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I NRN GE Î ) 7p> JA\

cos V — — cos cosr! — sine sine’ cos,

Cr Ce CosT = ns 2 GG

u—esinu — l, u'—e'sinu!—= 1:

r—=a(i—ecosu), r'— a'(i—e'cosu'),

1 , Ja fonction & est maintenant une fonction des huit variables Z, p, On voit que 8

l', g’, L, G, L’, G'et qu’elle ne contient pas le temps explicitement; de sorte que les équations (b) admettent l'intégrale

R —= constante.

204. Quand on aura intégré les équations (b), on connaitra R’,A,r—R, v,v" et I en fonction de £ et de huit constantes arbitraires, ou plutôt de neuf, en comptant C. On connaîtra donc en particulier les distances mutuelles des trois corps; pour achever la solution du problème, 1l faut obtenir 2, z et r”.

Femprunte au premier des Mémoires de M. Radau, cités plus haut, la formule

1h Cam JA I d HR n Me (a) dé GG'i+m (x R'°

) rr! sine sin ?’.

En tenant compte des expressions (c) de W, R’, A, cos V et cosI, on peut encore écrire

dh Et aW 0R.

dé A. 40 en intégrant, on introduira une autre constante arbitraire. On aura ensuite

G' sine — C sin Ï,

US Gr:

sin { = —sinl,

(e) ( + G+G'cosl D pe 2

. . G'+Gcosi COST =

[ æ— r(cosecosh— sine sin cost), y = r(cose sin A+ sin cos cost), 2 PSN 6 SPL,

(f) Bt : se di æ'=— r'(cosr' cos h — sin’ sin cost’), y'=— r'(cose' sin À -+ sins cos cost’),

Cat." 7 Sinv Sin.

Donc æ, y, z, x’, y’, 3 se trouveront exprimées en fonction de £ et de dix constantes arbitraires.

Les formules (5) introduisent deux nouvelles arbitraires, J et N; de sorte que l’on aura finalement æ,y, 4, æ', y’, z° et, par suite, en -vertu dés formules (3), €, n, €, €’, n°, Ç' en fonction de £ et de douze constantes arbitraires.

Si l’on n’avait pas eu égard aux trois intégrales des aires, on aurait été conduit à introduire les variables

= Gcos H' — G' cos’,

et l’on aurait obtenu les douze équations différentielles

L'emploi qu’on a fait des intégrales des aires a permis de conserver sous la même forme huit des équations (23), et de remplacer les quatre autres par la seule équation (d’).

205. Nous allons nous occuper de l’intégration des équations (b), par une série d’approximations. La fonction à dépend, comme nous l’avons dit, des variables /, g, !’, g' d’une part, L, G, L', G de l’autre. Elle conserve la même valeur quand on augmente de 27 chacune des quantités /, g, let g'. Si nous admettons qu’elle reste toujours finie pendant toute la durée du mouvement, nous pourrons la développer comme il suit:

ete SAGE cos(al + B£ Do nee B'g') $

en désignant par &, 6, «’, 6’ des nombres entiers variant de — æ à + +.

Le coefficient AGE dépend seulement des variables L, G, L’ et G’; il contient en facteur e#el%l, ce qui limite dans la pratique les valeurs absolues de & et de x’; les valeurs de $ et de $’ sont limitées par le fait de la petitesse de l'ineli-

° a 2 MU naison mutuelle I, et surtout parce que le rapport = est, en général, notable-

ment inférieur à l'unité. Enfin, a, a’, eete’ sont des fonctions de L, L, Get G', définies par les relations (a).

Nous allons montrer que la méthode suivie par Delaunay dans sa théorie de la Lune peut être appliquée ic1, en la généralisant. Nous renverrons pour les détails à un Mémoire que nous avons publié autrefois dans le Journal de Liouville, 2° série, t. XIIT, et nous ne donnerons qu’un résumé permettant de comprendre la marche générale des opérations.

Considérant à part, dans le développement (24), le terme non périodique tout entier et l’un des termes périodiques, nous poserons

(25) R—=—B — A cos(al+ Bg + xl +B'e!) +R.

Nous intégrerons d’abord rigoureusement les équations (b) en négligeant a,, c'est-à-dire en posant seulement

(26) R——B—Acos(al+Bg + al '+B'2),

où À et B sont des fonctions connues de L, G, L’ et G’. On voit que les huit variables sont séparées en deux groupes : celles, L, G, L’, G’ du premier, entrent seulement dans À et dans B; les variables associées /, g, k, l', 2’, h' du second groupe entrent linéairement sous le signe cos, et ne figurent que là. Voici les résultats de l'intégration : soient (C), (G), (L'}, (G'}, (ce), (g), () et (g’) huit constantes arbitraires. On a d’abord

ne | PC ! je, Pa BINRE (27) Ces 007 L rnb) ter (0:

ces équations expriment donc G, L’ et G’ en fonction de L et de trois constantes arbitraires. On pose ensuite

(28) K= farc cos DES