HE À

sin I,

de sorte que les inclinaisons # et # seront connues quand on aura déterminé f et f’ en fonction de £. Soient s ets’ les distances angulaires des deux points M et Maux nœuds ascendants de leurs orbites sur le plan invariable, V l'angle MOM' des deux rayons vecteurs r et r’; on aura

(9) xx'+ yy'+ 23! = rr! cos V.

Le triangle sphérique ayanñt pour sommets M, M’ et le point J, nœud ascendant de l’orbite de M sur le plan invariable, donne, en remarquant que le nœud ascendant de M coïncide avec le nœud descendant de M’,

(10) cos V —— cos? cos v' — sine sin?’ cos,

En ayant égard aux formules (2’}), (8), (9) et (ro), on voit que la fonction U dépend actuellement de r, r', », v’, fet f'; les quantités &, x’, et À’ ne figurent plus dans U; nous allons profiter de cette circonstance pour simplifier les équations différentielles du mouvement.

202. Nous aurons à recourir ici à un Mémoire important de M. Radau, Sur une transformation des équations différentielles de la Dynamique (Annales de l'École Normale, 1"° série, t. V}), ou mieux encore à un article du même auteur inséré dans le Bulletin des Sciences mathématiques, 2° série, t. V; 1881), ayant pour titre : Travaux concernant le problème des trois corps et la théorie des perturbations.

M. Radau s’est proposé de déduire des équations (1°) les équations différentielles relatives aux variables 7, r’, #, #’, f, f°. En posant

dr | EL

Ra bre PR re

(11) {fi =, fi =tf" ee à pi pi. 4 fr AT

il est arrivé à ce résultat simple et élégant

ou ue 0 2 ae 0 des. at pis CO:

(12) NS Ne

. do oÙ, ds, au RE COR O0 de Une D NO. Dates ART 0 Al 00

On a donc ainsi un système canonique de huit équations différentielles du premier ordre; U, est une fonction des huit variables 7, 7’, p,, p,, », #', fi, f;; cette fonction ne renferme pas le temps explicitement, de sorte qu’on déduit

, 0 ,* / des équations (12) l'intégrale Es const:

Nous allons nous placer maintenant plus spécialement au point de vue de l’Astronomie ; S désignera le Soleil; M et M’ seront deux planètes, Jupiter et

Saturne, par exemple. Les nombres m» et m' seront petits, au-dessous de => ;

en nous reportant aux formules (2°), nous verrons que l’on peut écrire

u=*+®+w, (13) Me de OP | WN=m ( ï) AA T. — IV 57

R’ne différant de 7’ que de quantités de l’ordre de 7», on voit que W sera du

second ordre par rapport aux masses; U se compose done d’une partie m m' . ‘ + sr du premier ordre, et d’une autre, W, du second.

Nous allons faire une première approximation et intégrer les équations (12) en remplaçant U, par

! 2 12 C2 12 (1 ) = à ect ET Pa fi —