À; CS

on voit qu’en tenant compte des relations (27), K sera une fonction de L et de quatre constantes arbitraires. On aura ensuite

| Or s= (9 +5 ,

0 —=al + Bas al Gore ens CE,

La première de ces formules donne L en fonction de £ et des constantes (C), (ec), (G), CL’), (G’); la seconde donne g en fonction des mêmes quantités et d'une nouvelle constante (g)...; la dernière, enfin, donne / en fonction de t et des huit constantes arbitraires mentionnées ci-dessus.

206. Il ya lieu de développer en séries les expressions précédentes.

La première des formules (29), combinée avec l'expression (28) de K, donne

; del dL D Etre con

Dans le cas général, quand les moyens mouvements des deux planètes ne

s Per (04 sont pas très voisins de la valeur absolue du rapport commensurable + - on

démontre que la formule (29°) donne pour L une expression développable en série de cosinus des multiples de l'argument 0,(4 + c), où 0, désigne une certaine fonction des constantes (C), (G), (L'), (G’). On a cherché, dans le Chapitre XXV, à donner une idée de ce qui se passe dans le cas d'exception visé ci-dessus. Les formules (27) et (29°) donneront ainsi, pour L, G, L'et G’ des développements de la forme

L = L, + L, cos0,[t + (c)] + L, cos20,[é + (c)] +... G = Go + Gcos@[t + (c)] + Gcos204[€+(c)] +... DL + Lcosi[t+(c)l4+L,cosa0{i(c)l +...

G'= G',+- G cos [fé + (c)] + Gi cos28,[4 + (c)] +.

Dans ces loriontes L.. Li, GG, : EL, 0: G, ... sont dde fonctions des quatre constantes (C), (G), (L') et (G’). On a ensuite

E blé (c)] + 4 sin6,[t+(c)] + L sin260,[€ + (c)] +... + golé+(c)]+eisin@lt+(c)]+gisin2@li+(c)] +... )+ 4 [+ (c)] +4 sindGfé+ (c)] + À sin2@[é+(c)] +... g)+eli+(c)]+gsin0[t+ (c)] + 8% sin260.[é+(c)] +...

avec les relations suivantes

0—08,[t+(c)] +0 sin@[t+(c)]+ 8sin20[t+(c)]+..., a(l}+ B(g) + (2) + (gs) — 0, ah +Bg +an +B'é

1]! Te EME ah Bei + +P'e —=6:

és coethtients 00, 4,0, een lis, &, Dr S0nt ame des fonctions des quatre constantes (C), (G), (L’) et (G’). On voit que ces constantes entrent d’une manière compliquée dans les expressions (30) et (31) de nos huit variables. Il en est tout autrement des constantes (c), (g), (7) et(g"); la première (c)accompagne partout le temps z; chacune des trois autres n'entre

DÉVELOPPEMENTS DES COORDONNÉES. 499 qu’au premier degré dans les expressions de /, g, let g', et ne figure pas ailleurs. Nous n’aborderons pas la question de la convergence des développements (30) et (31).

207. Il faut prendre maintenant les résultats précédents comme point de départ pour intégrer les équations (b), en y remplaçant 8 par sa valeur complète (25), et non plus par l'expression (26). On y arrivera par la méthode de la variation des constantes arbitraires.

Nous conserverons pour nos huit variables L, G, L’, G, /, g, l’ et g’ les expressions analytiques (30) et (31); seulement, les huit quantités (C), (G), CÉF), (G'), (ce), (g), (l') et (g'}, au lieu d’être constantes, seront des variables. On pourrait former les équations différentielles dont elles dépendent; mais il ya lieu de leur en substituer d’autres, sans quoi le temps sortirait des signes sin et cos.

Nous désignerons ces nouvelles variables par

As Re Aa,

FRS AE PSS

Voici les équations qui lient les nouvelles variables aux anciennes : On a d’abord

A = L + = (ili+20Li+ 30 L;+...),

eos - (AB ae 3002) (33) A'= L' + : bon ee),

| T'=G+ = (GG had Gi Lab.)

Ces équations, dont les seconds membres sont des fonctions connues de (C), (G}, (L') et (G’), déterminent ces quantités en fonction de, L, A etr-Ona

ensuite À =(t} +4 [ee (ec),

x (8) + golé+(c)], | NM= (4) + [e+(c)], (a) 20r(e)

de sorte que les nouvelles variables X, x, Net x’ sont les parties non pérliodiques des expressions (31) de /, g, l'etg’. On déduit des équations (32)et (34)

Be + (e)] = àù + Br + al + Bu,

de sorte que les formules (30) et (31) pourront s’écrire

L' —L, + L, cos(a + Bx + x'\ + B'x)+..., G = Go + Gi cos(ah + Br+ a + B'x')+..., L'=L, +L; cos(ar + Brx+a'X'+ B'x)+..., G'= G,+ G, cos (a + Bu + al + Ba) +...

LA +4 sin(ai+Brx+aN+B'x)+..., ES —=X +81 Sin(ai + Bx + a} + B'x) +.

UN +, sin(aX + Br+ œ'X + B'x)+...,

+ 81 Sin (où + Bx+ À +B'x) +...

où les L,, ..., /,, ..., 9°, ... sont maintenant des fonctions connues de 1 UE Aer Er. Si l’on pose enfin

(36) R'—=R; —(C), on aura Ce nouveau système canonique