Troisième cas. — Reste enfin à considérer le cas de
: () D —8D,m, cos Æ,
(59) { ou bien
442 CHAPITRE XXWV.
L’équation (42) donne ici
Le 2m db; . à) /a M'eo | D, 2 \/ D,
à Dole de.
on a d’ailleurs
d’où
Pour intégrer, on pose (80) il vient alors
dy
— Oi n At — = 5) 2 sin #
-oin't
tang À — CE?
Pour déterminer la constante €, nous remarquerons que + = o pour { —0; a relation ( 80) donne
à 6, Sin x — COS —»
d’où
Il vient donc
On a ensuite
a il Re sin + (1—sin st) Est
bi
. . + ; ne . : \ (ox I n’y a plus d’oscillation; £ croissant de zéro à l'infini, æ varie de o à — + cos
I ô, ï F/n; : n£ Ur I —-- + O1 COS — == Vi I + ee ET — 9 = 1e 2 2 2\An 21
Nous avons ici un exemple des solutions appelées asymptotiques par M. Gyldén; leur étude approfondie est due à M. Poincaré.
et de n, à
197. Nous avons dit plus haut que le calcul sommaire qui résulte des formules de Laplace conduit pour la libration à la même conclusion que notre calcul plus complexe. Ce dernier présente néanmoins des avantages qui sont à considérer : il permet, en effet, de tenir compte des termes négligés, et peut être ainsi complété facilement. On pourrait en outre avoir égard, par le même procédé, à tous les termes ayant pour arguments 0, 20, 30,..., en prenant
R, = — B — A cos0 -— A'cos20 — A"cos30 — ....
On aurait, en effet,
Re (A sin0 + 2A'’sin20 + 3A"sin20 + ...), (87) ( 1e — d'(A sin0 + 2Â’sin20 + 3A"sin20 + ...);
l'intégrale 'l (83) G—=L+ const.
subsiste donc encore; on a d’ailleurs (39) B + A cos0 + A'cos20 + A" cos20 +... -— const.
Si l’on élimine 0 et G entre les équations (87), (88) et (89), on sera ramené à une équation de la forme
dt=F(L)dL — d(x)dzx.
On aura donc + en fonction de £ par une quadrature. Le calcul présentera quelques difficultés, qui pourront être surmontées en tenant compte de ce que
les rapports &> >... sont petits. On pourra enfin appliquer la méthode de De-
launay, de manière à avoir égard aux autres termes périodiques les plus sen-
sibles; il y aura lieu de voir si ces nouveaux termes ne modifient pas la libration.
Les résultats que nous avons donnés ont aussi été obtenus dans leur ensemble par M. Gyldén et par M. Poincaré; mais nous avons donné des développements qui rendront les applications faciles; ce qui nous a paru intéressant, c'était de
