U, = US + W

Il s’agit donc d’intégrer Le système suivant

do, dr. Que

(16) D vo ET TEA dp, ..,

Nous connaissons d'avance le résultat de l'intégration. Reportons-nous, en

» , . m Me effet, aux équations (1’), et remplaçons-y U par = + 21 iéndra

D; ne LS ur

Th 0 CR use Ou

de 7 nous aurons donc deux mouvements képlériens. Nous allons néanmoins procéder à l'intégration des équations (16), et cela en suivant la méthode de Jacobi:; on verra plus loin que les résultats ainsi obtenus nous seront utiles. Nous aurons à trouver une intégrale complète de l'équation suivante aux dérivées partielles :

au Aie I FE) + 1 08)! 1 (SE 1 08 \?

… So r FE. au \ or" : HN ON ro re (Se)

c'est-à-dire une solution $S, fonction de 4, r, r, + et ?’, et de quatre constantes arbitraires «,, &,, «, et «,. En désignant par B,, 6,8, et BG, quatre nouvelles constantes arbitraires, on sait que les intégrales générales des équations (16) seront

L’équation (17) ne renfermant pas explicitement les variables £, # ets’, nous poserons, en désignant par S’ une fonction de r'et de 7’,

S——(a+a,.)t+ar+av'-+S,

et nous aurons, pour déterminer S’, l'équation

I de 7 a? m ire a m' :

a |) + —#. ad, — 0.

2u ir 2 u re F 2 2 dr! 2 r'2 r' 2

Nous poserons séparément

Po) Ge m : . - 0 De NOR DUT? Ë ?

2 pu or! nu ar 1! 0 , AI d’où : —— om a? y. m' a Se 2u ne —1= Gr + ou! œ | ed V l \, 2 1 apr? É V F 2 + r' UE ?

(20) S —=—(æ+a,)t+op + pr

— 3m 2 — EUTR San.

+ V21 ment dr + Var \ CR ; 5 di 1 Le 7 DT

Telle est la solution cherchée, et il n’y a plus qu’à la porter dans les équations (18) et (19); on trouvera d’abord

Soient a et e le demi grand axe et l’excentricité de la première ellipse; a° et e’ les quantités analogues pour la seconde; a(1 — e) et a(1 + e) seront les racines de l’équation

Ge? + MT — —ÆE — On en conclut m a — — Mr 4 =Vumalti—e)= "ump.

Nous poserons | m KR —— —1+m, F m I+m+m

rie) 1 Em

et nous aurons

Reste à trouver la signification des autres constantes. On peut, dans la formule (20), faire commencer les intégrales relatives à r et 7’ à partir des limites aie) etai Cr e"); l'équation

donnera ainsi

/2 Po D Gi \ -

on en conclut bn 0; pour r—a(i—e);

donc $, et $, sont les distances angulaires des périhélies au nœud commun J des deux orbites. L’équation

donnera

donc — f, est égal au temps du passage au périhélie; de même pour ÿ,. L’équa-

Mon +, donnera Dies Vp = const.

Au lieu de développer les équations (18), nous prenons tout de suite les formules du mouvement elliptique; ce qui nous donne

u—esinu =n(t+c), Usa = nt ct), "—a(i—ecosu), r'= a'(1 —e cosu'),

en ji+e u tang — - = \V ta tang —

An Var et)