Si l’on pose

ds 0 8D;7mn'.b, sin? É + D’

por ÿ . G Re ME (73) ; 8D, m' Jo, cos? D.

Pr es 4 D? ae TE éra.

la formule (44) devient 3 Tv! n! dt == + = 5 4 VGy? +p)(p?— y?)

y variera de — p' à + p'. Soit posé

y —=p'C0sŸ, on aura d do ne sin?” y —amu, a = En VpS EPS (é+c) (mod. k), (74) ns nt

y =p'cosamu.

On est ainsi ramené à un module < 1.

Les formules (4o) et (43) donnent

+ m'db4 COS,

p'? se y? A D,p'°

2 sin? — = D,

On voit par cette dernière tormule que sin > ne peut Jamais dépasser # en va-

leur absolue; donc Ô ne peut jamais devenir égal à 18o°; il oscille autour d’une valeur moyenne égale à zéro : c’est le cas de la Gbration ; le coefficient du temps

dans 6 est nul. Les formules finales sont, dans le cas de z’ — 2,

D? + 8D,m', sin? +

KR ) : 8D;m',

8D,mn', cos? HSE D° 8D;m',

SIA | a A/R a+ 0)

Te) 2D,x=— D, + 2: + 8D,m'<, sin? “ COS am uw,

sin =—+Ksinamuy:

L'expression précédente de æ prend une autre forme quand on remplace D, et D, par leurs valeurs (52), et que l’on introduit l'expression (54) de 6°; on trouve

2 ô, : 2 sin?

(77) x ne ) + si sin? — cosamu.

On en conclut

2 0 ; (78) nn | — — — — ) no: sin? — COS un | F

On a donc les limites de z Ne nee INT en faisant

= au N'= 7, | ) + a? sin* a],

N'— A; [2 Er

Je dis que l’on a Neon EtIN un.

La première de ces inégalités revient, en effet, à

z : RE) aan} + mA) Can + chnttsint À > 0,

et la seconde peut s’écrire

FRA 0 n, /- 2n'")?+ o?n'? sin? — >(n—2n'}),

PS ESS ei

d’où, en élevant au carré et réduisant, FT. 0 k(rn—an'}n'(n—n')+ 02n?n"?5sin? — > 0;

ce qui a bien lieu, car n, est > »’.

Il résulte de là que », variant périodiquement entre deux limites, l’une inférieure, l’autre supérieure à 27’, sera nécessairement égal à 27’ à un moment donné. En faisant dans l’équation (78) x = 2»’, et désignant par w, la valeur correspondante de w, on trouve

COS AM, — Cr )

Su, ri /C —3n!) + cine sin

cette quantité est très petite en valeur absolue, car le numérateur est du second ordre, et le dénominateur du premier seulement; ainsi amw, est un peu .

aux deux limites qui correspondent à N’etN”, amu = o, ou — x: donc devient égal à 27° quand amu est sensiblement égal à la moyenne arithmétique de ses valeurs extrêmes.

On voit ainsi que les moyens mouvements sont exactement commensurables à un moment donné, sans qu’il en résulte aucune instabilité: les oscillations sont régulières de part et d’autre, et la circonstance de la commensurabilité exacte se reproduit périodiquement; cela est conforme à ce qu'avait présumé M. Newcomb.

Remarquons que la condition (72), relative à la libration, peut s’écrire

12mMm/e;

1 ; : db?) 9 er 2 TT —— bG) ae É ) ME (: Ha ) cos? =

Elle est identique à la condition (9), que nous avons rencontrée dans la méthode de Laplace, en tenant compte de la relation approchée

a US Hi 9